非完備決策信息系統中的不確定性度量

高文華，梁吉業，王寶麗，龐天杰

（1.太原師范學院 計算機科學與技術系，山西 晉中 030619; 2.山西大學 計算智能與中文信息處理教育部重點實驗室，山西 太原 030006; 3.運城學院 數學與信息技術學院，山西 運城 044000）

粗糙集理論是由Pawlak[1]提出的一種處理不精確、不確定和模糊信息的數學工具，目前已被廣泛應用于病癥診斷、金融風險和機器故障分析等問題中[2-4]。不確定性度量是粗糙集理論中的一個重要研究問題，它在屬性約簡、規則獲取中發揮著重要的作用。

目前，國內外學者已經對經典粗糙集理論的不確定性度量問題做了系統的研究[5-13]。這些研究大多基于完備描述的信息系統。現實問題中，由于屬性度量的高代價性、評價者對問題的判斷水平不足或數據輸入人員的疏忽問題，常存在屬性值缺失的非完備信息系統。這種非完備信息系統中的不確定性度量對于非完備知識獲取等相關問題的求解也至關重要。近年來，研究者對非完備信息系統或非完備決策系統的不確定度量取得了一系列非常重要且有意義的研究成果[14-16]。文獻[17]對3 種類型的決策表(完備、非完備和最大一致塊)計算粗糙集的模糊性和粗略決策。文獻[18]在非完備決策系統中定義了一種條件熵。而進一步研究發現，該條件熵對知識粒度不具有單調性，這使得評估不完備決策系統中的不確定性變得不那么合理。文獻[19]進一步研究非完備決策系統的不確定性度量，提出對知識粒度變化敏感且具有單調性的條件熵。雖然這些度量值隨著知識粒度的變化而改變，但沒有充分考慮由于屬性值缺失引起的不確定性。因此，構造既具有知識粒度單調性又可體現屬性缺失的不確定性度量具有重要的意義。

非完備多屬性決策問題是一類重要的多屬性決策問題。屬性權重的合理設定是獲得可信決策結果的保障；屬性缺失值填充是有效集結不同屬性信息的關鍵。目前屬性權重確定方法大都基于完備描述的多屬性決策問題。文獻[20]基于熵權法設定屬性權重。文獻[21]利用優勢粗糙集中屬性的綜合優勢度來確定多屬性決策中的屬性權重。文獻[22]基于信息量確定屬性權重。上述賦權方法是從信息論的角度來計算的屬性權重，不再依賴于數據分布，且具有客觀性。屬性缺失值的填充方法通常使用統計分析法和最近鄰法等填充方法將非完備系統完備化，然而，在特定情況下，這些填充方法填充的結果會與實際數據產生偏離，從而導致不盡合理的決策結果。

本文考慮條件屬性值缺失的情形，提出了一種新的條件熵用以刻畫非完備決策系統中的知識不確定性程度，同時分析新的條件熵具有有界、單調以及完備可退化的特性。此外，將新條件熵應用于非完備多屬性決策問題求解中，提出一種基于條件熵的非完備多屬性決策方法。該方法以條件熵為統領，確定屬性權重并以最小條件熵為準則選擇填充值，以此更加客觀地求解現實中存在的非完備多屬性決策問題，并獲得合理有效的決策結果。最后應用房屋評測實例說明所提方法的有效性與合理性。

1 相關概念

1.1 基本定義

信息系統S=〈U,V,f,A〉 是一個4 元組，其中U是由對象構成的非空有限集合，稱為論域。A為有限屬性集，Va為屬性a的值域，V為屬性集A的值域，則V=∪a∈AVa；信息函數f:U×A→V，表示論域中每個對象在每個屬性上均對應一個屬性值。

