直線與拋物線位置問題變式探究

■江蘇省沭陽高級中學 項敬磊

直線與拋物線的位置關系問題,看似簡單,卻變化萬千。讓我們從一個簡單的例題談起。

引例:過定點P(0,2)作直線l,使直線l與拋物線y2=4x有且只有一個公共點,這樣的直線l共有____條。

分析:利用數(shù)形結合便可找到答案。

解:如圖1,過點P與拋物線y2=4x僅有一個公共點的直線有3條:2條切線、1條與x軸平行的直線。

故答案為3。

評注:直線與拋物線只有一個公共點時,要考慮相交于一點的情況,不要漏掉。

變式1:直線l:y=x-1與拋物線y2=4x是否相交?如果相交,試求兩交點之間的距離。

分析:可聯(lián)立直線方程與拋物線方程,消去y后得到一個關于x的一元二次方程,通過考查判別式Δ的正負來判斷它們的位置關系。而對于本題,由于直線l:y=x-1過拋物線y2=4x的焦點(1,0),故直線l與拋物線必相交。

解:因為直線l:y=x-1過拋物線y2=4x的焦點F(1,0),所以直線l與拋物線必相交。

設交點為A(x1,y1),B(x2,y2)。

圖1

設A、B兩點到準線的距離為|A A′|、|B B′|,則:

評注:在拋物線中過焦點的弦稱為“焦點弦”。拋物線的定義本身也是拋物線最本質的性質,在求焦點弦長時起著至關重要的作用。

變式2:若直線l:y=k x-2交拋物線y2=8x于A、B兩點,且A B的中點為M(2,y0),求y0及弦A B的長。

分析:對A,B兩點坐標設而不求,進而利用韋達定理和弦長公式|xA-xB|來求y0及弦A B的長。

解:把y=k x-2代入y2=8x,得:

k2x2-(4k+8)x+4=0。

設A(x1,y1),B(x2,y2)。

因為A B中點為M(2,y0),所以x1+x2=4,即,解得k=2或k=-1。

又Δ=1 6k2+6 4k+tu-1 6k2＞0,則k＞-1,k=2。

此時直線的方程為y=2x-2。

因為M(2,y0)在直線上,所以y0=2。

評注:拋物線弦的中點坐標和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點弦問題的關鍵,方程思想也是解析幾何的核心思想。

變式3:(1)已知拋物線C的頂點在坐標原點,焦點為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A、B兩點。若A B的中點為(2,2),則直線l的方程為____。

(2)過拋物線y2=x上的點A(4,2)作傾角互補的兩條直線A B、A C,交拋物線于B、C,則直線B C的斜率為____。

分析:(1)直線l過點(2,2),故要求直線直線l的方程,只需求直線l的斜率。又(2,2)是弦A B的中點,故宜采用點差法。(2)本小題雖未涉及弦的中點,但A,B,C三點都在拋物線上,并探究的是三條弦的斜率關系,故也宜采用點差法。

解:(1)因為拋物線C的頂點在坐標原點,焦點為F(1,0),所以,拋物線的方程為y2=4x。

設A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1+y2=

①-②得:

所以直線l的斜率為1,且過點(2,2),直線方程為y-2=x-2,即y=x。

(2)設B(x1,y1),C(x2,y2),代入拋物線的方程得:

①②兩式作差整理得:

①③兩式作差整理得:

又因為kAC=-kAB,所以整理得y1+y2=-4。

評注:在拋物線y2=2m x(m≠0)中,若直線l與拋物線相交于M、N兩點,點P(x0,y0)是弦MN的中點,弦MN所在的直線l的斜率為kMN,則kMN·y0=m。利用這個結論解有關問題,可以大大減少運算量。