拋物線問題,定義先行

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

在解析幾何中,拋物線問題的求解往往離不開拋物線定義。拋物線定義不僅能幫助同學們打開解題思路,而且可以減少計算量,真可謂“拋物線問題,定義先行”。

一、定義助我求軌跡

例1如圖1,在平面直角坐標系x O y中,點點P在直線上移動,R是線段P F與y軸的交點,R Q⊥F P,P Q⊥l。判斷動點Q的軌跡,并求其軌跡方程。

解析:依題意知,點R是線段F P的中點,且R Q⊥F P,所以R Q是線段F P的垂直平分線。

因為點Q在線段F P的垂直平分線上,所以|P Q|=|Q F|。

又|P Q|是點Q到直線l的距離,故動點Q的軌跡是以F為焦點,l為準線的拋物線,其方程為y2=2x。

評注:解答本題的關鍵是發現|P Q|=Q F|,即動點Q的軌跡滿足拋物線的定義。

圖1

二、定義助我求方程

例2如圖2,過拋物線2=2p x(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B,交其準線l于點C,若|B C|=|B F|,且|A F|=3,則此拋物線的方程為____。

解析:如圖3,分別過A、B作A A1⊥l于A1,B B1⊥l于B1。

由拋物線的定義知:|A F|=|A A1|,|B F|=|B B1|。

因為|B C|=2|B F|,所以|B C|=2|B B1|,∠B C B1=0°,∠A F x=60°。

圖2

連接A1F,則△A A1F為等邊三角形。過F作F F1⊥A A1于F1,則F1為A A1的中點。設準線l交x軸于K,則|KF|=

因此,拋物線的方程為y2=3x。

評注:求拋物線的標準方程就是求參數p的值,這個值可根據拋物線的定義并借助幾何法求得,從而避免了煩瑣的代數運算。

三、定義助我求比值

例3已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線F A與拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,則|FM|∶|MN|=( )。

圖4

解析:如圖4所示,過點M作MH⊥l,由拋物線定義知|MF|=|MH|,所以|M F|∶|MN|=|MH|∶|MN|。

故答案為C。

評注:本題與例2相似,利用拋物線的定義和圖形特征,把解析幾何問題轉化為平面幾何問題,大大減少了計算量。

四、定義助我求面積

例4設O為拋物線的頂點,F為拋物線的焦點,且P Q過焦點的弦,若|O F|=a,|P Q|=b,求△O P Q的面積。

解析:因為P Q過焦點,所以|P Q|可看成兩個焦半徑之和。

如圖5,不妨設拋物線方程為y2=4a x,P(x1,y1),Q(x2,y2)。

則由拋物線定義知:

圖5

故x1+x2=b-2a。

由于P Q為過焦點的弦,因此,y1y2=-4a2。

評注:將焦點弦分成兩段,利用定義將焦點弦長用兩端點橫坐標表示,結合方程,利用根與系數的關系是常見的基本技能。本題計算三角形面積的技巧,也是拋物線中經常用到的,必須掌握。

五、定義助我求最值

例5已知拋物線y2=2x的焦點是F,點P是拋物線上的動點,又有點A(3,2),求|P A|+|P F|的最小值,并求出取最小值時點P的坐標。

解析:將x=3代入拋物線方程y2=2x,得

因為 6＞2,所以A在拋物線內部。如圖6,設拋物線上點P到準線的距離為d,由定義知|P A|+|P F|=|P A|+d。當P A⊥準線l時,|P A|+d的值最小,最小值為,即|P A|+|P F|的最小值為,此時P點縱坐標為2,代入y2=,點P的坐標為(2,2)。

圖6

評注:與拋物線有關的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關。由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度。“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要方法。