橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)探究與應(yīng)用
———橢圓的“第三定義”

■安徽省安慶市第一中學(xué) 洪汪寶

我們知道,橢圓上任意一點(diǎn)(除去長軸端點(diǎn))與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形。那么該三角形有哪些特殊的性質(zhì)呢?本文對橢圓的焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)進(jìn)行探究并舉例說明其應(yīng)用。

一、性質(zhì)探究

為了研究問題的方便,我們以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓為例。有興趣的讀者,可模仿推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的情況。

性質(zhì)1:△P F1F2的周長為定值,其值為a+2c。

性質(zhì)2:△P F1F2的面積為c|y0|,其最大值為b c,當(dāng)點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時焦點(diǎn)三角形的面積取到最大值。

性質(zhì)3:若∠F1P F2=α,則△P F1F2的面積為

證明:設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線方程為,根據(jù)橢圓的第二定義知,于是可得根據(jù)橢圓的第一定義知

根據(jù)此性質(zhì)可知橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a+c,最小距離為a-c,此時該點(diǎn)是橢圓長軸的端點(diǎn)。

性質(zhì)5:若∠F1P F2=α,則當(dāng)點(diǎn)P位于上、下頂點(diǎn)時,α最大。

證明:由余弦定理知:

當(dāng)且僅當(dāng)|P F1|=|P F2|即當(dāng)點(diǎn)P位于上、下頂點(diǎn)時c o sα取到最小值,又余弦函數(shù)在[0,π]上單調(diào)遞減,此時α最大。

性質(zhì)6:設(shè)∠P F1F2=β,∠P F2F1=θ,則橢圓的離心率

證明:由正弦定理知

性質(zhì)7:如圖1,作∠F1P F2的補(bǔ)角的平分線P F,過F2作P F的垂線,垂足為D點(diǎn),則點(diǎn)D的軌跡是一個圓。

圖1

證明:延長F2D交F1P的延長線于點(diǎn)E,連O D。

又O D為△F1F2E的中位線,則|O D|=a。

所以點(diǎn)D的軌跡是一個以原點(diǎn)為圓心,半徑為a的圓。

性質(zhì)8:如圖2,作圓與線段F1P的延長線、線段F2P、線段F1F2的延長線分別切于點(diǎn)D、E、F,則點(diǎn)F為橢圓的右頂點(diǎn)。

圖2

證明:根據(jù)定義知

故2a+2c=2(xF-(-c))。

解得xF=a。

所以點(diǎn)F為橢圓的右頂點(diǎn)。

二、性質(zhì)應(yīng)用

例1已知F1,F2是橢圓的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),且則△P F1F2的面積為____。

解:根據(jù)性質(zhì)3可知△P F1F2的面積為9 t a n4 5°=9。

例2已知橢圓0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,若橢圓C上存在點(diǎn)P使∠F1P F2=120°,則該橢圓C的離心率的取值范圍為____。

解:由性質(zhì)5的所得結(jié)論c o sα≥1-2e2知c o s1 段 °≥1-2e2,解得

例3已知F1,F2是橢圓的左、右焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),若△P F1F2為直角三角形,則這樣的點(diǎn)P有____個。

解:若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),根據(jù)性質(zhì)5由a=2b知P為上下頂點(diǎn);若F1為直角頂點(diǎn),過F1作F1F2的垂線交橢圓于兩點(diǎn),此兩點(diǎn)即為所求;同理,若F2為直角頂點(diǎn),則滿足條件的點(diǎn)P也有兩個。綜上所述,符合條件的點(diǎn)P有6個。

例4已知橢圓0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,若橢圓C上存在點(diǎn)P使∠P F1F2=75°,∠P F2F1=15°,則該橢圓C的離心率為____。

解:由性質(zhì)6知該橢圓的離心率為

例5橢圓的左焦點(diǎn)為F,直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B,當(dāng)△F A B的周長最大時,△F A B的面積是____。

解:設(shè)該橢圓的右焦點(diǎn)為F1,則△F A B的周長為|A F|+|B F|+|A B|≤|A F|+|B F|+|A F1|+|B F1|=8,當(dāng)且僅當(dāng)直線x=m經(jīng)過點(diǎn)F1時等號成立,此時|A B|=3,△F A B的面積為