若在信息系統S中存在x∈U、a∈A使得f(x,a)等于空值，其中空值用*表示，則稱該信息系統為非完備信息系統，記作 IS。

若A=C∪d,C為有限的條件屬性集，d為決策屬性，C∩d=?、V=∪a∈CVa、f:U×(C∪d)→V, 則稱之為決策信息系統，記作 DS 。若 ? ∈VC、? ?Vd，則稱決策信息系統為 I DS。

在非完備信息系統中，由于一些缺失值的存在，完備信息系統中的等價關系已不適用于辨別任意兩個對象間的關系。Kryszkiewicz[23]運用較弱的相容關系刻畫非完備信息系統中對象之間的相似性關系，進一步刻畫概念的上、下近似。

定義1[23]相容關系T(P) 定義為：

T(P) 是論域U上的相容關系，滿足自反性和對稱性。在非完備信息系統中，相容關系指的是將缺失值看作與任何同屬性下的已知值有相等的可能性的一種描述。對象u在知識P下與對象v可能的不可區分的相容類為TP(u) ={v∈U|(u,v) ∈T(P)}，u,v∈U，稱TP(u) 為相容關系下的信息粒度。

1.2 非完備信息系統中的不確定性度量

非完備信息系統中的信息熵在文獻[14]中首次進行了深入的探討與研究。

定義2[14]在非完備信息系統IS=〈U,A,V,f〉中，P?A， 屬性P在論域U上的信息熵定義為：

式中：TP(ui) 是非完備信息系統中在U上定義的相容關系下的相容類； |U| 表示集合U的基數。

文獻[14]對非完備信息系統的不確定性度量進行了研究，文獻[18]進一步考慮了非完備決策信息系統中的不確定性度量，提出了條件信息熵的概念。

定義3[18]IDS=〈U,C∪g0gggggg,V,f〉 為非完備決策信息系統，P,Q?C∪g0gggggg。 屬性Q相對屬性P的條件熵定義為：

其中TP(ui) 與TQ(ui) 是非完備信息系統中在U上定義的相容關系下的相容類。

文獻[19]進一步對文獻[18]中的條件信息熵進行了改進，提出一種滿足單調性的條件熵度量公式。

定義4[19]設IDS=〈U,C∪D,V,f〉、??VD、? ∈VC是非完備決策系統，其中，U={u1,u2,···,un}，B?C是一個屬性集，U/D={Y1,Y2,···,Ym}。則決策屬性D相對屬性B的條件熵定義為：

其中TB(ui) 是非完備信息系統中在U上定義的相容關系下的相容類。

然而，定義3 及定義4 并沒有明顯地刻畫出非完備決策系統的屬性值缺失程度的特點，如果此屬性(或屬性集)的信息變得更粗糙(即此屬性或屬性集上有更多的缺失值)，則在該屬性集下的不確定性應該更大，但有時上述不確定性度量值卻保持不變，相關實例見例1。

例1表1 與表2 是2 個給定的決策信息表。論域與條件屬性集分別為U={u1,u2,u3,u4,u5,u6} 和A1={a1,a2,a3,a4}、A2={b1,b2,b3,b4}。二者的決策知識相同,可表示為U/d={{u1,u3},{u2,u4,u5,u6}}，表2將表1 的部分屬性值進行修改，以獲得比表1缺失值更多的決策表。

表1 一個非完備決策表Table 1 An incomplete decision table

表2 表1 部分已知值缺失化后的非完備決策表Table 2 An incomplete decision table with partial known values modified in Table1

利用定義3 和定義4，分別計算表1 和表2 兩個系統的條件熵。

1) 由相容關系分別計算6 個對象在屬性A1、A2下的相容類：

由此，可知

2) 根據定義3，計算2 個非完備決策系統的條件熵分別為：

3) 根據定義4，計算2 個非完備決策系統的條件熵分別為：

從以上計算可以看出表1 與表2 兩個非完備決策信息系統的兩種條件熵都相同，但實際上由于屬性值缺失程度不同，它們所蘊含的信息不同，所以非完備決策信息系統的不確定性也應該不同。

