初探高中數學圓錐曲線問題中的等價轉化思想

■河南省鄭州市第十一中學1902班 李嘉豪

圓錐曲線屬于解析幾何部分內容,而解析幾何的中心思想是借助笛卡兒直角坐標系,用代數的方法研究幾何問題。因此,圓錐曲線問題看似是幾何問題,本質上卻是代數問題。經過大量的實踐演練,筆者發現數學問題的解決就好比語言等價翻譯的過程,將用文字語言描述的數學問題翻譯為用數學語言表達的過程,再輔助結合我們的運算能力,便能將問題快速解決。在兩種語言的翻譯過程中,充分體現了等價轉化的數學思想,而圓錐曲線問題則是考查我們數學等價轉化能力的典型題目。下面筆者將結合典型例題進行說明。

例1(2018·全國卷Ⅰ)設橢圓+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0)。

(1)當l與x軸垂直時,求直線A M的方程;

(2)設O為坐標原點,證明:∠O M A=∠O M B。

思路分析:根據題設條件可以直接得到右焦點F的坐標。由于直線l為過點F的直線,首先需要考慮直線斜率存在還是不存在的問題。

若直線l的斜率不存在,則直接得到直線方程,進而求出點A、B兩點的坐標。若直線l的斜率存在,由于已知直線上一點F的坐標,便可設直線的點斜式方程,引入參數,然后用參數k表示點A、B的坐標。至此,所有的未知量都最終歸結為含有參數k的表達式,文字語言的翻譯工作基本完成,接下來便是純粹的計算問題。

(1)要求直線AM的方程,題目中已知點M的坐標,只需求出點A的坐標即可。此時直線l與x軸是垂直的關系,且已知點F的坐標,根據上面的分析,很容易得到點A坐標,求出直線AM的方程。

(2)要證明兩個角相等,將這個幾何問題轉化為代數問題的銜接知識是三角函數。在圓錐曲線中,與角緊密相關的是直線的斜率,此時便很容易想到兩個角的正切值。在直線傾斜角范圍內,若兩個角的正切值相等,則兩個角相等,反之也成立。這樣證明兩角相等的問題便等價轉化為證明兩個角的正切值相等,也就是對應直線的斜率相等。要表示斜率離不開點的坐標。根據上面的分析可知,直線斜率不存在時,可以求出點的坐標,斜率存在時,可以用參數k表示點的坐標,于是可采用“設而不求”的方法證明等式成立。

解:(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1。

(2)當l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0°。

當l與x軸垂直時,OM為A B的垂直平分線,所以∠OMA=∠OMB。

當l與x軸不重合也不垂直時,設l的方程為y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2)。

從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補。所以∠OMA=∠OMB。

綜上,∠OMA=∠OMB。

例2(2017·全國卷Ⅰ)已知橢圓C:),四點P1(1,1),P2(0,1),中恰有三點在橢圓上。

(1)求C的方程。

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1,證明:l過定點。

思路分析:(1)根據題設條件三個點在橢圓C上,那么是哪三個點在橢圓上就顯得非常重要。

根據橢圓圖形的特征,結合判斷點是否在橢圓上的方法,很容易得到點P2,P3,P4三個點在橢圓上。這樣就很容易求出橢圓的方程。

(2)第二問涉及直線和橢圓的位置關系,離不開直線方程,此時首先要考慮的是直線斜率不存在的情況是否符合題設條件。當直線l斜率存在時,由于直線的已知信息較少,可以根據常規方法設直線的斜截式方程y=k x+m(m≠1),引入參數k,m,設點A、B坐標(盡管此時參數較多,但可以由題目中的條件尋找參數之間關系,消參,將問題轉化到某一個參數上)。根據題設條件將直線與橢圓方程聯立,利用韋達定理尋找兩點坐標之間的關系,同時也找到了兩點坐標與參數之間的關系,這樣本來多個參數問題便歸為兩個參數k、m的問題。又直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1,利用各點的坐標得到等式,進一步消參,最終只剩下一個參數問題。至此,題目條件已經用完,此時回歸問題,將參數之間關系代入直線方程便可得證。

解:(1)由于P3,P4兩點關于y軸對稱,故由題設知橢圓C經過P3,P4兩點。

(2)設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2。

如果l與x軸垂直,設l:x=t,由題設知t≠0,且|t|＜2,可得A,B的坐標分別為符合題設。

圓錐曲線問題是高中階段學習的重中之重,盡管近些年難度有所降低,但所涉及的知識點繁多,覆蓋范圍廣,對大部分同學來說還是一道坎。這就需要大家在掌握基本知識的基礎上,能夠對所學知識活學活用,能夠將知識之間的關系進行等價轉化,從而做到以不變應萬變。