次分數跳-擴散過程下再裝期權定價

王佳寧， 薛 紅

(西安工程大學 理學院，陜西 西安 710048)

長期以來，金融工程學與金融數學研究的熱點問題之一就是期權定價。美國經濟學家Black、Scholes于1973年在文獻[1]中開創性的提出了Black-Scholes模型，隨后該模型很快就在各種期權定價問題中得到了廣泛應用。文獻[2]最先提出保險精算方法，從此期權定價問題就可以與等價的公平保費問題進行合理轉化，而且把適用范圍從均衡、完備、無套利的市場擴大到了非均衡、不完備、有套利的市場，大大簡化了這類問題的解決過程。在文獻[3-8]中保險精算方法的優越性得到了很好的體現。

最近幾年，在金融證券市場不斷發展過程中，許多在標準期權基礎上變化、組合、派生而來的新品種不斷興起，即新興期權。其中，在原來歐式看漲期權的基礎上衍生出了一種新式的歐式看漲期權—再裝期權，其特別之處在于：執行日前后期權持有者所持的歐式看漲期權不同。不過到期日并不發生任何改變，其數量是執行價格(被執行期權)與股票價格(執行日)之比，而執行日股票的價格就是執行價格[9]。文獻[10-11]在分數Brown運動及相關隨機分析理論的支撐下，構建相應數學模型，結合保險精算思想推得再裝期權定價公式。文獻[12]在股票價格滿足跳-擴散過程的基礎上，研討再裝期權在等價鞅測度條件下的定價問題，針對性給出對應的定價公式，并對數值模擬應用于實際提供了更便捷的方法。文獻[13-15]指出了次分數Brown運動更具有一般性的Gauss過程這個特性，以及其有關概念、性質等，并在金融證券市場中有著廣泛應用。本文將借助金融背景下次分數Brown運動和跳-擴散過程的數學模型，在保險精算方法以及隨機分析相關知識幫助下，研討再裝期權的定價問題，導出其定價公式。

1 次分數跳-擴散過程下金融市場數學模型

假定金融市場只有兩種證券，一種是無風險資產即債券，其價格滿足：

dMt=rMtdt。

其中Mt為無風險資產價格，r為無風險利率；另一種是風險資產即股票，其價格滿足微分方程：

(1)

引理1隨機微分方程(1)的解為

證明當在區間[0,t]內沒有發生跳躍時，由次分數Ito公式可得

假定在t1∈[0,t]時刻內只發生一次跳躍，則在[0,t1)內有

同理在時刻區間(t1,t]內有

由(1)式有

當n→+時，可得所以

當跳躍次數服從Poisson過程時，可得

定義2[16]股票價格{St,t≥0}在[0,t]上的期望回報率βu,u∈[0,t],定義為

引理2股票價格{St,t≥0}在[t,T]上的期望回報率為

βu=μ,u∈[0,t]。

證明由引理1知

則

由

得

又由

得

所以

=1

故而

得證。

2 再裝期權定價

定義3[10]假定到期日T之前只再裝一次，則其收益結構為：在再裝日期T1(0

當T1→T時，再裝期權將退化為歐式看漲期權。

定義4[10]再裝期權保險精算價格為

V=E{[exp {-μT1}ST1-exp {-rT1}K]I{exp {-μT1}ST1>exp {-rT1}K}}

+E{[exp {-μT}ST-exp {-rT}K]I{exp {-μT1}ST1exp {-rT}K}。

其中無風險的資產按無風險利率r折現，風險資產按期望回報率β折現。

定理1次分數跳-擴散過程下再裝期權保險精算價格為

其中

證明令

V1=E{[exp {-μT1}ST1-exp {-rT1}K]I{exp {-μT1}ST1>exp {-rT1}K}},

V3=E{[exp {-μT}ST-exp {-rT}K]I{exp {-μT1}ST1exp {-rT}K}}。

假設在區間[0,T1]內出現波動跳躍J1(i),i=1,2,…,m,在[T1,T]內出現波動跳躍J2(i),i=1,2,…,n。

(1)計算V1,由于

則

V1=E{[exp {-μT1}ST1-exp {-rT1}K]I{exp {-μT1}ST1>exp {-rT1}K}}

=E{E{[ST1exp {-μT1}-Kexp {-rT1}]I{exp {-μT1}ST1>exp {-rT1}K}|QT1}}

其中

V11=E{ST1exp{-μT1}I{ζ>d(m)1}}|QT1=m}

(2)計算V2,由于

則

其中

(3)計算V3,由于

{STexp{-μT}>Kexp {-rT}}={γ>c(m,n)},

則

V3=E{[exp {-μT}ST-exp {-rT}K]I{exp {-μT1}ST1exp {-rT}K}}

其中

3 結 論

本文是在金融背景下次分數Brown運動和跳-擴散過程的數學模型下加以研究推導的，可能與實際情況中股票價格變動還有一定差別，因此準確模擬金融證券市場十分重要，這需要我們在今后不斷的研究過程中修正。