2 非完備決策系統中的條件熵

在經典粗糙集理論中，產生不確定性的原因主要有兩個方面：1)信息粒度帶來的知識不確定性；2)粗糙集邊界引起的集合不確定性。然而對于非完備信息系統，經過分析發現：已有的不確定性度量方法在同一非完備信息系統中，相同屬性集下的屬性值缺失程度不同所形成的系統會得到相同的度量值，這時，如果直接應用已有的度量公式來度量非完備信息系統的不確定性，就存在一定的局限性，因為已有的度量方法只考慮了非完備信息系統中由于知識粒度引起的不確定性以及由粗糙集邊界帶來的集合不確定性，而沒有考慮由于屬性值缺失所引起的不確定性。針對以上問題，本文在非完備信息系統中提出一種考慮缺失值程度的不確定性度量，并進一步考慮了非完備決策信息系統中的不確定性度量，提出新的條件熵，討論了其相關性質。從新的角度驗證并說明條件熵能夠更加精確地度量非完備決策系統的不確定性。

通過以上分析，將完備信息系統下的不確定性度量公理化定義推廣到非完備信息系統中，提出如下非完備信息系統中不確定性度量滿足條件。

定義5設 I S=〈U,V,f,A〉,P?A, 是一個非完備信息系統，X?U，Ψ (U) 是U上所有覆蓋的全體集合， Γ (U) 是U的冪集，若存在 Ψ(U)Γ(U) 到實數集 R1的映射函數H(X|P)：Ψ (U)Γ(U)→R1，滿足如下條件，則稱它為目標概念X在覆蓋U/T(P) 下的不確定性度量。

1) 非負性： ?P?A, 有H(X|P)≥0。

2) 不變性：若 ?P、Q?A, 有H(X|P)=H(X|Q)，那么存在映射f：U/T(P)→U/T(Q)，使得對于任意i∈{1,2,· · ·,|U|}, 有 |TP(ui)|=|f(TP(ui))|， 且在屬性集P與屬性集Q下的缺失值程度相同，其中，U/T(P) ={TP(u1),TP（u2）,···,TP(u|U|)},U/T(Q)={TQ(u1),TQ(u2),···,TQ(u|U|)}。

3) 單調性： ?P、Q?A, 若P≤Q，且屬性集P比屬性集Q下的缺失值程度小，則H(X|P)＜H(X|Q)。

基于上述條件，構造出非完備信息系統中知識的不確定性度量。

定義6 設 I S=〈U,V,f,A〉,P?A, 是一個非完備信息系統，X?U，U/T(P)={TP(u1),TP(u2),···,TP(u|U|)}，則屬性集P在論域U上的信息熵定義為：

基于上述分析，構造出非完備信息系統中目標概念的不確定性度量。

定義7設 I S=〈U,V,f,A〉,P?A, 是一個非完備信息系統，U/T(P)={TP(u1),TP(u2),···,TP(u|U|)}，X?U,則目標概念X在覆蓋U/T(P) 下的不確定性度量為：

定義7 給出了非完備信息系統中目標概念的不確定性度量，該度量不但反映了非完備信息系統中由于知識粒度及集合引起的不確定性，還反映了由于屬性值缺失所引起的不確定性。

定理1設 IS=〈U,V,f,A〉,P?A, 是一個非完備信息系統，X?U，那么Hα(X|P) 是定義5 下的不確定性度量。

證明式(6)是由2 部分因子組成，其中一個因子為另一個因子為

所以

1)非負性：易知 α ≥0 ，所以G(α)＞0。又因為H(X|P)≥0 ，得Hα(X|P)≥0；

對于任意TP(ui)∈U/T(P), 當且僅當TP(ui)∩X=? 或TP(ui)?X時，有Hα(X|P)=0。

2)不變性：若 ?P,Q?A, 要使H(X|P)=H(X|Q),則必對覆蓋有即

又必須在屬性集P與屬性集Q下的缺失值程度相同，即

則得到

3)單調性：因為函數f(x,y)=-xlog(x/x+y) 在區間x≥0,y≥0 上單調遞增，且f(x,y)≥0，所以式(6) 中一個因子H(X/P)≥0, 且單調遞增，另一個因子為函數G(α)=2α＞0, 且單調遞增，所以Hα(X|P)≥0，且單調遞增，即滿足單調性。

