鏡像單元周期性固液聲子晶體中諧振的研究

席 鋒，陳 剛

(1.重慶工商大學 檢測控制集成系統重慶市市級工程實驗室, 重慶 400067;2.重慶工商大學 計算機科學與信息工程學院，重慶 400067)

0 引言

聲子晶體是不同密度的介質周期性交替排布的人工材料。聲波在這種周期性結構中傳輸時，由于Bragg多重散射某些頻率的聲波因相干相消而成為聲子禁帶，某些頻率的聲波因相干相長而形成聲子允帶，即產生了聲子帶隙。故利用聲子晶體的帶隙特性可以有效地控制彈性波的傳播[1-10]。聲波在固體介質中傳播時有P波和S波兩種形式，但在理想液體中，由于只能產生容變不能產生切變，故僅傳輸縱波。文獻[7-10]采用傳輸矩陣法研究了縱波在一維(AB)結構周期聲子晶體中的傳輸特性。但在多層結構中，由于相位因子的累積，傳輸矩陣的計算結果穩定性較差。因此，本文利用散射矩陣法研究縱波在(ABBA)周期結構固液聲子晶體中的傳輸特性。由于每一個單元都可看成一個諧振腔，周期性(ABBA)結構的聲子晶體，相當于多個諧振腔串聯。由于腔的諧振作用， 聲波在其中的傳輸特性和新現象，是值得研究的問題。

1 模型及原理

一維鏡像周期單元聲子晶體，由兩種不同的固體介質A和B以ABBA的順序交替排布形成，介質密度分別為ρ1、ρ2，厚度分別為d1、d2，空間周期d= 2(d1+d2)，結構如圖1所示。

圖1 鏡像單元聲子晶體結構

聲縱波從端面入射，進入多層介質結構中后，在每層介質中都有前向波和反向波。忽略時間因子，其聲壓p解為

p=a+exp(-ikz) +b-exp(ikz)

(1)

式中:a+和b-分別為前行波和后行波的幅值，上標“+”和“-”分別為z的正向和反向;k為聲波次矢。

彈性波在相鄰層的前、后向波的振幅與散射矩陣S聯系起來，則

(2)

式中al，bl，al+1和bl+1分別為l和(l+1)層的前、后向波的振幅。另外，al，bl，al+1和bl+1的關系又可由界面轉移矩陣表示為

(3)

式中：fl為相位因子，且fl=exp(ikldl)；dl為第l層介質的物理厚度;mij為矩陣中的元素。由式(2)和(3)可得到彈性波在單層介質中的散射矩陣。根據Bloch定理，m(l,l+4)即為一個周期單元中的散射矩陣，由此可得其色散關系。因此，彈性波在整個分層結構中的傳輸，入射界面和出射界面波的振幅用總的散射矩陣表示為

(4)

其中

(5)

(6)

S21(0,n)=S22(0,n-1)M21S11(0,n)+

S21(0,n-1)

(7)

S22(0,n)=S22(0,n-1)M21S12(0,n)+

S22(0,n-1)M22fn+1

(8)

初始條件S(0,0)=I，(I為單位矩陣)。通過迭代算法，即可得到彈性縱波在該結構中傳輸的總散射矩陣。在S(0,n)的各元素中，未出現相位因子的累積，故具有很好的數值穩定性。在出射介質中無反射波，即波的反射系數bn=0，由式(5)～(8)可得反射波和透射波的振幅為

an=a0S11(0,n)

(9)

b0=a0S21(0,n)

(10)

式中：a0為入射波振幅；an為透射波振幅；b0為端面反射波振幅。相應地，透射率和反射率為

(11)

(12)

2 帶隙結構

聲縱波以入射角θ0入射一維固液結構聲子晶體(ABBA)N，設周期數N=4，固體介質A層為氧化鎂，其密度ρ1= 1 740 kg/m3,縱波波速為c1L=5 790 m/s,橫波波速為c1T=3 100 m/s,厚度d1=c1L/(4f0)；液體介質B層為水，其密度ρ2=1 000 kg/m3、波速c2=1 480 m/s、厚度d2=c2/(4f0)；假設入射、出射空間介質也是水。令歸一化頻率g=f/f0，f為入射縱波的頻率，取中心頻率f0=100 kHz。

