全國名校拋物線拔高卷（B 卷）

■河南省汝陽一高 劉俊報

一、選擇題

2.拋物線y2=2p x(p＞0)上的動點Q到其焦點的距離的最小值為1,則p=( )。

3.如圖1,在同一平面內,A、B為兩個不同的定點,圓A和圓B的半徑都為r,射線A B交圓A于點P,過P作圓A的切線l,當變化時,切線l與圓B的公共點的軌跡是( )。

圖1

A.圓 B.橢圓

C.雙曲線的一支 D.拋物線

4.已知m,n∈R,則“m n＜0”是“拋物線m x2+n y=0的焦點在y軸正半軸上”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

5.已知拋物線y2=4x,過焦點F作直線與拋物線交于點A,B,設|A F|=m,|B F|=n,則m+n的最小值為( )。

6.已知拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點為F,準線為l,A,B是拋物線上的兩個動點,且滿足∠A F B=60°。設線段A B的中點M在準線l上的投影為N,則( )。

7.拋物線x2=8y的焦點為F,過點F的直線交拋物線于M、N兩點,點P為x軸正半軸上任意一點,則

A.-20 B.12 C.-12 D.20

8.如果P1,P2,…,Pn是拋物線C:y2=4x上的點,它們的橫坐標依次為x1,x2,…,xn,點F是拋物線C的焦點,若x1+x2+…+xn=10,則|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=( )。

A.n+10 B.n+20

C.2n+10 D.2n+20

9.F是拋物線y2=2x的焦點,以F為端點的射線與拋物線相交于A,與拋物線的準線相交于B,若( )。

10.過拋物線C:y=x2的焦點且垂直于y軸的直線與拋物線C交于A,B兩點。關于拋物線C在A,B兩點處的切線,有下列四個命題,其中真命題有( )。

①兩切線互相垂直;②兩切線關于y軸對稱;③過兩切點的直線方程為;④兩切線方程為y=±x-1。

A.1個 B.2個

C.3個 D.4個

11.已知點A是拋物線y2=2p x(p＞0)上的一點,若以其焦點F為圓心,以|F A|為半徑的圓交拋物線的準線于B、C兩點,設∠B F C=θ且滿足2 s i n2θ+s i nθ-s i n2θ=當△A B C的面積為時,則實數p的值為( )。

12.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線與拋物線C交于A,B兩點,A B|=6,則A B中點到y軸的距離是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

13.若拋物線y2=4x的焦點是F,準線是l,點M(4,m)是拋物線上一點,則經過點F、M且與l相切的圓共有( )。

A.0個 B.1個

C.2個 D.4個

14.已知點F為拋物線y2=-8x的焦點,O為原點,點P是拋物線準線上一動點,點A在拋物線上,且|A F|=4,則|P A|+P O|的最小值為( )。

15.點P在直線l:y=x-1上,若存在過P的直線交拋物線y=x2于A、B兩點,且|P A|=2|A B|,則稱點P為“δ點”。下列結論中正確的是( )。

A.直線l上的所有點都是“δ點”

B.直線l上僅有有限個點是“δ點”

C.直線l上的所有點都不是“δ點”

D.直線l上有無窮多個點是“δ點”,但不是所有的都是“δ點”

16.過拋物線y2=x的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點,且直線l的傾斜角θ,點A在x軸上方,則|F A|的取值范圍是( )。

17.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F作斜率為1的直線l交拋物線C于兩點,則的值為( )。

18.已知拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準線上的動點,當△F PM是以點P為直角頂點的等腰直角三角形時,其面積為( )。

19.如圖2,在正方體A B C D-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1內一動點,PM垂直A D于M,|PM|=|P B|,則點P的軌跡為( )。

A.線段

B.橢圓的一部分

C.拋物線的一部分

D.雙曲線的一部分

圖2

20.已知直線y=k(x+2)(k＞0)與拋物線C:y2=8x相交于A、B兩點,F為拋物線C的焦點,若|F A|=2|F B|,則k的值為( )。

21.已知點A是拋物線M:y2=2p x(p＞0)與圓C:x2+(y-4)2=a2在第一象限的公共點,且點A到拋物線M的焦點F的距離等于a,若拋物線M上一動點到其準線與到點C的距離之和的最小值為2a,O為坐標原點,則直線O A被圓C所截得的弦長為( )。