由此可知，式(6)是非完備信息系統下的一種不確定性度量。

考慮非完備信息系統中目標概念的不確定性程度，可誘導出非完備決策系統中知識的不確定性度量。

定義8設IDS=〈U,C∪D,V,f〉，P?C，??VD，?∈VC是一個非完備決策系統，U/T(P)={TP(u1),TP(u2),···,TP(u|U|)},X?U，TP(ui) 是在U上定義的相容關系下的相容類，U/D={Y1,Y2,···,Ym} 。 則決策屬性D相對屬性P的條件熵定義為：

性質1設IDS=〈U,C∪D,V,f〉,P,Q?C, ??VD, ?∈VC是一非完備決策系統，其中U/T(P)={TP(u1),若且在屬性集 與屬性集Q下的

P缺失值程度相同，即 αP=αQ, 則

性質1 表明本文構造的條件熵滿足不確定度量的不變性條件，即若2 個知識P,Q?C, 粗細相同，且缺失值程度相同時，它們具有相同的不確定性度量值，這意味著知識粒度粗細程度及屬性值缺失程度相同，其不確定性也相同。

性質2設VC是一非完備決策系統，其中決策屬性D相對屬性P的條件熵取值范圍為

證明1) 當TP(ui)?Yi時，H(D|P) 取最小值為0。

則

根據定義8 得H(D|P)=0 。反之，若TP(ui)?Yi，則

又 2α始終大于零，所以H(D|P)≠0 產生矛盾，因此H(D|P) 可以取到最小值，且為0。

2)當TP(ui)=U,U/D={{u1},{u2},···,{u|U|}}, 且當所有條件屬性值缺失時，H(D|P) 達到最大值 2|U|log|U|。

當所有條件屬性值缺失時，即|Q(ui)|=|U|×|P|,得 α =|U| ， 又因為TP(ui)=U，U/D={{u1},{u2},· · ·,{u|U|}}所以，利用式(7)得H(D|P)=2|U|log|U|。

因此，決策屬性D相對屬性P的條件熵取值范圍為 0 ≤H(D|P)≤2|U|log|U|。

性質3設IDS=〈U,C∪D,V,f〉,P,Q?C,??VD,?∈VC是一非完備決策系統，其中U/T(P)={TP(u1),TP(u2),···,TP(u|U|)},U/D={Y1,Y2,···,Ym}。對于任意ui∈U,a∈C,(i∈1,2,···,|U|) ， 將f(ui,a)≠? 轉化為f(ui,a)=? ，得到改變后的非完備決策系統I DS′。則改變后的非完備決策系統下決策屬性D相對屬性P的條件熵大于原決策系統下決策屬性D相對屬性P的條件熵，即H′(D|P)＞H(D|P)。

證明由于?ui∈U,a∈C,(i∈1,2,···,|U|), 將f(ui,a)≠? 轉化為f(ui,a)=?， 則TP(ui)?TP′(ui)。由定理1 可知，一因子H(X|P) 隨著TP(ui)變粗，單調遞增，則H′(Yj|P)≥H(Yj|P),(j=1,2,···,m)，即

則

又因為改變后的非完備決策系統 I DS′的缺失值增多，即 α′＞ α，也即

所以

性質3 表明由定義8 構造的條件熵滿足不確定性度量的單調性 條件 ，即若2 個知識P,Q?C，P≤Q， 且 |QP(ui)|＜QQ(ui) ， 則決 策 屬性D相 對屬性P的條件熵小于決策屬性D相對屬性Q的條件熵，這意味著非完備決策信息系統存在的缺失值越多，則條件熵越大，不確定性也越大。

