全國卷解析幾何專題考點分析及學生存在問題揭示

吳 攀

(福建省漳州市第三中學 363000)

數學科考試宗旨主要測試學生數學的“三基、五能、兩意識”.其中三基包括：數學基礎知識、基本技能和基本思想方法.五能包括：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力.兩意識包括：數學應用意識與創新意識.而解析幾何內容突出考查學生的運算求解能力、數形結合思想、和將幾何問題代數化的本質.下面我們通過對解析幾何專題作簡要研究分析，提出高考備考建議.

一、解析幾何常考問題類型梳理

1.橢圓、雙曲線或拋物線定義應用及特征量問題；2.求曲線或軌跡方程問題；3.最值問題；4.定點或定值問題；5.直線與圓錐曲線關系問題：弦長、中點、面積、對稱、平行、垂直、夾角等；6.探索性問題：含參數問題、最值問題、存在性問題等.

二、試題特點

1.題型：題型結構比較穩定，選擇題或填空題共2道、1道解答題，共3道題，分值為22分，占全卷約15%；橢圓、雙曲線、拋物線三種曲線都有涉及.

2.難度：從近三年試題分析發現，解析幾何試題的難度明顯降低，18年解析幾何大題從20題首次提前到19題，這是近幾年首次.

3.試題基本不給坐標系和圖形，對數形結合思想考查的要求較高，要求考生具備較強的幾何與代數之間互化的能力.

4.在近三年的高考中，理科選擇或填空題均考查到雙曲線的相關知識，解答題都是以橢圓為背景；文科大題都是以拋物線為背景，小題都有橢圓，另一個小題常以圓為背景；對兩個知識點的考查均體現較強的穩定性.

5.解答題中關注弦長、面積、角度、垂直等幾何量的“代數”運算，試題常涉及算法的合理選擇.

6.全國卷文理科解答題背景資料有時是相近的，甚至是同題(如2018年).

7.試題常滲透平幾知識.

三、存在問題

1.缺乏科學嚴謹的作圖習慣，充分用圖能力弱

評析如圖所示，如果沒有科學規范的作圖，又沒有結合圖形的對稱性，學生將較難發現∠F1PF2=∠MF2N=60°，導致解題無法進行.

建議：1.教師在講課時注意使用尺規規范作圖，起到良好的示范作用.2.要求學生作圖練習(包括立幾中的錐體柱體).學生練習不給圖形，要求學生自己作圖.

2.缺乏對圓錐曲線定義的深刻理解，應用定義意識有待加強

例2 (2016全國Ⅰ卷理20)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程．

評析學生未能從定義出發，研究題目中動點滿足的不變幾何關系，實現用簡便方法將幾何問題代數化.

建議：1.理清求軌跡問題的方法；2.通過方法的優劣比較，引導學生合理選擇方法，優化解題方法；3.適當強調幾何性質，加強課堂教學的嚴密性和條理性．

3.缺乏對幾何問題代數化策略的深入研究

評析學生缺乏對幾何問題代數化策略的深入研究，導致無從下手.其實，法一：可設A(x1,y1),B(x2,y2)，由于直線是過x軸上的定點，把直線投影到y軸后，可得線段AF與線段FB的投影也存在y1=-3y2這一關系，從而將幾何關系坐標化，達到簡化運算的目的.法二：也可通過橢圓的第二定義，將線段AF與線段FB的長度分別轉化為A、B兩點到準線的距離，再通過幾何關系求解.

建議：訓練學生規范作圖，加強幾何問題代數化研究，結合曲線的幾何特征，盡量以簡潔的代數形式呈現，從而實現問題的簡化．

4.計算能力弱，即算法的合理選擇意識弱，簡化運算的意識待加強

例4 (2015全國Ⅱ卷理20)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．

(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

5.其他問題

從學生方面看，學生計算能力弱，即算法的合理選擇意識弱；學生存在畏難怕繁情緒，缺少克服困難的信心和耐力.從教師方面看，課時緊張，教師不舍得花課時講透題目；缺少歸納和學生弱點的針對性訓練；缺少系統性總結反思和給學生積極的心理暗示.

只有找出問題才能更好地解決問題．我們在平時教學過程中，要善于引導學生充分利用圖形，挖掘圖形特征，利用圖形轉化幾何關系．平時教學中應引導學生關注平面幾何知識，特別是三角形的中位線、相似等條件的應用，常常能減少運算量．同時，在計算過程中，注意培養學生的整體代換思想，通過設而不求等方法簡化運算．總之，解析幾何專題學習既要注重基礎和通性通法的掌握，又要注重培養學生理性思維和鍥而不舍的學習品質，在教學中我們需要詳略得當，扎實引導，層層突破.