定點、定值和軌跡，“設而不求”顯神威

■湖北小池濱江高級中學 汪亞洲

一、試題呈現

例已知橢圓),△A O B的面積為1。

(1)求橢圓C的方程。

(2)設P為橢圓C上一點,直線P A與y軸交于點M,直線P B與x軸交于點N。

求證:|AN|·|BM|為定值。

二、初識廬山

本題第一問的門檻低,能夠較輕松地解決,問題是要注意橢圓的幾何意義中的:a2=再結合已知條件中的和面積等于1就可以了。第二問倒是讓人覺得有些難做,P為橢圓C上任意一點該怎么處理?如何求出|AN|·|BM|的值,本文嘗試對這些問題進行回答。第一問易得a=2,b=1,c第二問要證明|AN|·|BM|為定值,只需設出P點的坐標(x0,y0),把P(x0,y0)當作已知點,結合A(2,0),就可以求出直線P A的方程,再令x=0,就可以求出點M的坐標,點B和點M都在y軸上,兩點的縱坐標相減就得到|BM|的值。同理,可以求出AN|的值,然后計算乘積即可。

另一種解法是:點P的坐標設為參數形式,其他的不變,也可以算出|AN|·|BM|的值。

三、拾級而上

首先我們要把第一問解決好,因為這樣就更有信心去做第二問。我們一看就知道橢圓的方程是標準形式,那么橢圓的長軸在哪個坐標軸上呢?教科書上講了“分母哪個大,焦點就在哪個坐標軸上”觀察發現焦點在x軸上,橢圓是橫著放的,離心率是所以列出第一個等式:;再由△A O B的面積為1,列出第二個等式;最后由橢圓的幾何性質得出第三個等式:a2=b2+c2。

接下來如何解決定值問題呢?

(一)對點P的坐標“設而不求”

這里的定值之所以難處理,關鍵就是點P的不確定性,怎么辦呢?沒關系!設P(x0,y0),把x0,y0當作已知數處理。又因由直線方程的點斜式得直線P A的方程-2),再令x=0,就可以求出點M的坐標因為B(0,1),所以|BM|=同理可求出|AN|的值。

(二)發現x0,y0的關系

因為P(x0,y0)在橢圓上,所以中,能算出結果嗎?不要擔心,一切都在意料之中!鼓足勇氣去證明試試。

(三)嘗試證明,收獲成功的驚喜

因此將|BM|、|AN|放在一起相乘的結果是:

太棒啦!這個證明成功了!

四、另辟蹊徑

在本題第二問的證明中,若P點的坐標不設為(x0,y0),而改設為參數形式,會不會減少計算量呢?由,類比聯想(c o sθ)2+(s i nθ)2=1,故令=s i nθ,即P(2 c o sθ,s i nθ)。

五、名師指點

1.有關定點、定值、軌跡的數學問題,可以根據需要設定一些未知數,不必求出未知數,在計算中可以巧妙地將未知數消去或代換,使問題的解決變得簡捷明快,在這里不妨稱為“設而不求”法。初次接觸這一方法的人,無不驚嘆它的微妙。

2.對程度較好的同學,還是應進行適當的訓練,通過做典型的習題使自己熟悉各類試題中的變化,提高自己的解題能力。

3.在解題過程中既要大膽,又要細心。任意點的坐標先設出來不要緊,在隨后的計算中會被約分,變成常數。

六、鞏固練習

2.已知橢圓C:9x2+y2=m2(m＞0),直線l不過原點O且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段A B的中點為M,求證:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值。

答案及解析:

1.設P(x0,y0),依題意有:(定值)。

2.設直線l:y=k x+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)。

將y=k x+b代入9x2+y2=m2,得(k2(定值)。