盤點拋物線的焦點弦問題

■甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍

設直線l經過拋物線C:y2=2p x(p＞)的焦點F,且與拋物線C交于A、B兩點(直線A B的傾斜角為α),設A(x1,y1),B(x2,y2),O為坐標原點,準線方程為:x=,則關于拋物線C的焦點弦有以下九條常用的性質:

(8)以A B為直徑的圓與準線相切;

(9)以A F、B F為直徑的圓都與y軸相切。

以下運用上面焦點弦的性質來破解一些比較經典的焦點弦問題。

例1(2018年高考全國Ⅱ卷理科第9題)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k＞0)的直線l與拋物線C交于、B兩點,且|A B|=8。

(1)求直線l的方程;

(2)求過點A、B且與拋物線C的準線相切的圓的方程。

解析:(1)解法1:由題意得點F的坐標為(1,0),直線l的方程為y=k(x-1)(k＞)。

所以直線l的方程為x-y-1=0。

(2)由(1)知,直線l的方程為y=x-1。

設A B的中點的坐標為(x0,y0),由中點坐標公式可得,

所以y0=x0-1=2,直線A B的垂直平分線的方程為y=-x+5。

要求的圓的圓心一定在直線y=-x+5上,設圓心坐標為(x1,-x1+5),則(x1+1)2=16+(x1-3)2+(-x1+5-2)2,解得x1=3或x1=11。所以圓心坐標為(3,2),半徑為4,或圓心坐標為(11,-6),半徑為12。

要求的圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144。

評注:第一問中的解法1將直線方程與拋物線方程聯立消元后,再運用了拋物線的焦點弦公式,最后解出k的值,得出直線的方程。解法2運用了弦長公式這個公式只適用于拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點弦問題。第二問要求圓的方程,首先要確定圓心坐標與半徑,線段A B為所求圓的弦,根據弦A B的垂直平分線經過圓心,再根據垂徑定理,直線與圓相交時,|A B|=,其中r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離,解方程可得出圓心坐標和半徑長。

例2設F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F且傾斜角為30°的直線交拋物線C于A、B兩點,O為坐標原點,則△A O B的面積為____。

解析:由題設可得,p=2,所以S△AOB=

因此,△A O B的面積為4。

評注:本題屬于小題,可直接運用拋物線的焦點弦的性質,得出所求三角形的面積,思路簡單明了。

例3設拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與拋物線C交于A、B兩點,若|A F|=(3+22)|B F|,則直線l的方程為____。

解析:設直線A B的傾斜角為θ,由題意知

所以k=t a nθ=±1,直線l的方程為y=x-1或y=-x+1。

評注:本題運用了拋物線焦點弦的兩條性質,通過解方程最終得出直線的斜率,以及直線的方程。

例4(2018年全國Ⅲ卷理科第16題)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過拋物線C的焦點且斜率為k的直線與拋物線C交于A,B兩點。若∠AMB=90°,則k=____。

解析:記拋物線的焦點為F,由題設可得

因為∠AMB=90°,則以A B為直徑的圓與準線相切于點M。

評注:本題屬于小題,可直接運用拋物線性質的二級結論:以拋物線的焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切,解法簡單明了,減少了運算量。

例5設拋物線C:y2=2p x(p＞0)的焦點為F,點E在拋物線C上,|E F|=4,若以E F為直徑的圓過點,則拋物線C的方程為____。

解析:由拋物線的性質可得,以E F為直徑的圓與y軸相切,且切點坐標為因為

所以拋物線C的方程為y2=4x或y2=1 2x。

評注:本題的解答中先運用了拋物線的焦點弦性質,再通過解一元二次方程,最終得出拋物線的方程,減少了運算量。

例6已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與拋物線C交于A,B兩點,直線l2與拋物線C交于D,E兩點,則以線段A B和線段D E為兩條對角線的四邊形的面積的最小值為____。

解析:設直線l1的傾斜角為α,則|A B|

所以,以線段A B和線段D E為兩條對角線的四邊形的面積為:

當s i n22α=1時,即時,所求四邊形的面積取得最小值32。

評注:本題設出直線的傾斜角,先運用了拋物線的焦點弦公式,再利用三角函數的知識解出所求四邊形的最小面積。

例7已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,E為其準線與x軸的交點,過F的直線交拋物線C于A,B兩點,M為線段A B的中點,且

解析:由題設可知E(-1,0),F(1,0),設A(x1,y1),B(x2,y2)。

設直線A B的斜率為k,則直線A B的方程為y=k(x-1)。

由焦點弦公式知|A B|=x1+x2+p=2+2+2=6。

評注:先設出兩個交點的坐標,運用中點坐標公式,再將直線方程和拋物線方程聯立,利用設而不求的思想,得出兩根之和,建立關于k的方程,解出k2,運用拋物線的焦點弦公式和整體代換的思想,最終得出拋物線的焦點弦長。