無窮網絡和立體空間網絡的求解

鐘健

摘 要：電路是整個中學階段的一個重點內容，其中的復雜電路中的無窮網絡和立體空間網絡是高考、物理競賽的常考題型，占據著重要地位。而這部分內容對很多學生來說是難點，為此文章作者總結了幾種無窮網絡和立體空間網絡求解的方法。

關鍵詞：復雜電路；無窮網絡電路；立體空間網絡電路

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 收稿日期：2018-11-10 文章編號：1674-120X（2019）01-0076-02

物理考試和物理競賽中常出現的無窮網絡及空間網絡類型的典型題目進行例題解說，這類題乍一眼看上去非常復雜，讓人一頭霧水，更不用說是解答了。其實往往越是復雜的題目，越是有規律可循。這些類型的題目也不例外，下面主要通過例題來揭示它們的規律。

一、梯形無窮網絡

（一）半無窮梯形網絡電阻

半無窮網絡就是一端封閉，另一端無限延伸的電路。對于這種網絡，可以利用其具有無窮和電阻排列規律性的特點，當整個電路中少一級網絡或多一級網絡，對整個網絡的總電阻沒有影響。也就是說，當無窮梯形網絡是由無限多級具有相同連接規律的電阻構成的時，整個網絡的等效電阻為一個固定的值。這種方法也叫做極限法。

例1：如圖1所示電路稱為半無窮梯形網絡，求等效電阻Rab。

解析：由于該電路為無窮網絡，因此a、b間的等效總電阻與去掉一級網絡格子后的電阻應相等，即Rab=Rab……①

又a、b間的電阻等于R2與Ra'b'并聯后再與R1、R3串聯，即 …… ②

聯立①②兩式，化簡得：

R2ab-（R1+R3）Rab-（R1R2+R2R3）=0，這是一個關于Rab的一元二次方程，故：

由于Rab必須大于零，所以上式根號必須取正號，因此

半無窮梯形電路按結構形式可以稱此類電路為開端形半無窮梯形網絡，即ab端沒有閉合。既然有開端形，就應該閉端形，如圖2所示的電路就是閉端形半無窮梯形網絡。求其等效電阻的方法與解開端性網絡的思路一樣，同樣也是采用極限法。

（二）缺口形無窮梯形網絡

例2：如圖3所示兩端無窮電路，求中間e、f兩點間的等效電阻。

解析：對于這種中間缺口型的無窮梯形網絡，可以將其看成是左右兩邊各一個半無窮梯形網絡并聯而成，設兩個半無窮網絡的電阻為R，則有Ref= R，而R就是例題1中計算出來的Rab，故：

……①

若開口處不在中間，而是在底邊，如圖4所示，同樣可以將其看成是兩個半無窮網絡與另一個電阻R1串聯而成的，這個半無窮網絡的等效電阻可采用例題1的解法——極限法求出，具體的計算過程交給讀者。計算的結果為：

3.完整型無窮梯形網絡

例3：如圖5所示，這種電路稱為完整形無窮梯形網絡，試求i、j之間的等效電阻Rij。

解析：求i、j之間的電阻Rij有多種不同的方法。

方法一：對電路進行分割，將電阻R2與整個網絡電阻電路分開，就可以把這種完整型無窮梯形網絡看成是R2與中間缺口形的無窮梯形網絡（如例題2）并聯而成，則有：

，將例題2的結果①式代入此式可得：

。

方法二：將該電路圖從i、j點處分割，就分割成了一個開端形半無窮梯形網絡與一個閉端形半無窮梯形網絡，這兩個網絡的聯接方式是并聯的，通過這種方法也能求出結果。

另外，如果題目改為求此完整型無窮梯形網絡j、k之間的等效的電阻，又應該如何做呢？同樣，我們將電阻R3與原電路分割開，很顯然，原電路就變成了底邊缺口形無窮梯形網絡，故可以將原電路看成是它與R3并聯而成，則：

，

將例題2中的②代入上式得結果：

二、面型無窮網絡

（一）無窮正方形格子網絡

例4：一個無窮正方形格子網絡，求相鄰兩結點AB之間的等效電阻，其中每一小段電阻均為R。

解析：設電流I從A點流入后流向無窮遠處，則會有I/4的電流從A→B；其他三條支路的電流最終又從無窮遠處流回B處再流出，根據對稱性，又有I/4的電流從A→B，故AB段電流為兩個I/4的疊加，從而UAB=（I/2）R，RAB=UAB/I=R/2。

這個例題的分析中隱含了這樣一種思想：從A點（或B點）流入的電流的對稱性不會因為B點（或A點）有電流流出而遭到破壞，由基爾霍夫方程組也可以得出這種思想，在這里不做證明。

（二）無窮正六邊形網絡

例5：如圖6所示為一個無窮正六邊形網絡，其中每個正六邊形的邊的電阻都為R。求①結點AB間的電阻。②若有電流I從A流入G點流出，那么DE段的電流多大？

解析：① 假設有一電流I由A點流進，從B點流出，那么流過AC段的電流是I/3，電流從C點又分流，有I/6的電流流經CB段；其他電流又從無窮遠處流回B點，根據對稱性，則AC段有電流I/3，CB段有電流I/6，電流疊加后，即AC段流過的總電流為2I/3，CB段流過的總電流是I/3，則有。

解得RAB=R …… ②

同理可知，從A點直接流到DE段的電流為I/12，根據對稱性，從無窮遠處流經DE段的電流也是I/12，故DE段的電流為此兩個電流的疊加，即I/6。

三、立體空間網絡

對于立體空間網絡，它的著眼點也跟面型無窮網絡一樣，根據其對稱性解答。

例6：如圖7，由12段阻值均為1歐的導體棒焊接成的正方體框，試求該正方體兩對角頂點月AA'間阻值。

解析： 設想AA'間加電壓，電流從A點分別到B、D、C'，再分別到的路徑完全相同，因為各邊阻值相等，所以B、D、C'三點是等電勢點，同理得B'、D'、C三點也是等電勢點，可分別等效為同一點B和點B'作等效電路圖，如圖8所示，用R表示各段電阻，這樣就能很容易地求出。

這個題是根據電勢的對稱性，將電勢相等的點連在一起，從而簡化電路，得出結果。

例7：有三個相同的金屬圈兩兩相交地連成如圖9所示的形狀，若每一個金屬圈的原長電阻為R，試求圖中A、B兩點之間的等效電阻。

解析：從金屬圈的正上方往下看，電路圖可簡化成如圖10所示電路，由于上下半球及圖10都具有對稱性，故電路可進一步簡化如圖11所示電路，設R=4r，則電阻阻值如圖所示。

將電路化成常見電路形式，如圖12，該圖中每個電阻的阻值均為r，故得，即。

電阻網絡的等效電阻，是電路理論的基本研究課題，本文通過典例例證，將電阻網絡電阻求法總結為三種類型。

參考文獻：

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