基于LMI方法的電液舵機動剛度H∞控制器分析與設計

董 勝， 袁朝輝

(西北工業大學 自動化學院，西安 710072)

液壓伺服舵機是飛行器飛控系統中的重要驅動裝置，是各種穩定系統和增穩系統的執行機構。舵機作為整個飛控系統中的關鍵性部件[1-2]，對其動態特性有很高的要求，它的一些性能指標，如階躍輸入時的超調量、上升時間；頻率特性中的帶寬、穩定裕度等都是以從輸入指令到輸出位移這樣一種輸入輸出的關系來制定的。然而在實際使用中往往這樣一些性能指標比較滿意的舵機系統仍會出現一些新的問題，經過分析之后發現以上性能指標不夠全面，還應當考慮所謂舵機的阻抗特性(或稱動剛度)。也可以通俗地稱為舵機在動態負載下的“把持”特性。這個特性與所謂氣動伺服顫振有直接的關系[3]。動剛度太差則極易引起舵面的顫振從而影響到整個系統和飛機結構的空氣動力學特性。

舵機的動剛度與很多因素有關，例如油源壓力、油溫、油液彈性模量、作動器本身結構參數等。因此很有必要建立舵機的動剛度實驗室仿真模型，詳細分析各參數對系統剛度的影響，通過建立的系統模型仿真結果指導舵機控制器的設計，以期在一定程度上提高電液舵機的剛度。

目前電液舵機主要采用各種變結構的PID(Proportion Intergration Differentiation)控制結合前饋補償驅動伺服閥完成位置閉環[4-6]。本文采用H∞現代控制理論，設計了狀態反饋控制器，通過解線性矩陣不等式方程組可以簡化控制器的設計[7-8]，理論上指出在LMI(Linear Matrix Inequality)條件下設計的舵機控制器具有比較強的抗干擾能力，系統結構參數波動情況下依然具有較好的控制效果。相對于前饋補償PID控制，剛度有了較明顯的提高，并且剛度幅頻特性“凹點”被鋪平。舵機在很大的擾動頻率范圍都能保持較好的抗干擾能力。

1 舵機動剛度特性分析

1.1 舵機動剛度定義

舵機控制系統一般有兩個輸入端[9]：①控制指令輸入端；②外載荷的干擾輸入，舵機控制系統除了考慮其位置輸出對于指令輸入的特性外，還應當考慮位置輸出對于外載荷干擾輸入的特性，其外載荷與相應位置輸出之比稱為舵機的剛度，該剛度特性隨外載荷頻率而變化，如圖1所示。

Fl—舵機擾動力;Δx—舵機受擾動作用發生的位移變化量圖1 舵機控制系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of steering gear control system

若假設舵機的輸入指令為零，當其負載作用力Fl=0時，輸出位移Δx=0，若Fl≠0時，通常Δx≠0。因而Fl/Δx稱為舵機的剛度。它的大小體現了舵機控制系統抗干擾能力，動剛度越大抗干擾能力就越強。定義Z(jω)=Fl(jω)/Δx(jω)為舵機的動剛度。舵機的動剛度在復平面上常常表現如圖2的形狀。

圖2 舵機動剛度復頻特性Fig.2 Complex frequency characteristic of rudder maneuver stiffness

從圖2可知，a的靜剛度不如b，但隨著ω的增大，曲線a的動剛度下降。而曲線b在某一頻率ωr處動剛度非常小，表明在Fl(jωr)作用下x(jωr)較大，也既是此時舵機把握不住它應有的位置，對這樣的交變負載沒有“抵抗力”，若在此ωr下與氣動力相耦合就會發生顫振，引起飛行器故障。

通過建模仿真，圖3展示了某型號舵機的動剛度幅頻特性曲線，從圖3可知，系統剛度特性在頻率ωr=103rad/s附近達到最小值。此時系統抑制擾動的能力最弱，需要設計控制器提高舵機在該頻率點附近的抗擾能力。