由Bloch定理可得無限周期(ABBA)結構聲子晶體的色散關系，其 Bloch波矢(κd)與歸一化頻率的關系如圖2所示。 (ABBA)與(AB)型無限周期結構聲子晶體的帶隙結構不同，(ABBA)型的帶隙寬度只有(AB)型帶隙寬度的一半[11]；這使允帶中心出現在倍頻處，禁帶中心呈現在(N-0.5)g處，N為整數。

圖2 鏡像單元聲子晶體的帶隙結構

3 傳輸特性

色散關系反映了聲子晶體帶隙結構的特征，但還不能反映聲縱波在其中的傳輸規律，而透射譜可以彌補這一不足。由式(9)、(10)可得聲縱波以不同入射角進入 (ABBA)4結構的聲子晶體中的傳輸特性。

3.1 正入射傳輸特性

圖3為聲縱波正入射時透射率與歸一化頻率的關系。此時，允帶的特性并不完全相同，在奇數倍頻允帶中出現6條品質因數很高的諧振透射峰，而在偶數倍頻處出現5條較弱的諧振透射峰。這一現象可以解釋為：由于入射、出射端也為介質B，故在(ABBA)4結構中，介質B有6層，而介質A有5層，諧振峰數與介質層數相對應；在該固液聲子晶體中c2

圖3 SH波在鏡像單元聲子晶體中的透射

3.2 斜入射的諧振特性

聲縱波以不同角度斜入射該聲子晶體中時的透射如圖4所示。此時透射譜線沒有明顯的規律性，但諧振明顯增強。在圖4(a)中，入射角為10°，奇數倍頻附近的諧振峰減少，而偶數倍頻附近的諧振顯著增強。基頻和二倍頻處諧振峰頻移很小，但三、四倍頻附近的諧振峰明顯向高頻(短波)方向移動。

圖4 不同角度斜入射時縱波的透射

聲縱波在介質B、A中的傳播速度c0

1) 隨入射的增大，透射譜寬減小(允帶變窄)，諧振透射的振幅減小。

2) 諧振峰均偏離倍頻點，向高頻方向移動。

3) 入射角大于θc時(見圖4(c))，透射譜中的諧振帶變窄，且隨著頻率增加面減小。這表明，此時產生了諧振隧穿效應。當聲縱波以25°入射時，低頻處仍有一允帶，但此時高頻諧振消失，僅在0.85g附近出現弱諧振透射(見圖4(d))。以此推理，當入射角增大到某一值時，將不再有聲縱波透射。

由圖4(c)、(d)表明，聲縱波以大于臨界角入射該聲子晶體時，出射端仍有透射波，稱此為全反射的隧穿效應。這一現象可由倏逝波解釋：在入射端介質B、A的界面上大于臨界角入射的縱波，并非完全不能進入介質A中，而是以倏逝波進入介質A約一個波長的深度，稱為趨膚深度[13]。由于介質A只有1/4(或1/2)波長厚度，故該倏逝波可以從介質A中透射并繼續傳播，由于結構的諧振作用，進而從該一維聲子晶體中透射，產生了諧振隧穿效應。

4 結束語

本文利用散射矩陣法，研究了一維(ABBA)鏡像單元固液體介質周期聲子晶體的帶隙結構和傳輸特性。其周期單元(ABBA)的介質厚度是(AB)周期聲子晶體的2倍，相反，(ABBA)結構的帶隙寬度只有(AB)結構帶隙的一半。由于(ABBA)鏡像單元自身形成諧振腔，聲縱波在介質B中的傳播速度小于在介質A中的傳播速度，對波有更強的局域作用，從而產生了更強的局域諧振透射峰。進而，當聲縱波以大于臨界角入射時，在透射譜中形成了強烈的諧振隧穿，這一現象可以用倏逝波的趨膚深度來解釋。并且，聲緣分波在(ABBA)周期結構中產生的諧振隧穿效應較(AB)周期結構更強烈。但是，即使在全反射條件下，只要透射波中有諧振透射峰，在其低頻段都有較強的聲縱波透射，這對于低頻濾噪、減振都是不利的。