解題非常道思維順勢為
———巧用并集妙解題

■江西省豐城中學 吳愛龍 熊華芳

解題是一種思維活動,當解題思路正面受阻時,人們便拋棄現有思路,迫不及待地去尋找另一思維方向。于是乎,“正難則反思想”、“補集思想”、“等價轉化思想”便蜂擁而至。但這些方法從某個層面上說,是不是舍本逐末或不敢“正視”呢?筆者認為,解題時應具體問題具體分析,而不應刻意追求某種模式解法而束縛自己的思維。本文借助集合與簡易邏輯知識說明這一拙見。

例1 已知集合A={x|x2+4a x-4a+3=0},集合B={x|x2+(a-1)x+a2=0},集合C={x|x2+2a x-2a=0},若三個集合至少有一個非空,求a的取值范圍。

分析1:“三個集合至少有一個非空”,正面討論情形較多,從反面入手。

解法1:假設三個集合均為空集,即三個方程均無實根,則:

分析2:三個集合至少一個非空,包括恰有一個非空、恰有2個非空、3個均非空,共7種情形,反面是三個集合均為空集,僅1種情形。看似正面求解會比反面求解復雜,其實不然。眾所周知,數學簡易邏輯中的“或”不同于生活中的“或”,是帶“兼有性”的“或”,指的是兩個或多個句子中,至少一個成立。反映到集合中,“或”可以理解為“并”,即兩個或多個集合的并集。若能充分理解“或”字含義,巧用取并集思想亦可快速解題。

解法2:正面考慮,需三個方程至少一個有解,分別解下面三個不等式Δ1=(4a)2-4(3-4a)≥0,或Δ2=(a-1)2-4a2≥0,或Δ3=(2a)2+8a≥0,并求“并”得a的取值范圍為)。因此,三個集合至少有一個非空時,a的取值范圍為

點評:解法2,看似要分三大類、七小類進行討論,但由于巧妙地把“或”靈活地演繹成“并”,正面挑戰亦然成功。兩種解法孰繁孰簡無需多言!

例2設函數的定義域為A,若命題p:3∈A;命題q:5∈A,至少有一個是真命題,求實數a的取值范圍。

分析:若從正面做有三種情況,比較復雜,所以考慮先求反面情況,再求補集即可。

若命題p:3∈A與命題q:5∈A都是假命題,則3?A且5?A,即:

所以命題p:3∈A與命題q:5∈A中至少有一個是真命題時,實數a的取值范圍是1＜a＜25。

解法2:函數有定義域,必須滿足＞0,即(a x-5)(x2-a)＞0。

若q:5∈A為真,則(5a-5)(25-a)＞0?1＜a＜25。

所以命題p:3∈A與命題q:5∈A中至少有一個是真命題時,實數a的取值范圍是＜a＜25。

點評:正面三種情況,被一“并”解決,順理又成章,不見得比反面求解更復雜。

例3已知命題p:關于x的不等式x2+(a-1)x+a2＜0有實數解,命題q:指數函數y=(2a2-a)x在R上單調遞增。

(1)若“p且q”為真命題,求實數a的取值范圍;

(2)若“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,求實數a的取值范圍。

分析:(1)“p且q”為真命題,則p真,q真;(2)“p或q”為真命題,則p,q至少有一個為真。

解法1:(1)p真?Δ=(a-1)2-4a2＞

q真?2a2-a＞1?a＜

解得-1＜a＜-1。2

(2)由題意知p,q一真一假。

解法2:,過程略。

所以“p或q”為真,“p且q”為假等價于:

點評:解法1將問題分為兩類進行討論,復雜!解法2直視條件,順勢而為,簡單!

例4已知命題p:函數f(x)=的定義域為R;命題q:不

解析:易得命題p為真時,a＞2;

命題q為真時,a≥1。

求并便知命題“p或q”為真命題時,a≥1。又命題“p且q”為假命題時,a≤2,所以滿足條件的實數a的取值范圍是1≤a≤2。

一條山路看似荊棘滿布,或許是捷徑;一種思路好像障礙重重,順勢而為或許是妙想!迂回是一種智慧,面對卻是一種勇氣。學好數學要有智慧,但更多時候靠的是信心和勇氣。