基于鈍化微分的壓電微動平臺PID控制

劉爾春，孫慶龍，盧志誠，惠相君，周鵬飛，汪家樂，孫靖康，崔玉國

(1.寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211; 2.首信自動化有限公司，河北 遷安 064400)

0 引言

壓電微動平臺是一種由壓電執行器驅動的微位移機構，具有結構小巧緊湊,輸出力大,分辨率高,響應速度快及負載能力強的特點，因而被廣泛應用于高精密定位系統中。如在超精密加工中，它可以推動刀架使刀具實現微移動，進而使加工更精準[1]；在微結構表面形貌測量中，它可以作為掃描探針顯微鏡的掃描平臺，進而和微探針相配合，實現對微結構表面的精密測量[2]；在微機電系統(MEMS)裝配中，它可作為微零件、微部件的載物臺，帶動微零件、微部件產生微運動，從而在微機器人操作手的配合下，將微零件裝配成微部件，或將微部件裝配成微系統[3]。另一方面，由于壓電執行器存在遲滯誤差特性，會使由其驅動的微動平臺產生定位誤差，因此需要采取相應的控制方法對平臺進行控制，如前饋控制[4]、比例、積分、微分(PID)控制[5-7]、魯棒控制[8]、自適應控制[9]、復合控制[10-11]等。宋林等基于所提出的閾值優化Prandtl-Ishilinskii(PI)遲滯模型，設計了壓電微動平臺的前饋控制器，平臺在前饋控制作用下，達到5 μm階躍參考位移的響應時間為0.01 s，跟蹤最大值為17 μm的變幅值三角波參考位移時，使定位誤差變化范圍由-1.15～1.35 μm減小為-1.15～-0.05 μm[4]。Lin等采用灰色相關分析法來整定壓電微動平臺的PID控制器參數，使平臺在PID控制下的穩態誤差減小了97%[6]。Ghafarirad等將基于改進觀測器的魯棒控制同PI逆模型相結合，設計了壓電微動平臺的魯棒控制器，實現了平臺在預估干擾作用下的精密定位[8]。張桂林等基于傳統PI遲滯模型來描述壓電執行器的遲滯特性，并采用自適應投影法來在線辨識壓電執行器的PI遲滯模型，進而設計出了壓電執行器的自適應PI逆控制器，使執行器的定位精度提高了49.8%[9]。Lin等將雙前饋補償與反饋控制相結合，設計出了壓電微動平臺的復合控制器，在復合控制作用下，平臺沿x、y向的定位誤差分別達到21.5 nm、20 nm[11]。

在上述這些控制方法中，前饋控制屬于開環控制，無需傳感器，系統構成簡單，成本低，但因無反饋環節，很難實現平臺的高精度定位。PID控制、魯棒控制、自適應控制屬于反饋控制，在對平臺進行控制時，往往需要精密位移傳感器，故成本較高，但能夠實現平臺的高精度、高分辨率定位。其中，PID控制技術最成熟，簡單易用，且不需要被控對象的精確模型，故應用更廣泛。復合控制可使平臺獲得良好的靜、動態特性，但整個控制系統構成較復雜。

本文為提高壓電微動平臺的定位精度，并消除其工作過程中所受到的擾動或沖擊(包括控制過程中的超調)，引入低通濾波器來降低PID控制器中微分環節對擾動或沖擊的敏感性，進而來設計平臺的PID反饋控制器，并實現平臺的精密定位控制。

1 PID控制原理

PID控制通過對被控對象的偏差(即被控對象參考輸入與實際輸出的差值)進行比例(P)、積分(I)、微分(D)的線性運算，來實現對被控對象的控制，如圖1所示。圖中，s為復數變量，1/s、s分別為積分環節、微分環節。PID控制器的控制規律為

(1)

式中k=0, 1, 2,…為采樣序號，即0,T, 2T,…采樣時刻；u(k)為在kT采樣時刻的控制量；e(k)、e(k-1)分別為在kT、(k-1)T采樣時刻的偏差；KP、TI、TD分別為比例系數、積分時間常數、微分時間常數；T為采樣周期。

圖1 PID控制框圖

式(1)給出的PID控制器的輸出，包含了當前和以往所有時刻偏差的積分，這樣會占用較大的計算機內存，使計算時間變長，被控對象的響應時間變慢。為此，本文采用具有遞推關系的PID控制。由式(1)可得，PID控制器在(k-1)T時刻的輸出為

(2)

將式(1)減去式(2)可得具有遞推關系的PID表達式為

u(k)=u(k-1)+KP{e(k)-e(k-1)+

g1e(k-1)+g2e(k-2)

(3)

其中

(4)

(5)

(6)

由式(3)可知，具有遞推關系的PID的控制量u(k)僅與u(k-1)、e(k)、e(k-1)、e(k-2)有關，不僅減小了計算機內存的占用量，且還可顯著縮短計算時間，易于實現快速控制。

對式(3)兩端同時進行z變換，可得具有遞推關系的PID控制器的離散脈沖傳遞函數為

(7)

2 平臺的改進PID控制器設計

2.1 平臺控制器設計

在PID控制中，微分項能夠提高系統的動態特性，縮短瞬態響應的過度過程，但其對干擾或沖擊信號非常敏感，它會使干擾所引起的控制量變化幅度增大。對壓電微動平臺而言，控制量的這種大幅度變化不僅會造成平臺定位精度的下降，有時還會使壓電執行器及平臺受到破壞。