性質4非完備決策系統IDS=〈U,C∪D,V,f〉,退化為完備決策信息系統 DS=〈U,C∪D,V,f〉, 其中P?C,U/T(P)={TP(u1),TP(u2),···,TP(u|U|)},U/D={Y1,Y2,···,Ym} 。 則完備決策系統中決策屬性D相對屬性P的條件熵為：

證明 完備決策系統中無缺失值，即 α=0，相容關系退化為等價關系，則相容類TP(ui) 退化為等價類 [ui]P，U/P={X1,X2,···,Xn}，因此，

完備決策信息系統中屬性D相對屬性P的 條件熵HDS(D|P) 可以看成是以條件概率Xi∩Yj/|Xi| 為自變量的函數值的加權平均的平方。

3 基于條件熵的多屬性決策方法

多屬性決策廣泛存在于現實生活中，它主要包括選擇、分級及排序。排序是指根據屬性信息將系統中的整個對象集形成全序。分級是指根據一定準則將對象劃分成若干類，若分類的個數等同于對象的個數時，就將分級轉化為排序。但在實際情況下，決策結果多數以分級的形式存在，因此可將決策系統中的分級看作初步決策，進而利用條件熵計算決策系統的屬性權重，及對屬性缺失值進行填充，在此基礎上，通過計算加權平均值來獲得細粒度的排序，使得排序結果更合理。

3.1 基于條件熵的屬性權重確定方法

定義9設 I DS=＜U,C∪g0gggggg,V,f＞ 是一個非完備決策信息系統，屬性集C={a1,a2,···,am}，定義屬性ai∈C在屬性集C中的重要度為：

基于條件熵的屬性重要度定義具有如下性質：

性質5設IDS=〈U,C∪D,V,f〉,P,Q?C,??VD,?∈VC是一非完備決策系統，則對于任意屬性ai∈C，都有 0 ≤Sig(ai)≤1。

證明1) 由性質2 可知，H(D|P) 可以取最小值，且為0。則若 ?hi=0,(i=1,2,···,m) 則決策屬性d相對該屬性ai的條件熵為hi=0, 從而 S ig(ai)=1。

2) 要使 S ig(ai)=0， 則必須即存在一個條件熵hj≠0(j=1,2,···,m), 其余條件熵hi=0(i≠j), 即屬性ai的重要度為0，則可對該決策系統的條件屬性集進行屬性約簡。

性質6設IDS=〈U,C∪D,V,f〉,P,Q?C,? ?VD,? ∈VC是一非完備決策系統，則對于 ?ai∈C，屬性ai∈C是必要的充分必要條件是 s ig(ai)＞0。

由以上性質知， sig(ai) 的取值越大，則該屬性在屬性集C中越重要。

定義10設IDS=＜U,C∪g0gggggg,V,f＞,??VD,?∈VC是一個非完備決策信息系統，屬性集C={a1,a2,···,am}， 屬性ai∈C的權重為：

3.2 基于條件熵的缺失值填充方法

設 I DS=〈U,C∪g0gggggg,V,f〉,? ?VD,? ∈VC是一個非完備決策信息系統，其中U/d={Y1,Y2,···,Ym}，則基于條件熵的非完備決策系統的填充方法敘述如下。

非完備決策系統中缺失值的平均填充值：

非完備決策系統中缺失值的眾數填充值：

其中 mode(Vaj/{?}) 表 示全 體 對 象ui在 屬性aj下的所有已知值中出現次數最多的屬性值。

利用 Fl=Fl-avg∪(Fl-mode∩Fl-mode-d) 得到缺失值填充f(ui,aj)=? 的所有可能值，將所有可能值依次填充該缺失值，然后分別計算填充后系統的條件熵，比較度量值，取最小度量值對應的填充值，即