22.過拋物線y2=2p x(p＞0)焦點F的直線與拋物線交于點A、B,O是坐標原點,且滿足,則拋物線的標準方程為( )。

24.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為拋物線C上一點,P Q垂直l于點Q,M,N分別為P Q,P F的中點,MN與x軸相交于點R,若∠NR F=60°,則|F R|等于( )。

25.拋物線C:y2=4x與直線l:y=k(x-2)交于點M、N兩點,過點M作x軸的平行線與ON交于A點,過點A作拋物線C的切線,切點為B,切線A B與直線l′:x=2交于D點。已知點E(2,0),則|D E|2-|A E|2=( )。

A.8 B.-8 C.16 D.-16

26.拋物線C1:y2=4x和圓C2:(x-1)2+y2=1,直線l經過拋物線C1的焦點F,依次交拋物線C1,圓C2于A,B,C,D四點,則的值為( )。

27.已知拋物線C:y2=4x,若過點P(-2,0)作直線l與拋物線C交A,B兩個不同點,且直線l的斜率為k,則k的取值范圍是( )。

28.若A、B是拋物線y2=x上關于直線x-y-3=0對稱的相異兩點,則|A B|=( )。

29.已知拋物線C:y2=x,過點P(a,0)的直線與拋物線C相交于A,B兩點,O為坐標原點,若,則a的取值范圍是( )。

30.已知F為拋物線M:y2=4x的焦點,A,B,C為拋物線M上三點,當時,稱△A B C為“和諧三角形”,則拋物線上的點可構成的“和諧三角形”有( )。

A.0個 B.1個

C.3個 D.無數個

31.斜率為k的直線l過拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點F,交拋物線于A,B兩點,點P(x0,y0)為A B的中點,作O Q⊥A B,垂足為Q,則下列結論中不正確的是( )。

32.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線l交拋物線C于A、B兩點,弦A B的中點M到拋物線C的準線的距離為5,則直線l的斜率為( )。

33.過拋物線x2=2y上兩點A、B分別作切線,若兩條切線互相垂直,則線段A B的中點到拋物線準線的距離的最小值為( )。

34.已知拋物線x2=4y的焦點為F,準線為l,拋物線的對稱軸與準線交于點Q,P為拋物線上的動點,|P F|=t|P Q|,當t最小時,點P恰好在以F,Q為焦點的橢圓上,則橢圓的長軸長為( )。

二、填空題

35.已知直線l:y=m x-4m與拋物線y2=2p x(p＞0)交于點A、B,以A B為直徑的圓經過原點,則拋物線的方程為 。

36.已知拋物線的方程為y2=2p x(p＞),O為坐標原點,A,B為拋物線上的點,若△O A B為等邊三角形,且面積為483,則p的值為____。

37.已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,M是拋物線C上一點,若FM的延長線交x軸的正半軸于點N,交拋物線C的準線l于點T,且,則|NT|=____。

38.已知一條拋物線的焦點是直線l:y=-x-t(t＞0)與x軸的交點,若拋物線與直線l交于點A、B,且

39.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點為F,E是拋物線C的準線上位于x軸上方的一點,直線E F與拋物線C在第一象限交于點M,在第四象限交于點N,且|EM|=|MF|=2,則點N到y軸的距離為____。

40.已知拋物線y2=2p x的準線方程為=-2,點P為拋物線上的一點,則點P到直線y=x+3的距離的最小值為____。

41.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點為F,過點F的直線與拋物線C相交于點M(點M位于第一象限),與它的準線相交于點N,且點N的縱坐標為4,|FM|∶|MN|=1∶3,則實數p=____。

43.若P是拋物線y2=8x上的動點,點Q在以點C(2,0)為圓心,半徑長等于1的圓上運動,則|P Q|+|P C|的最小值為____。

44.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點為F,過F的直線交拋物線C于A、B兩點,以線段A B為直徑的圓與拋物線C的準線切于,且△A O B的面積為,則拋物線C的方程為____。

45.如圖3,從點M(x0,4)發出的光線,沿平行于拋物線y2=8x的對稱軸方向射向此拋物線上的點P,經拋物線反射后,穿過焦點射向拋物線上的點Q,再經拋物線反射后射向直線l:x-y-10=0上的點N,經直線反射后又回到點M,則x0等于____。

46.拋物線y2=2p x(p＞0)的準線與雙曲線x2-的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于2,則p=____。

