拋物線高考考點掃描

■湖北省巴東縣第三高級中學 廖慶偉

拋物線是高中數學中的重要內容,也是高考考查的重點,主要考查定義、標準方程、幾何性質等基礎知識,考查基本技能與基本方法的運用。

一、知識掃描

平面內與一個定點F和一條直線l(l不過F)的距離相等的點的集合叫作拋物線。這個定點F叫作拋物線的焦點,這條定直線l叫作拋物線的準線。其數學表達式為|MF|=d(其中d為點M到準線的距離)。

拋物線的標準方程與幾何性質如表1所示。

表1

焦半徑:拋物線y2=2p x(p＞0)上一點P(x0,y0)到焦點的距離|P F|。

常用結論:設拋物線方程為y2=2p x(p＞0),F為焦點。

通徑:過焦點且與對稱軸垂直的弦A B,|A B|=2p;p越大,拋物線的開口越大。

焦點弦:設過焦點F的直線l與拋物線交于點A(x1,y1),B(x2,y2),則有:

④點P(x0,y0)在拋物線y2=2p x(p＞0)的內部

點P(x0,y0)在拋物線y2=2p x(p＞0)的外部

⑤以A B為直徑的圓與準線相切。

⑥以A F或B F為直徑的圓與y軸相切。

二、常見題型

考點一:拋物線的定義及運用

例1若拋物線y2=2x上一點M到它的焦點F的距離為,O為坐標原點,則△MF O的面積為( )。

解析:由題意知,拋物線的準線方程為x

所以a=1,代入拋物線方程y2=2x,解得所以

故選B。

點評:利用拋物線的定義解決此類問題時,應靈活地運用拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化。“看到準線想到焦點,看到焦點想到準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的有效途徑。

考點二:拋物線的標準方程

例2如圖1,拋物線的頂點在坐標原點,焦點為F,過拋物線上一點A(3,y)作準線l的垂線,垂足為B,若△A B F為等邊三角形,則拋物線的標準方程是( )。

圖1

將A(3,y)代入拋物線方程得y2=6p,

由于△A B F為等邊三角形,故kAF=

所以拋物線的標準方程是y2=4x,故選D。

點評:求拋物線方程主要有兩種方法。

①定義法:根據條件確定動點滿足的幾何特征,從而確定p的值,得到拋物線的標準方程。

②待定系數法:根據條件設出標準方程,再確定參數p的值,這里要注意拋物線標準方程有四種形式。從簡單化角度出發,焦點在x軸的,設為y2=a x(a≠0),焦點在y軸的,設為x2=b y(b≠0)。

考點三:拋物線的幾何性質

例3如圖2,設拋物線2=4x的焦點為F,不經過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點A,B在拋物線上,點C在y軸上,則=( )。

圖2

解析:如圖3所示,拋物線的準線D E的方程為x=-1。

過A作A E⊥D E于E,交y軸于N;過B作B D⊥D E于D,交y軸于M。

由拋物線的定義知|B F|=|B D|,|A F|=|A E|。

圖3

點評:本題需結合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比,拋物線上的點到準線的距離等于其到焦點的距離求解,在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標準方程及其性質,是高考中小題的熱點。

考點四:拋物線中的最值

例4拋物線y2=2p x(p＞0)的焦點為F,已知點A,B為拋物線上的兩個動點,且滿足∠A F B=120°。過弦A B的中點M作拋物線準線的垂線MN,垂足為N,則的最大值為( )。

解析:設|A F|=a,|B F|=b。

點評:解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題,然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調法以及均值不等式法求解。本題是利用拋物線性質及余弦定理、基本不等式等知識求最值的。注意由于拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等,所以拋物線的頂點到焦點的距離最小。

考點五:拋物線中的定值問題

例5已知拋物線C的頂點在坐標原點O,其圖像關于y軸對稱且經過點M(2,1)。

(1)求拋物線C的方程;

(2)過點M作拋物線C的兩條弦MA、MB,設MA、MB所在直線的斜率分別為k1,k2,當k1+k2=-2時,試證明直線A B的斜率為定值,并求出該定值。

解析:(1)設拋物線C的方程為x2=2p y(p＞0)。

由點M(2,1)在拋物線C上,得4=2p,則p=2。

所以拋物線C的方程為x2=4y。

所以直線A B的斜率為定值-3。

點評:求解此類問題的方法一般有兩種:①從特殊入手,求出定點、定值、定線,再證明定點、定值、定線與變量無關;②直接計算、推理,并在計算、推理的過程中消去變量,從而得到定點、定值、定線。應注意到繁難的代數運算是此類問題的特點,設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算。

考點六:拋物線中的定點問題

例6已知拋物線y2=2p x(p＞0)上點T(3,t)到焦點F的距離為4。

(1)求t,p的值。

(2)如圖4,設A、B是拋物線上分別位于x軸兩側的兩個動點,且(其中O為坐標原點)。求證:直線A B必過定點,并求出該定點P的坐標。

圖4

解析:(1)由拋物線定義可得解得p=2。

所以所求拋物線方程為y2=4x,把T(3,t)代入可解得

故-4t=-20,所以t=5。

所以直線A B過定點P(5,0)。

點評:在解決此類問題的過程中,常利用數形結合的方法,充分挖掘題目中所涉及的拋物線方程、直線方程等相關方面的隱性知識點,比如巧設直線A B的方程為x=m y+t,利用韋達定理求出拋物線方程中t的值等。對于直線過定點問題,若得到了直線方程的點斜式:y-y0=k(x-x0),則直線必經過定點(x0,y0);若得到了直線方程的斜截式:y=k x+m,則直線必經過定點(0,m)。

考點七:拋物線中的探求性問題

例7已知拋物線C:x2=2p y(p＞0)的焦點為F,直線x=4與x軸的交點為P,與C的交點為Q,且

(1)求C的方程。

(2)點A(-a,a)(a＞0)在拋物線C上,是否存在直線l:y=k x+4與C交于點M,N,使得△MAN是以MN為斜邊的直角三角形?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由。

解析:(1)設Q(4,y0),代入x2=2p y,得由題設得,解得p=-2(舍去)或p=2。

所以C的方程為x2=4y。

(2)由x2=4y知點A(-4,4),假設存在滿足條件的直線l。

設M(x1,y1),N(x2,y2),聯立方程組

因為Δ=16(k2+4)＞0恒成立,所以直線與拋物線必有交點。

由韋達定理知x1+x2=4k,x1x2=-16。

所以-16(1+k2)+1 6k+=0,解得k=0(舍)或k=1。

所以存在直線l,方程為y=x+4。

點評:需要注意的是探索結論型問題是指那些題目結論不明確或者答案不唯一,給同學們留有較大探索余地的試題。近年來這類題已成為高考試題的一個新亮點。