十字型結構聲子晶體帶隙及等效模型研究

賀子厚，趙靜波，姚 宏，蔣娟娜，張 帥

(空軍工程大學 研究生院，陜西 西安 710051)

0 引言

隨著科學技術的發展，在日常生活中、航空航天等高精尖領域內，噪聲的影響得到人們的關注，強烈的噪聲會嚴重影響裝備的性能[1]，會破壞人類工作和生活的舒適性，降低生活品質，危害人類的健康。因此對隔聲材料的需求越來越高，人們不僅要求隔聲材料的隔聲性能要好，還要求其質量小，體積小。對于高頻噪聲，傳統的隔聲材料的吸收已很好，但因質量作用定律的限制，對于大量存在的低頻噪聲，傳統隔聲材料難以有效地吸收與隔離。近年來出現的聲學超材料有望從根本上滿足隔離低頻噪聲的需求。

聲子晶體的概念類比于光子晶體提出。1993年，Kushwaha等[2]在鋁/鎳為材料的聲子晶體中獲得了剪切波完全帶隙，首次提出了聲子晶體的概念。1995年，R Martinez-Sala等[3]使用現代化手段測試了馬德里一座歷史雕塑“流動的旋律”的聲學特性，第一次觀測到聲帶隙的存在。2000年以前，所研究的聲子晶體大多屬于布喇格(Bragg)散射機理，其帶隙頻率對應的彈性波波長與其晶格常數相當。2000年，劉正猷等[4]首次提出了局域共振型聲子晶體，通過對單元結構進行特殊的設計，實現波與單元結構的共振，抑制波的傳播。結果表明，該聲子晶體的帶隙頻率所對應的波長遠大于晶格尺寸，達到了小尺寸控制大波長的目的。Kin等[5]根據局域共振機理設計出一種聲子晶體結構，獲得了200～500 Hz的低頻帶隙。Li等[6]發現在局域共振型聲子晶體研究中出現了負的等效質量密度和負的等效體積模量。Yang等[7]首次發現，薄膜型局域共振聲子晶體在50～1 000 Hz可以產生帶隙，并具有良好的隔聲特性。Mei等[8]和Lai等[9]設計了薄膜局域共振型超材料，解決了低頻降噪減震的控制問題。溫激鴻等[10]將聲子晶體結構等效為“質量塊-彈簧”系統，使得局域共振機理更易被人理解。后來還有人對聲子晶體的結構進行了優化和創新，從而獲得了更寬、更低的帶隙[11-19]。

本文提出了一種十字型局域共振聲子晶體，結果發現在頻率30～197 Hz具有一個完全帶隙，并對帶隙上、下界頻率振動模態建立了“彈簧-振子”等效模型。通過調節局域共振單元的結構參數得出影響帶隙起始頻率與截止頻率的主要因素，同時驗證了等效模型的合理性，從而可以有針對性地對共振結構進行優化設計。

1 聲子晶體單元模型

圖1為十字型聲子晶體結構單元模型和第一布里淵(Brillouin)區。聲子晶體單元結構是由金屬芯體、帶狀包覆層、環氧樹脂基體組成，即由4條帶狀包覆層連接散射體與環氧樹脂基體，其中空白處為空氣。表1為對應聲子晶體結構參數[10]。

圖1 聲子晶體結構

a/mmb/mmd/mmr/mm1.00.521.06.0

目前計算彈性波帶隙的方法有平面波展開法、集中質量法、有限元展開法等。其中，有限元法概念清晰淺顯，適用性強，收斂性好，本文采用該方法來計算帶隙。已知理想的聲子晶體滿足Block定理，故可通過研究單個原胞在周期性邊界條件下的本征場問題來得到結構的本征頻率。這里采用有限元計算軟件COMSOL Multiphysics對十字型聲子晶體的帶隙進行計算。

根據Block定理，一個原胞內場的空間分布具有與晶格相同的周期性，場的分布滿足：

uκ(r+R)=eiκRuκ(r)

(1)

式中：κ為給定的波矢；uκ為其對應的位移。

由式(1)構造邊界條件。這里在單個原胞的x，y方向設置布洛赫周期邊界條件，并沿第一Brillion區路徑Μ-Γ-Χ-Μ對Block波矢κ進行掃描，求解結構的固有頻率。

2 結果分析

使用COMSOL有限元計算軟件得到該結構的能帶圖，如圖2所示。該結構在30.98～196.46 Hz間形成較寬的低頻完全帶隙；在497.56～498.20 Hz、498.47～507.78 Hz會分別形成兩條較窄的完全帶隙，當波矢κ處于Γ—Χ—Μ時，存在一個方向帶隙，且當行波頻率接近497 Hz、1 052 Hz時，方向帶隙截止。當行波的頻率接近晶體的共振頻率時，晶體將發生共振，與行波發生耦合作用，將行波的大部分能量局域化，使行波不再傳播，從而產生禁帶，實現聲波的屏蔽(見圖2灰色部分)。