為該缺失值的填充值。若v?有多個取值，則該缺失值的填充值為的平均值。

3.3 基于條件熵的多屬性決策方法

算法基于條件熵的多屬性排序方法

輸入非完備決策信息系統IDS =＜U,C∪g0gggggg,V,f＞,? ?VD,? ∈VC, 其中U/d={Y1,Y2,···,Ym}。

輸出全序化結果I。

1)基于相容關系，計算每個對象在每個屬性ai∈C下的相容類：

2)利用條件熵的定義，計算決策屬性d相對每個屬性ai∈C的條件熵

3)利用基于條件熵的屬性權重方法，根據式(9)、(10)計算每個屬性ai∈C分別在屬性集C中的重要度及權重。

4)利用式(11)～(14)對非完備決策系統進行填充。

5)在填充后的系統中，計算每個對象在屬性集C上的加權求和，即

4 案例分析

以某鑒定機構對危舊房屋評估受損水平的多屬性決策問題為例進行分析。鑒定機構負責人派出2 位專家根據房屋裝修質量a1、房屋安全出口結構安全性a2、 房屋結構可靠性a3和房屋主體構件耐久性a4，將10 座房屋進行了初步評定，決策屬性d表示評測等級，U/d={{x1,x4,x8},{x2},{x3,x6,x9},{x5,x7,x10}} ， 見表3，表中" ?"表示該房屋在某屬性下的屬性值是存在的，只是由于數據暫時無法得到而被遺漏了。現根據非完備多屬性排序方法的算法將10 座房屋進行降序排列。

1)計算10 個對象在屬性a1下的相容類：

表3 一個具有非完備評價信息的房屋評測表Table 3 A house evaluation form with incomplete decision information

類似地，可得到所有對象在其他3 個屬性a2、a3、a4下對應的相容類。

2) 分別計算決策屬性d相對每個屬性a1、a2、a3、a4的條件熵為

3)由式(9)分別計算屬性a1、a2、a3、a4在屬性集C中的屬性重要度為

由式(10)計算各屬性權重分別為

4) 利用條件熵方法對非完備決策系統進行填充：

首先得到房屋評測系統中f(x4,a3),f(x8,a3), ···,f(x3,a2) 的值缺失，然后由式(11)～(13)計算每個缺失值的所有可能值。

由此可得 Fl(u5,a1)={1,2}, 即f(x5,a1)=1或f(x5,a1)=2。

類似地，可得其他7 個缺失值填充的所有可能值：

所以以下對f(x5,a1)、f(x6,a1) 和f(x2,a4)，利用式(14)進行選擇。

1) 當f(x5,a1)=2 及f(x5,a1)=1 時，分別利用式(7)計算填充該缺失值后系統的條件熵，并比較條件熵值。

計算當f(x5,a1)=1 時，每個對象在屬性集C下的相容類為當時，每個對象在屬性集C下的相容類為則?Yj,i=5,10, 其余對象的相容類則因此，根據式(14) 得故f(x5,a1)=1.5。

2) 類似地，分別將f(x6,a1)=1.5、f(x6,a1)=1及f(x6,a1)=2 填充該系統，利用式(7)計算填充后系統的條件熵和分別表示3 個可能值填充后系統中每個對象在屬性集C下的相容類)，即

由相容關系計算得：當f(x2,a4)=2 時，每個對象在屬性集C下的相容類為時，每個對象在屬性集C下的相容類為得到，則因此，由式(14)得到f(x2,a4)=2。填充結果見表4。

表4 完備化表3 后的房屋評測表Table 4 An evaluation form by complementing Table 3

在填充后的系統中，根據式(15)及3)的屬性權重，計算非完備決策信息系統中每個對象的加權平均值，則取值為：

最終全序化結果為：

{x1,x4,x8},{x5,x7,x10},{x3,x6,x9},{x2}

在初始評測等級中，優、良、中、差分別對應的分類為 ，根據排序結果可知，該4 類按照等級高低依次排出。房屋4 的初始評測為優，且在排序結果中排在第1 個，說明房屋4 在4 個評測指標下的綜合評測是處于最優的。本文方法將10 座不同房屋區分開，得到合理有效的全序化結果。

