基于自助擴充法的數控機床可靠性建模研究

聶 萌 張海波

(東北電力大學機械工程學院，吉林吉林132012)

數控機床可靠性建模是對機床可靠性評估的前提。在制造業水平不斷提高的現狀下，機床的可靠性也大大提高，想獲得大量的故障數據實屬不易，導致大部分的機床故障數據屬于小樣本數據，而在小樣本數據下運用經典統計學法，結果會出現較大的偏差。本文采用改進的自助擴充法彌補數據不足的缺陷，進而提高了建模的精確性，對可靠性建模具有一定的實踐意義。

當前，數據建模的方法有很多。申桂香等[1]針對小樣本類型的故障數據，先計算出威布爾分布模型，再采用參數偏差修正法修正威布爾分布模型，雖然修正后的威布爾模型更接近經驗分布函數，但在故障數據小于3時無法修正。Anderson-Cook[2]等提出了將系統數據、零件數據和子系統數據與專家判斷結合的貝葉斯方法，并應用于戰略導彈系統的可靠性建模中。任麗娜等[3]基于模型參數、蒙特卡洛仿真誤差、BGR診斷原理及DIC信息準則和可靠性指標后驗估計的區間長度，提出了數控機床貝葉斯可靠性模型的綜合評價方法，為貝葉斯不完全維修模型的模型選擇提供了參考依據。錢浩[4]提出了將Bootstrap與Bayes計算方法相結合并運用改進的Bootstrap-Bayes計算方法，通過對比分析驗證了基于Bootstrap-Bayes可靠性建模方法的可行性，并運用Visual Basic6.0軟件進行數控機床的可靠性評估，使其過程更加精準快捷且更利于數據的對比分析。孫慧玲等[5]針對 Bayes Bootstrap方法進行了改進，其原理是在不改變原樣本數據的基礎上將樣本數據進行了自助擴充，再利用Bayes Bootstrap方法對擴充數據進行參數估計，但此方法只對參數μ的區間估計進行了計算，并未對參數σ進行考量。本文應用改進的自助擴充法增加每組故障數據的擴充數量，運用經典統計學法進行建模，最后結合具體的實例數據加以分析說明。該方法對于數控機床的小樣本可靠性建模具有一定的工程應用意義。

1 經典算法的可靠性模型

(1)數控機床可靠性數據的收集

先將收集到的故障數據進行分類處理，計入符合的數據，再將數據排列與分組。具體步驟不做詳細介紹。

(2)建立威布爾分布模型

指數分布雖然計算簡單便捷，但在早期故障期間失效率不是恒常數會影響建模的精確性；正態分布通常適用于金屬材料的疲勞分析模型；威布爾分布的適用性很廣，不但適用于各種形狀的參數，而且可以表達多種可靠性的指標。所以本文在用經典統計學建模時采用威布爾分布。

兩參數威布爾分布的失效分布密度為:

兩參數威布爾分布失效分布函數為:

兩參數威布爾分布可靠度函數為:

兩參數威布爾分布失效率函數為:

其中:t為時間；α為尺度參數；β為形狀參數。

(3)運用軟件進行可靠性指標評價

通過運用Matlab軟件編程計算平均故障間隔時間(MTBF)、尺度參數(α)、形狀參數(β)。

2 自助擴充法

自助擴充法其中心思想是在不改變原樣本數據的基礎上擴充樣本數據。自助擴充法來源于改進的Bayes Bootstrap方法。改進的Bayes Bootstrap方法通常分為兩種，第一種是對經驗函數提出改進意見，重新構造更為合理的經驗分布函數[6]；第二種是對小樣本的Bootstrap抽樣方法進行改進，目的在于調整抽樣方法，增大樣本容量[7]。本文對Bootstrap抽樣方法方法提出了改進意見，新方法是在Bootstrap抽樣方法的基礎上增加抽樣數量。孫慧玲曾提出改進的Bootstrap抽樣方法是在每組故障樣本數據的基礎上擴充兩個樣本數據，并對小樣本的可靠性參數進行區間估計，但其方法在計算故障間隔時間中效果不顯著。所以本文將每組樣本數量n擴充為2n-1個應用于計算故障間隔時間，并通過實例分析證明該方法的正確性。

2.1 Bootstrap法的基本思想

(1)樣本數據 X＝ (x1，…，xn)，xi～ F ( x)，i＝ 1，2，…，n。樣本數據組成的經驗分布函數如下:

其中:x1，…，xn是從小到大的順序統計量。

(2)從Fn中抽取N組樣本。方法如下:

①計算機在區間0～M中生成隨機數η；

②令 i＝η%n；

③在觀測值中找到對應下標為i的樣本xi作為再生樣本x?，則x?為所需的隨機樣本。則自助樣本為其中 j＝1，…，n。

(3)計算:

(4)在給定Fn的條件下，利用Rn的分布近似Tn的分布，可得到N個θ(F)，那么未知參數的θ的分布、特征值就可用相應的統計方法求出[5]。

2.2 改進的Bootstrap抽樣方法

假設x1，x2，…，xn屬于機床簡單隨機故障樣本數據，將 n個故障樣本數據分成 K組，組距 m＝1+3.322log n。進而確定數控機床故障樣本數據的分組為:

θ1＝ (x1，…，xm)， θ2＝ (xm+1，…，x2m)， …， θm＝(xn-m+1，…，xn)，把分組數據進行擴充。步驟如下:

(1)首先將 θ1＝ ( x1，…，xm)中的數據從小到大排列即 θ1＝ ( x1，…，xm)。 對觀測值xi進行數據擴充得到如下鄰域:

其中 i＝2，…，n-1，q≥2。

(2)在鄰域Π1中取x0，同理在其他鄰域內也能取到一個擴充數據，所以每組數據可以擴充m-1個數據。

(3)重復上述兩個步驟計算每個分組。

(4)將K組擴充后的數據與原樣本數據合并作為再生樣本。運用經典統計學法對再生樣本求解各參數。

3 實例驗證

對7臺某型號的數控機床進行為期半年的觀測，共得到61個故障數據。7臺數控機床的編號分別為Y1，Y2，…，Y7，如表1所示。將7組數據混合從小到大排列用經典統計學方法計算MTBF和α與β，并以此為基準，再用自助擴充法和直接用經典統計學方法計算7組數據與基準比對，從而證明自助擴充法在工程應用上的可行性與精準性。

表1 數控機床故障數據

以61個數據為大樣本數據，利用經典統計學法建立兩參數威布爾分布模型，得到分布模型參數如下:α＝1 204.5，β＝1.245 8，MTBF?＝1 122.7 h。 再用自助擴充法分別建立Y1，Y2，…，Y7七組數據的威布爾分布模型。以Y1為例，采用自助擴充法計算各參數值，首先用自助擴充法擴充Y1機床的樣本數據，得到新生成的故障數據即 Z1＝(12.83，63.5，186.67，189.5，215.5，302，537.5， 639.5， 839.25， 908.167， 945.5， 1 264.25， 2 332.5，2 246.17，2 490.67，2 591.5，2 894)。 再采用經典統計算法對故障數據Z1進行計算得到MTBF＝1 323.9 h，α＝1 135.7，β＝0.770 1，因此可得到機床 Y1的可靠度函數為:

失效率函數為:

根據公式(8)和(9)繪制可靠度函數和失效率函數擬合曲線，如圖1和圖2所示。

以計算機床Y1故障數據的方法為例，用改進的Bootstrap抽樣方法和經典統計學法依次計算Y2～Y7的故障數據，其參數估計值見表2所示。

表2 兩種方法的可靠性模型參數

將表2中的參數代入公式(10)中，計算相應的MTBF，以MTBF?＝1 122.70 h為基準，計算 ΔMTBF結果見表3所示?；鶞省⒆灾鷶U充法、經典建模法的MTBF曲線圖見圖3。

表3 MTBF的相對誤差

從表3和圖3中可以看出，采用改進的Bootstrap抽樣方法計算結果的相對誤差明顯小于直接用經典統計學法的相對誤差，其中相對誤差最大減小了15.78%，由此證明了改進的自助擴充法建立的可靠性模型誤差較小，能得到較準確的可靠性模型，且驗證了改進的Bootstrap抽樣方法的可行性，并具有一定的工程應用意義。

4 結語

(1)如今數控機床故障數據多數屬于小樣本數據，而本文提出的自助擴充法，是在不改變原本小樣本數據的情況下將故障數據擴充成大樣本數據，進而運用經典統計學法進行計算，這樣不但簡化了小樣本應用Bayes法建模的復雜性，而且提高了計算結果的精確性。

(2)本文以實際監測機床的故障數據為研究對象，分別采用改進的Bootstrap抽樣方法和直接用經典統計學法進行計算并對比分析，結果表明采用改進的Bootstrap抽樣方法計算結果的相對誤差明顯小于直接用經典統計學法的相對誤差，相對誤差最大減小了15.78%，為小樣本故障數據在可靠性工程建模中提供了一定的指導意義。

.知識窗.

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