圖2 聲子晶體能帶結構

為進一步說明該帶隙的形成機理，對振動模態進行分析。選取第一布里淵區的A、B、B2、C、D1、D2點進行振動模態分析，其中A點處于最下方，B1點處于次下方，B2點位于二者之上，D2處于最上，D1處于其下，振動模態如圖3所示。

圖3 相應共振頻率下的振動模態

1) A點振動模態對應于散射體連同帶狀包覆層朝相同方向旋轉的旋轉共振模式，帶狀包覆層發生扭轉剪切變形，僅對基體產生扭矩作用，而未產生x或y方向的合力。基體中的長行波難以與該共振模式發生相互耦合，因此未能導致局域共振帶隙的產生。

2) B1、B2點處于帶隙的起始頻率，表現為金屬芯體的平動振動，可以等效為“質量-彈簧”模型，其振子為散射體，固定端為基體，彈簧為帶狀包覆層。此共振模態與基體中傳播的長行波產生耦合作用，相鄰原胞以相同頻率、相反相位的模式振動，使原胞的外框靜止，整體系統處于動態平衡狀態，行波的能量被局域化，從而導致了帶隙的產生。

3) C點為基體的平移共振模式，當外部激勵頻率接近共振單元的固有頻率時，局域共振模態被激發，此時，金屬芯體與基體被類似于彈簧的帶狀包覆層連接，二者振動相位相反。聲子晶體中的所有原胞同相位振動，使彈性波得以繼續傳播，故帶隙在此處截止。

4) D1，D2點金屬芯體和環氧樹脂基體都處于靜止狀態，主要是橡膠帶狀包覆層的橫向振動。

3 等效模型的建立

由第2節模態分析可知，十字型局域共振聲子晶體的起始頻率取決于散射體平動振動的諧振頻率，可將其等效為“彈簧-振子”系統來估算其帶隙的起始頻率，如圖4(a)所示。在帶隙的起始頻率處，等效振子質量Me、彈簧等效剛度ke組成單自由度系統發生共振。設單個金屬芯體質量為mcore，單個周期內基體質量為mhost，有

(2)

式中：ρcore為金屬芯體密度；rcore為圓柱形金屬芯體的半徑；ρhost為基體的密度；D1、D2分別為基體外框和內框的長度。

圖4 聲子晶體簡化模型

在計算帶隙的起始頻率時，由于金屬芯體質量遠大于帶狀包覆層質量，故此Me可以等效為金屬芯體的質量mcore。在計算等效彈簧剛度時，在金屬芯體振動方向的帶狀包覆層發生壓縮/拉伸形變，由于帶狀包覆層呈長條狀，故可忽略帶狀包覆層的剪切模量G，將其彈性模量k等效為楊氏模量E；同時，垂直于金屬芯體振動方向的帶狀包覆層發生剪切形變，同樣由于其呈長條狀，故可以忽略帶狀包覆層的E，將其彈性模量等效為G。因為金屬芯體的直徑遠大于帶狀包覆層的寬度，所以可將帶狀包覆層看為長方形，其長度J為

(3)

等效彈簧相當于4條帶狀包覆層串聯而成，故

(4)

式中S為帶狀包覆層的橫截面積。在帶隙截止頻率處，橡膠包覆層類似于彈簧，連接基體與金屬芯體，二者振動相位相反，可用圖4(b)來描述這一共振模式。其中，M1為單個金屬芯體的等效質量塊，M2為基體的等效質量塊。在帶隙的截止頻率處，質點M1、M2在彈簧的連接下，以相對振動方式發生共振，彈簧上虛線所示位置靜止不動，即靜點。

在計算帶隙的截止頻率時，由于包覆層的等效質量相對于基體而言并非小到可以忽略不計，故在計算截止頻率時，需考慮包覆層質量。由模態分析可知，垂直于振動方向的包覆層大致隨基體一起運動，因此，該部分質量mB應歸入基體等效質量中，而振動方向上的橡膠包覆層質量mA應當按照靜點距兩質點的比例分配，即為

(5)

求解式(5)可得

(6)

顯然，截止頻率時等效彈簧的剛度應與起始頻率時等效彈簧的剛度相同。帶隙的起始頻率(f1)與截止頻率(f2)分別為

(7)

(8)

4 結構參數與材料參數對帶隙的影響

為進一步探究該結構參數與材料參數對帶隙的影響，這里分別單獨改變結構中金屬芯體的密度、填充率、帶狀包覆層的彈性模量，帶狀包覆層的寬度及基體的密度等參數，觀察結構帶隙的變化，同時使用簡化模型對結構的帶隙進行估算，以驗證簡化模型的合理性。所用材料參數如表2所示。

表2 材料參數

4.1 基體密度對帶隙的影響

圖5 基體密度對帶隙的影響

4.2 金屬芯體密度對帶隙的影響

圖6為帶隙隨金屬芯體材料密度的變化。由圖可見，隨著金屬芯體密度的增加，帶隙的起始頻率與截止頻率都出現不同程度的下降，且起始頻率的下降幅度大，故此使帶隙變寬。這是因為相較于帶狀包覆層和基體而言，金屬芯體的質量較大，當金屬芯體的密度變化時，帶隙起始頻率和截止頻率處模型的等效質量都會出現顯著的變化。故可得金屬芯體的密度對帶隙的起始頻率和截止頻率都會產生影響，且隨著金屬芯體密度的增大，帶隙也會逐漸變寬。