圖3

47.M為拋物線y2=4x上一點,且在第一象限,過點M作MN垂直該拋物線的準線于點N,F為拋物線的焦點,O為坐標原點,若四邊形O FMN的四個頂點在同一個圓上,則該圓的方程為____。

48.如圖4,過拋物線y2=4x的焦點F作直線與拋物線及其準線分別交于A,B,C三點,若____。

圖4

49.已知點A是拋物線y2=2p x(p＞0)上一點,F為其焦點,以F為圓心、|F A|為半徑的圓交準線于B,C兩點,△F B C為正三角形,且△A B C的面積是,則拋物線的方程是____。

50.已知圓C1:x2+(y-2)2=4,拋物線C2:y2=2p x(p＞0),圓C1與拋物線C2相交于A,B兩點,,則拋物線C的2方程為____。

51.過點F(2,0)作直線FM交y軸于點M,過點M作MN⊥MF交x軸于點N,延長NM至點P,使得|NM|=|MP|,則P點的軌跡方程為____。

52.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l與拋物線C相切于Q點,P是l上一點(不與Q重合),若以線段P Q為直徑的圓恰好經過F,則|P F|的最小值是____。

53.已知拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點為F,過點F的直線l與拋物線C交于A,B兩點,且直線l與圓0交于M,N兩點,若|A B|=3|MN|,則直線l的斜率為____。

54.已知斜率為12的直線l與拋物線y2=2p x(p＞0)交于x軸上方的兩點A,B,記直線O A,O B的斜率分別為k1,k2,則k1+k2的取值范圍是____。

三、解答題

55.已知動圓E經過定點D(1,0),且與直線x=-1相切,設動圓圓心E的軌跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程。

(2)設過點P(1,2)的直線l1,l2分別與曲線C交于點A,B,直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補,證明:直線A B的斜率為定值。

56.設O是坐標原點,F是拋物線x2=2p y(p＞0)的焦點,C是該拋物線上的任意一點,當C F與y軸正方向的夾角為60°時,

(1)求拋物線的方程;

(2)已知A(0,p),設B是該拋物線上的任意一點,M,N是x軸上的兩個動點,且取得最大值時,求△BMN的面積。

57.如圖5,已知圓C:x2+(y-2)2=4,拋物線D的頂點為O(0,0),準線的方程為y=-1,M(x0,y0)為拋物線D上的動點,過點M作圓C的兩條切線與x軸交于A,B。

(1)求拋物線D的方程;

(2)若y0＞4,求△MA B的面積S的最小值。

58.已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸上,且拋物線上有一點P(m,5)到焦點的距離為6。

(1)求該拋物線C的方程;

(2)已知拋物線上一點M(4,t),過點M作拋物線的兩條弦MD和ME,且MD⊥ME,判斷直線D E是否過定點,并說明理由。

圖5

59.如圖6,過拋物線M:y=x2上一點A(點A不與原點O重合)作拋物線M的切線A B交y軸于點B,點C是拋物線M上異于點A的點,設G為△A B C的重心(三條中線的交點),直線C G交y軸于點D。

(1)設點A(x0,x20)(x0≠0),求直線A B的方程;

圖6

60.已知拋物線C1的方程為x2=2p y(p＞0),過點M(a,-2p)(a為常數)作拋物線C1的兩條切線,切點分別為A,B。

(1)若過焦點且在x軸上截距為2的直線l與拋物線C1交于Q,N兩點,Q,N兩點在x軸上的射影分別為Q′,N′,且|Q′N′|=25,求拋物線C1的方程;

(2)設直線AM,BM的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值。

61.已知經過拋物線C:y2=4x的焦點F的直線l與拋物線C相交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),O為坐標原點,直線A O,B O分別交直線m:x=-1于點M,N。

(1)求證:x1x2=1,y1y2=-4;

(2)求線段MN長的最小值。

(1)求動點P的軌跡C的方程。

(2)過點D(2,0)的直線交軌跡C于A,B兩點,直線O A,O B分別交直線l于點M,N,證明:以MN為直徑的圓被x軸截得的弦長為定值,并求出此定值。

63.已知圓N:(x+1)2+y2=2和拋物線C:y2=x,圓N的切線l與拋物線C交于不同的兩點A,B。

(1)當切線l斜率為-1時,求線段A B的長;