例談矢量合成法破解物理極值難題

楊新凱

摘要：抓住問題的物理木質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，尋求最簡(jiǎn)解題途徑，令許多繁瑣復(fù)雜的題目迎刃而解。

關(guān)鍵詞：矢量合成;物理極值;運(yùn)動(dòng)學(xué);力學(xué);電學(xué)

工欲善其事，必先利其器。在求解物理極值問題的時(shí)候，如果單從數(shù)學(xué)角度運(yùn)算求解，一般計(jì)算過程繁瑣，不利于物理思維的培養(yǎng)。如果抓住問題的物理本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，可從物理特征上輕巧突破。下面例談矢量合成法妙求物理極值，以饗讀者。

一、運(yùn)動(dòng)學(xué)中出奇制勝

例1.如圖1，設(shè)直線姍阿為無限大湖的湖岸。一艘小船某時(shí)刻自岸邊的A點(diǎn)沿與湖岸成α=15°勻速向湖中航行，同時(shí)一人自A點(diǎn)出發(fā)，先沿岸走一段，再人水中游泳追船。已知人在岸上和水中的速率分別為v₁=4m/s和v₂=2m/s。若人要能追上船，則船速不能超過多少？

二、力學(xué)中峰回路轉(zhuǎn)

例2.如圖3，對(duì)質(zhì)量為m的物體施加一個(gè)與斜面成α角的拉力F，求α為多少時(shí)，使物體沿斜面勻速上滑的拉力F最小？設(shè)物體與傾角為θ（μ

析與解：將滑動(dòng)摩擦力f和彈力N合成一個(gè)力F'，與F'垂直斜面方向的夾角φ滿足tanφ=f/N=μ（定值）。這樣可認(rèn)為物體受到重力G、F'和推力F三個(gè)力（如圖4），其中G的大小、方向都確定，尸的方向確定但大小不定，而F的大小和方向都不確定，作出力矢量三角形，顯然，當(dāng)F垂直于F'時(shí)，F(xiàn)最小，即當(dāng)F與斜面α=φ=arctanμ時(shí)F最小。

三、電學(xué)中豁然開朗

例3：正點(diǎn)電荷Q₁和Q₂分別置于相距L的A、B兩點(diǎn)，現(xiàn)以L為直徑作如圖5的半圓，圓心為O。若半圓上電勢(shì)最低點(diǎn)為P，求∠PAB。

析與解：設(shè)將一個(gè)正檢驗(yàn)電荷4從A沿圓弧移到B，則其在圓弧上電勢(shì)能最低點(diǎn)即為所求，依電場(chǎng)力做功與電勢(shì)能變化的關(guān)系可知，此電荷由圓弧上的其他點(diǎn)移至P的過程中，電場(chǎng)力均對(duì)其做正功，即+q在P點(diǎn)所受庫(kù)侖斥力與Fd的FB合力F的反向延長(zhǎng)線必過圓心O（如圖6）。

參考文獻(xiàn)：

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編揮 王彥清