圖6 金屬芯體密度對帶隙的影響

4.3 帶狀包覆層寬度對帶隙的影響

本結構的一個顯著特征是包覆層由兩對互相垂直的帶狀彈性介質組成。圖7為帶隙隨帶狀包覆層寬度的變化。由圖可知，隨著帶狀包覆層寬度的增加，帶隙的起始頻率和截止頻率都出現升高，但截止頻率隨帶狀包覆層升高快，這導致帶隙變寬。這是由于帶狀包覆層變寬會使系統的等效剛度變大，從而導致共振頻率上升。由此可得，帶狀包覆層的變寬會使帶隙的起始頻率和截止頻率都上升，并使帶隙變寬，這是十字型包覆層聲子晶體帶隙的特點之一。由圖7可知，隨著帶狀包覆層寬度的增加，簡化模型產生誤差越來越大，這是因為結構中帶狀包覆層呈細長狀，故簡化模型忽略了振動方向縱向帶狀包覆層的剪切模量，及振動方向橫向帶狀包覆層的楊氏模量，而當帶狀包覆層變得越來越寬，此二者的影響則會越來越大，故誤差越來越大。

圖7 帶狀包覆層寬度對帶隙的影響

4.4 填充率對帶隙的影響

填充率是散射體在聲子晶體中所占體積比(對于二維聲子晶體即面積比)。在研究過程中，常通過改變散射體的大小或改變晶格常數這兩種方式來改變填充率。這里采取改變散射體大小的方式，對聲子晶體帶隙隨填充率改變的變化情況進行研究，得到的結果如圖8所示。由圖可見，隨著填充率的增加，帶隙的截止頻率增大，同時起始頻率出現微小的先下降后上升的趨勢，簡化模型的趨勢與此相同。填充率增大，帶隙變寬，這與以往的研究相印證。

圖8 填充率對帶隙的影響

4.5 包覆層彈性模量對帶隙的影響

圖9 包覆層彈性模量對帶隙的影響

包覆層是連接金屬芯體和基體的重要介質，因此，研究帶隙隨包覆層彈性模量的變化尤為重要。圖9為帶隙隨著包覆層彈性模量變化情況。由圖可見，隨著包覆層彈性模量的增大，帶隙的截止頻率迅速增大，帶隙的起始頻率緩慢增大，帶隙的帶寬也隨之增大。

簡化模型的估計頻率(虛線)和實際值(實線)基本吻合，說明該等效模型合理。

從上述計算結果中可以看出，通過調節晶胞的結構參數與材料參數可實現對結構帶隙的調控。由此可對帶隙進行優化。但是，在此結構中金屬芯體為圓型，基體為正方形，晶胞的大小也有限制，故此填充率與帶狀包覆層的寬度等結構參數只能有限增加；同時，對于材料的選擇也是有限的。在實際中，材料強度等因素也會對結構的設計產生限制。綜上所述，在此結構框架下，通過調節結構參數與材料參數對帶隙進行的優化是有限度的。

5 結構的反射系數與透射系數

建立晶胞組成結構如圖10所示，其中金屬芯體材質為金，包覆層材質為硅橡膠，基體材質為環氧樹脂。使用comsol有限元計算軟件計算7層晶體結構的反射系數與透射系數。

圖10 3×7晶體模型

分別計算此結構水平方向的反射系數與透射系數。其中，透射系數隨入射聲波頻率的變化如圖11所示。

圖11 透射系數

由圖11可見，此結構在中低頻段有較低的透射系數，但在500 Hz、1 kHz附近出現了兩個較大的透射峰，這是因為這里設置入射波為水平的從左至右的平面波。依據圖2所示，在這一方向上存在方向帶隙，而在500 Hz、1 kHz附近，這一方向的方向帶隙截止，故此出現透射峰。

反射系數隨入射聲波頻率的變化如圖12所示。同樣也與圖2相符合。

圖12 反射系數

6 結論

1) 提出了一種十字型晶體結構，該結構由兩對互相垂直的帶狀包覆層連接金屬芯體和環氧樹脂基體組成。在中低頻率內可以獲得一個完全帶隙。通過調整結構參數可對帶隙進行優化。

2) 對不同共振頻率的模態進行分析，并將該結構簡化為“彈簧-振子”模型，推導出帶隙的估算公式。通過對結構參數進行改變(填充率、彈性模量和密度等)，可以調節帶隙的上、下限和帶隙的寬度，即減小基體的密度，增加芯體密度和填充率，增加帶狀包覆層的彈性模量，可進一步拓寬帶隙，同時驗證了簡化模型的合理性

3) 計算了模型的透射系數與反射系數，結果發現，此結構在中低頻段有良好的隔聲性能，透射系數與反射系數隨入射波頻率變化的趨勢與帶隙圖相符。

4) 這種結構的設計為獲得彈性波在中低頻率帶隙提供了理論依據。