對一道解析幾何聯考題解法的探究與拓展

■安徽省阜陽市太和中學 任海濤

一、題目呈現

試題:(2018年安徽省江南十校聯考題第20題)A、B、C、D是拋物線E:x2=2p y(p＞0)上的四點,A、C關于拋物線的對稱軸對稱且在直線B D的異側,直線l:x-y-1=0是拋物線在點C處的切線方程,且B D∥l。

(1)求拋物線E的方程。

(2)求證:A C平分∠B A D。

二、題目分析與解法

本題是一道解析幾何綜合題,以直線和拋物線為載體,主要考查拋物線的方程和性質,以及直線和拋物線的位置關系等基礎知識,又考查了數學基礎知識和基本技能。本題貼近學生實際,既注意全面,又突出重點,注重對知識內在聯系的考查,注重對中學數學中所蘊含的數學思想方法的考查。本題考查了同學們的抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力及分析問題與解決問題能力,也有效考查了同學們的數學核心素養。

(1)試題第一問考查拋物線的切線問題,既可以從切線的求法入手,也可以從直線和拋物線的位置關系入手,從而得到如下解法:

因為直線l:x-y-1=0是拋物線在C處的切線方程,且直線B D∥l,所以利用切點的性質可得

所以拋物線的方程為x2=4y。

因為直線l:x-y-1=0是拋物線在C處的切線方程,所以Δ=0,解得p=2或0(舍去)。

所以拋物線的方程為x2=4y。

(2)第二問考查了直線與拋物線的位置關系,在研究A C平分∠B A D時,要善于從數和形兩個角度出發,注重平面幾何知識的滲透,解析幾何首先是幾何問題,一味強調解析幾何中的代數運算有時會導致煩瑣的運算過程,在解題時要綜合考慮幾何因素,即在用代數方法研究曲線間關系的同時,注意利用好圖形本身所具有的平面幾何知識,從而得到不同的解法。

由(1)可知C(2,1),A(-2,1)。

因為B D∥l,所以B D的方程可設為y=x+t。

【法一】A、C關于拋物線的對稱軸對稱,故A C∥x軸。要證A C平分∠B A D,不妨從斜率入手,證明:kAD+kAB=0。

證明如下:

【法二】要證A C平分∠B A D,可以從角平分線的性質入手,只需證點C到∠B A D兩邊的距離相等。

化簡即為(x2-2)x-4y+2x2=0,所以點C到直線A D的距離為:

同理可得點C到直線A B的距離為d2=

因此,A C平分∠B A D。

【法三】要證A C平分∠B A D,可以從向量的角度入手。

因此,c o s∠DA C=c o s∠B A C,∠DA C=∠B A C,A C平分∠B A D。

【法四】從圖形的對稱性入手,要證A C平分∠B A D,只需證明點B關于A C的對稱點在直線A D上,由法二知:A D的方程為(x2-2)x-4y+2x2=0。

故A C平分∠B A D。

三、題源剖析

本題具有初等幾何的背景,圓有性質:圓的圓心必在切線夾角的平分線上。

類比到圓錐曲線中,可得到性質:過圓錐曲線外一點作圓錐曲線兩切線與焦點連線所成的角相等(拋物線可看成另一焦點在無窮遠處)(以橢圓為例證明)。

證明:設P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2)。

四、命題拓展

圓錐曲線的切線作為和圓錐曲線位置關系最特殊的直線揭示了直線和圓錐曲線位置關系中定性的結論和幾何性質的不變性。將上述性質進行推廣,可以得到以下性質:

性質2:已知點B(-m,0)(m＞0),設不垂直于x軸的直線l與拋物線y2=2p x(p＞0)交于不同的兩點P、Q,若x軸是∠P B Q平分線?直線l過定點(m,0)。

性質3:已知點B(m,0)(|m|＞a),不垂直于x軸的直線l與橢圓交于不同的兩點P、Q,則x軸是∠P B Q平分線?直線l過定點

同學們解題時需要從形式的“變”發現本質的“不變”,從本質的“不變”探索形式的“變”的規律,發現知識的橫向聯系,揭示其內在的聯系與規律,從中提煉出數學思想、數學方法,領悟思維的誘導、調整、進階、完善,重新全面梳理知識、方法,注意知識結構的重組與概括,精學一題、妙解一類,固化于形、內化于心,進而形成一個有序化、條理化、網絡化的高效的有機認知結構,從而有層次地、遞進地理解數學本質,從而提升大家的數學思維素養。