以一棵樹搖動另一棵樹

孫洪珍

“銳角三角函數(shù)”是初中數(shù)學所學的函數(shù)之一，相較于以前所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，它比較特殊。特殊之處在于它的變量是角度，而不是具體的數(shù)值，還有它的函數(shù)表達式也比較特別，不是簡單的y與x之間的關(guān)系。高中把角度制改成弧度制，寫成如y=sinx，y=cosx，y=tanx的形式，就比較容易理解了。其實如正弦函數(shù)，將函數(shù)的表達式隱藏在對sinA的解讀里。平時在教學過程中，我們可能會忽略函數(shù)的本質(zhì)，讓學生對三種函數(shù)加以熟記，記住怎么求就可以了，但未使學生真正將三角函數(shù)納入函數(shù)的體系，也就沒有將這個概念的學習落實到位。浙教版數(shù)學八年級上冊第五章對函數(shù)的概念是這樣描述的：一般地，在某個變化過程中，設(shè)有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量。所以從函數(shù)角度出發(fā)，來學習“銳角三角函數(shù)”，是對三角函數(shù)有本質(zhì)的理解，為高中進一步學習打好基礎(chǔ)。

本課在浙教版數(shù)學九年級下冊第一章第一節(jié)課，是一節(jié)起始課，是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一。它在學生已學過直角三角形的邊關(guān)系——勾股定理，角關(guān)系——銳角互余，以及相似等知識的基礎(chǔ)上來進行學習的。它進一步將直角三角形中邊和角的關(guān)系串聯(lián)起來，通過邊的關(guān)系求角度，也可通過角度來求邊長，三角函數(shù)可以解決直角三角形中的相似問題，利用三角函數(shù)求直角三角形的邊長更加方便。對于本節(jié)課的難點是銳角三角函數(shù)這個概念本身。如何落實概念，是本節(jié)課的難點。

教學過程片段：

一、拋磚引玉，引入課題

師：如圖1，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=4，你能求出∠A的度數(shù)嗎？為什么？

生1：可以的，因為我們知道在直角三角形中，如果直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角為30°。

師：說得沒錯，我們可以通過邊的特殊關(guān)系求角度，接下來，我們來看下一題。如圖2，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，你能求出∠A的度數(shù)嗎？為什么？

生2：這個我們就不知道了，因為沒有特殊的關(guān)系，只能測量了。

師：是的。同學們，我們已經(jīng)知道，在特殊的直角三角形中，我們可以通過邊長來計算角度，也可以通過角度來計算邊長，但在一般的直角三角形中，我們就受到了一定的局限性。為了解決這些問題，我們開始本章的學習。

二、合作學習，提出概念

1.作一個30°的∠A，在角的邊上任意取一點B，作BC⊥AC于點C，計算BC/AB，AC/AB，BC/AC的值，并將所得的結(jié)果與你的同伴所得的結(jié)果作比較。

2.作一個50°的∠A，在角的邊上任意取一點B，作BC⊥AC于點C，量出AB，AC，BC的長（精確到1mm），計算BC/AB，AC/AB，BC/AC的值（精確到0.01），并將所得的結(jié)果與你的同伴所得的結(jié)果作比較。通過上面兩個實踐操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？

3.當∠A的大小固定時，這些邊的比值是否會隨著點B的位置不同而發(fā)生改變？當∠A的大小發(fā)生改變時，這些邊的比值是否也發(fā)生改變？這種變化讓你聯(lián)想到了什么？

本節(jié)課的難點就在于對銳角三角函數(shù)的理解，通過小組合作，群策群力突破難點。

生3：我們小組發(fā)現(xiàn)在30°的∠A中，這些邊的比值是一樣的，因為300的直角三角形，三邊之比為1：2：而當∠A為50°時，我們通過測量比值比較接近。

生4：我們組也是比較接近的。

師：這兩位的學生通過測量，發(fā)現(xiàn)這些邊的比值比較接近。由于我們測量有一定的誤差，結(jié)果不完全相同，但都是比較接近的。我們能從理論角度來說明這些邊的比值隨著點位置的改變而不變的原因嗎？

生5：如果把兩幅圖放在一起，我的直角三角形與其他同學的直角三角形相似，所以這些邊的比值是不變的。

師：這位同學透過表面看到了本質(zhì)，我們通過實驗操作，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并結(jié)合理論知識加以證明。這是我們進行探究的常用方法。我們發(fā)現(xiàn)當∠A不變時，這些邊的比值不變，那么當∠A的大小發(fā)生改變時，這些邊的比值會怎么樣呢？

生6：當然發(fā)生改變了。因為角度不同，所以三角形相似也就不成立了，這些邊的比值也一定發(fā)生改變了。

師：我們大家共同討論，發(fā)現(xiàn)當∠A發(fā)生改變時，這些邊的比值隨著∠A的變化而變化，這使大家聯(lián)想到了什么？

生7：函數(shù)。

師：是的，我們用函數(shù)來刻畫這種變化。像這樣，按照上面的作圖方法，如圖5，這些邊的比值隨著角度的改變而改變，我們把比值BC/AB，AC/AB，BC/AC看作是關(guān)于∠A的函數(shù)。如圖：我們把比值BC/AB叫做∠a的正弦，記做sina，即sina=BC/AB。同樣，比值A(chǔ)C/AB叫做∠a的余弦，記做cosa，即cosa=AC/AB;比值BC/AC叫做∠a的正切，記做tana，即tana=BC/AC。這里sina，cosa，tana都是完整的符號，單獨的“sin”沒有意義。其中a前面的“∠”一般省略不寫，除非用三個大寫字母或者用數(shù)字表示角的時候。

師：銳角a的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱∠a的三角函數(shù)。如果∠a

師：對于這個三角函數(shù)，它與我們所學過的函數(shù)從表面看并不一樣，接下來，我們從函數(shù)的角度來揭開它的面紗。

三、問題為媒，進行類比

從函數(shù)角度，圍繞下面三個問題，來進一步學習銳角三角函數(shù)的概念。

1.銳角三角函數(shù)的變量和函數(shù)解析式。

2.自變量的范圍，以及函數(shù)的范圍。

3.函數(shù)的圖象和增減性。

師：我們已經(jīng)學過一次函數(shù)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)，誰能告訴我函數(shù)的概念。

生8：一般地，在某個變化過程中，設(shè)有兩個變量x，y，加果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量。