二次根式及性質的思維訓練

趙繼軍

二次根式運算及性質是初中學習的重難點，是中考的熱點問題。復習時要胸有成竹，統籌兼顧。以新課標為統領，知識鏈接恰當及時，挖掘精致題型，提倡一題多解，課后反思。在深入掌握知識的同時兼顧思維訓練。最終，達到知識學習與思維訓練的雙豐收。

一、強化模式，訓練思維定式（定式思維）

思維定式是指學生通常按習質性的、比較固定的思路去考慮、分析問題。缺點是阻礙思維開放和靈活性，易造成思維的僵化和呆板。要注意對公式、定理或常用數值的有效記憶，注重對典型題型的掌握，從而為熟練靈活運用所學做好準備。

二、夯實基本功，訓練思維的敏捷性（初步）

思維的敏捷性指思維活動的反應速度和熟練程度，表現為思考問題時，快速靈活，善于迅速和準確地做出決定。它是以具有淵博知識，對知識理解透徹深刻，豐富的學習經驗為前提的。應加大對二次根式性質最基礎部分的練習，使學生達到脫口而出的熟練程度，為以后訓練更深層次的敏捷性做好鋪墊。

1.適當強調熟記功能

a.記住1～19各數的平方。

b.記住1～19各數平方后的算數平方根。

d.對完全平方式或平方差的各形式爛熟于胸（正逆運算都成立）。

e.對根式的性質要務必夯實基礎，理解實質。

三、聚焦變形，訓練思維的深刻性

思維的深刻性指思維活動的抽象和邏輯推理水平，表現為理解概念透徹，分析問題周密，研究問題由表及里。重點是透過現象洞察本質，研究解題的合理性和嚴謹性。故訓練思維的深刻性其實就是培養學生的數學分析能力。故根式變形后，看你是否有一雙“慧眼”，挖掘隱含，能否由表及里洞穿假象？

四、聯想拓展，訓練思維的廣闊性

思維廣闊性指思維活動發揮作用的廣闊程度，表現為思維思路開闊，善于聯想，善于挖掘題目的隱含關系。知識面開闊，能多角度思考問題。具有一定的歸納能力。為了克服思維狹隘、呆板的不足，展現開闊性，我們設計了以下題目。

五、變換途徑，訓練思維的靈活性（發散思維的特征）

思維的靈活性是根據客觀條件的變化，改變原來的思維過程，尋找新的解決問題的途徑，屬于思維核心。它與其他思維品質相互滲透，相互促進，是辯證統一的關系。為此，教師首先應吃透教材，大力增加變式教學的力度。提倡多思善問，解題使用獨特、新穎的方法，鼓勵從不同的角度和途徑尋求答案，用一題多解、開發逆向思維等方法培養思維的靈活性。

六、克服僵化，訓練思維的變通性（發散思維的特征）

變通性為克服人們頭腦中某種自己設置的僵化的思維框架，按照某一新的方向來思索問題。首先，要深入細致觀察題目，認真審題。面對不明顯的、晦澀的隱含條件，需大膽展開符合數學邏輯關系的聯想、猜想。利用所學知識手段，抓住特征，巧妙正確轉換，由繁到簡，由抽象到具體。為此：

七、正逆互化，訓練思維雙向性

如果只一味注重學生正向思維的刻意培養，而忽視了逆向思維的深刻挖掘，勢必造成學生思維活動的單向性，極易造成思維定式的阻礙，也就妨礙了學生思維的有效開發和拓展。為了避免此類現象的發生，需及時訓練思維的雙向性。

對概念講解，注重從正逆思維兩方面展開教學。對公式和定理等不僅會正向思維，同時做到正、逆思維互化。如平方和開方，n次方和開n次方。

八、精準擇優，訓練思維的批判性（屬于創造性思維，思維訓練目標）

批判性思維是以合理的、反思的、心理開放的方式，抓住問題的關鍵節點，對問題重新思考、梳理的一種綜合性思維技巧。在教學里，倡導質疑、反思，一問多答，一題多解。具體做法：針對一題多解或對比異同思維，能精細檢查思維過程，并且能從多種不同的思路中“擇優”，摘出“內傷”，甄別選出最佳治療方案，開出“處方”，利用自己的“火眼金睛”透過現象看清本質。

正解：ab=4，則a，b同號。又a+b=-5，a，b為負數。即：a<0，b<0。

解題方法：

（1）分母有理化。（2）分子有理化。（3）令原式為k，求k的平方（從<1><2><3>中確保被開方數為正數或零）。（4）求出單個a，b的值，再求原式的值。

九、轉換思路，訓練思維的獨創性（思維訓練的終極目標）

思維的獨創性指思維活動的創造性，即思維不按常理出牌。解題的實質是轉換思路的過程，故對題目的不尋常的分析或計算就是思維創新的最初階段，應大力提倡。雖課堂上倡導數學教育過程性原則，但要調節好各個因素的分寸，不可偏廢。同時，針對一些能力突出的學生，利用課余時間，在教師有組織、有意識的點撥啟發下，進行獨創性訓練，展開討論爭辯，好處多多，不失為一種獨創性訓練的好辦法。為此：

2.在Rt △ABC中，∠C=90°，DE折疊，點A恰好與點B重合。

（1）求：DE的長。

（2）求四邊形BCED的面積。

編輯 王彥清