干擾或沖擊信號為高頻信號，而低通濾波是去除高頻干擾信號的有效方法。為此，本文在PID控制器中引入低通濾波器，以降低PID控制中微分環節對擾動或沖擊信號的敏感性，即使微分環節對擾動或沖擊產生鈍化(見圖2)。圖中，E(s)為偏差e(t)的拉氏變換，U′(s)為PID控制器輸出的拉氏變換，U(s)為低通濾波器輸出的拉氏變換，τ′為低通濾波器的時間常數。

圖2 鈍化微分PID控制框圖

(8)

式中α為常數，且α<1，則有

(9)

于是，鈍化微分PID控制器的離散脈沖傳遞函數為

(10)

2.2 平臺控制系統仿真

基于所設計的平臺改進PID控制器以及所建立的壓電執行器與平臺的動力學模型，設計出了平臺的控制系統，其MATLAB/simulink仿真框圖如圖3所示。

圖3 平臺控制仿真框圖

圖4 濾波器對平臺控制結果的影響

圖4為平臺在干擾(其幅值為0.5 μm，頻率為10～100 Hz)作用下，對階躍目標位移(其值為5 μm)的響應。其中，圖4(a)為無濾波器時平臺的響應，這時平臺輸出已不穩定；圖4(b)為有濾波器時平臺的響應，此時平臺輸出仍穩定，且無超調，也無穩態誤差。可見，所設計的鈍化PID控制器可有效消除干擾對平臺輸出位移的影響。

圖5為平臺在5 μm的階躍目標位移且不受干擾的情況下，不同的KP、KI、KD對平臺輸出位移的影響。由圖5(a)可知，隨著KP(此時KI、KD均為0)的增大，平臺響應加快，穩態誤差減小，但KP太大時，平臺輸出位移會出現超調。由圖5(b)可知，KI(此時KP=4.5、KD=0)可顯著減小平臺輸出位移的穩態誤差，KI增大到一定程度時可完全消除穩態誤差，但KI會使平臺輸出位移出現超調。由圖5(c)可知，隨著KD(此時KP=4.5、KI=0.45)的增大，平臺響應變慢，但平臺輸出位移的超調減小。

圖5 KP、KI、KD對平臺控制結果的影響

3 平臺PID反饋控制實驗驗證

3.1 實驗系統構成

圖6為測量壓電微動平臺位移特性的實驗系統，它由驅動電源、多功能卡、壓電微動平臺及電渦流位移傳感器組成。其工作過程如下：由計算機發出相應的控制信號，該控制信號經多功能卡上的D/A轉換器轉換為連續的模擬電壓，施加于驅動電源上，在電源所輸出的驅動電壓作用下，壓電執行器伸長，推動微動平臺使其產生微位移，該位移由電渦流位移傳感器所測得，經多功能數據卡上的A/D轉換器轉換為數字信號，被輸入計算機內。

圖6 壓電微動平臺位移測量系統

由圖6可知，電源輸出電壓的紋波為10 mV，線性度為0.1%，頻帶為0～2 kHz；電渦流位移傳感器的測量范圍為0.36～1.36 mm，非線性誤差為0.4%，分辨率為0.1 μm。多功能數據卡上的A/D及D/A轉換器的位數為16位，采樣速度為100 kS/s。

3.2 階躍響應

圖7為采用鈍化微分PID控制時壓電微動平臺的階躍響應。由圖可知，此時平臺的響應時間較短(為0.3 s)，穩態誤差為0，且無超調，可見所設計的鈍化微分PID控制器可使平臺具有良好的動態和穩態特性。

圖7 鈍化微分PID作用下微動平臺的實際階躍響應

3.3 三角波跟蹤

給壓電微動平臺施加最大值為15.25 μm的變幅值三角波信號，由圖8的測量結果可知，平臺在未受控制的情況下，實際輸出位移相對于目標位移的誤差中線的變化范圍為-0.7～1.2 μm；在鈍化微分PID反饋控制的作用下，平臺的實際輸出位移相對于目標位移的誤差中線的變化范圍為-0.1～0.1 μm。因此，鈍化微分PID反饋控制能較好地跟蹤參考輸入位移，使壓電微動平臺具有較小的定位誤差。

圖8 鈍化微分PID作用下微動平臺的實際三角波輸入

4 結束語

本文為避免壓電微動平臺在工作過程中受到干擾或沖擊的影響，將低通濾波器引入常規PID控制中，設計出了平臺的鈍化微分PID控制器。采用MATLAB/simulink對設計的控制系統進行了仿真，結果表明，鈍化PID控制器可有效消除干擾對平臺輸出位移的影響；KP增大時，平臺響應加快且穩態誤差減小，但太大時會出現超調；KI可消除平臺輸出位移的穩態誤差，但太大時也會出現超調；KD增大時，平臺響應變慢，但超調減小。實驗驗證了所設計的鈍化微分PID控制的有效性，結果表明，平臺達到5 μm階躍目標的響應時間為0.3 s，無超調，且穩態誤差為0；平臺在跟蹤最大值為15.25 μm的變幅值三角波時，定位誤差中線由無控制時-0.7～1.2 μm減小為-0.1～0.1 μm。