為了進一步說明本文基于條件熵的多屬性決策方法的可行性，現將本文所提方法與其他排序方法在2 個完備信息和2 個非完備信息的算例中進行比較分析。由于本文需要進行初步決策，所以將其他排序方法獲得的結果按照1∶1∶1 的比例分成3 類或4 類視為分級結果，進而利用本文排序方法將分級轉化為排序。對比結果如表5～8 所示。

表5 本文方法與文獻[24]方法的排序結果比較Table 5 Comparison of the ranking results between the proposed method and literature [24]

文獻[24]采用熵權法確定屬性權重，并基于優勢關系的排序方法將具有完備信息的對象進行排序，獲得的結果與本文獲得的排序結果大致相同，但仍然存在主觀因素。條件熵可用于評估屬性的重要性，因此本文根據條件熵越小，屬性越重要的特征確定屬性權重，更客觀、更合理地解決排序問題。

表6 本文方法與文獻[25]方法的排序結果比較Table 6 Comparison of the ranking results between theproposed method and literature [25]

文獻[25] 提出一種新的排序模型將對象排序，然而利用該模型得到的排序結果存在明顯的“并列”現象。本文在獲得的排序結果基本一致的情況下，既考慮了條件屬性與決策屬性之間建立的關聯性，又將并列的對象區分開，使得到的排序結果更合理。

表7 本文方法與文獻[26]方法的排序結果比較Table 7 Comparison of the ranking results between the proposed method and literature [26]

文獻[26]基于α-先驗概率優勢關系的對象排序方法獲得的排序結果相同，雖然該方法較好地解決了非完備信息系統的排序問題，但是未考慮屬性在決策方法中的重要性。因此，本文基于條件熵的多屬性決策方法更客觀、合理。

表8 本文方法與文獻[27]方法的排序結果比較Table 8 Comparison of the ranking results between the proposedmethod and literature [27]

文獻[27]提出基于加權 α 優勢關系的排序方法，較好地解決了非完備數據的排序問題，但是由于 α 取值的主觀性，得到的排序結果不穩定。本文方法不僅使用客觀賦權法確定屬性權重避免主觀性，還利用使系統條件熵最小原理進行缺失值填充，進而將對象區分開，獲得合理、有效的全序化結果。

對比分析：

1)從排序方法上看，由于條件屬性集中每個屬性的重要度不同，本文利用提出的新條件熵計算決策系統的屬性權重，能夠避免排序問題中賦權方法帶來的主觀性。對于屬性值缺失的情形，本文以最小條件熵為準則對屬性缺失值進行填充，并利用基本的加權求和方法獲得細粒度的排序，能夠避免計算量較大的問題。

2)從排序結果上看，本文提出基于條件熵的多屬性決策排序方法，能夠有效地解決由分級結果的粗粒度到排序結果的細粒度的轉換，獲得合理的排序結果。

5 結束語

本文首先針對非完備決策系統中屬性值缺失導致系統不確定性的問題，構造一種新型的考慮條件屬性缺失度的目標概念條件熵與決策知識條件熵。性質分析表明本文所提出的條件熵在體現不確定性時會更加敏感，是一種合理的不確定性度量。具有當系統缺失值增加時，新的條件熵增大；當知識粒度變細時，新條件熵隨之減小的性質。其次，基于本文所提出的新的條件熵，設計了基于條件熵的屬性權重確定及最小條件熵非完備屬性取值補充方法，以解決屬性權重完全未知的非完備多屬性決策問題。最后通過與其他排序方法比較分析，說明了該方法能有效利用粗粒度的分級信息，獲得更加合理有效的細粒度的排序結果。