圖3 某型號舵機動剛度特性曲線Fig.3 Dynamic stiffness curve of a certain rudder

1.2 電液舵機控制系統建模

將電液舵機系統改變結構，如圖4所示。依據此結構的舵機控制系統動力學方程為：

(1)線性化后的伺服閥流量方程[10]

Qf=Kqxv-Kcpf

(1)

式中：Qf為負載流量；Kq為伺服閥流量放大系數；Kc為伺服閥流量壓力放大系數；xv為伺服閥閥芯位移；pf為負載壓力。

1-舵機；2-舵系統位移傳感器；3-舵機能源；4-伺服閥圖4 電液舵機控制系統圖Fig.4 Control system diagram of electro-hydraulic rudder

(2)舵機液壓缸流量連續方程

(2)

式中：At為舵機液壓缸活塞有效面積；xt為舵機液壓缸活塞位移；Vt為舵機液壓缸有效容積;Ey為油液等效容積彈性模量；Csl為舵機液壓缸泄漏系數。

(3)舵機力平衡方程

(3)

式中：Fl為外擾動力；mt為舵機液壓缸運動部分折算到活塞上的總質量；bt為黏性阻尼系數；Kt為負載彈性系數。

(4)舵機系統電子伺服放大器

u=Kexi

(4)

式中：Ke為控制器放大系數；xi為舵機目標位移；u為控制器輸出。

(5)電液伺服閥閥芯位移與控制輸入之間的傳遞函數為

(5)

式中：ξs為伺服閥相對阻尼系數;ωs為伺服閥固有角頻率;ksv為伺服閥增益;ki為伺服放大器增益。

對式(1)～式(5)進行拉普拉斯變換并整理，可得系統開環傳遞函數，如圖5所示。

圖5 舵機位置控制開環模型Fig.5 Open loop model of steering gear position control

(6)

其中，

Kcs=Kc+Csl

2 基于LMI方法的舵機位置控制H∞狀態反饋控制器設計

舵機控制系統的廣義結構框圖，如圖6所示。

圖6 系統廣義結構框圖Fig.6 Generalized block diagram of system

從圖6可知，xi為舵機目標位移；ω為系統測量噪聲；y為測量輸出;u為控制輸入;xt為舵機實際位移；Fl為外擾動力。在測舵機動剛度試驗中保持xi恒定或直接為零，忽略ω則圖6又可以轉換為圖7[11]。

圖7 單擾動輸入系統廣義結構框圖Fig.7 Generalized structural block diagram of single disturbance input system

(7)

(8)

那么，K相對于P的一個下線性分解變換為

F(P,K)=P11+P12K(I-P22K)-1P21

(9)

容易知道，圖7中Fl|→x的傳遞函數矩陣TxFl(s)與F(P,K)一致，即

x=F(P,K)Fl

(10)

設計原則1——設一系統中P可以寫成式(8)形式。則H∞控制問題是指設計形如式(7)的控制器K滿足:

(1) 閉環系統是內穩定的。

(2) 從Fl～xt的傳遞函數TxtFl(s)的H∞范數滿足||TxtFl(s)||∞=||F(P,K)||∞<γ，γ為目標性能。

又因為

(11)

其表征了能量有限輸入輸出信號的能量放大倍數，設計希望F(P,K)在一定頻率范圍內能有盡量小的放大倍數γ，問題轉化為給定一個γ，設計出來的控制器K能夠滿足

考慮多輸入多輸出系統[15]

z=C1x+D11w+D12u

(12)

y=C2x+D21w+D22u

式中：x∈Rn為系統狀態；w∈Rl為干擾輸入；u∈Rm為控制輸入；z∈Rp為被控輸出；y∈Rq為可測量輸出，假設系統的狀態是可測量的，設計一個靜態的狀態反饋控制器u=Kx使得相應的閉環系統

z=(C1+D12K)x+D11w

(13)

是漸進穩定的且從w|→z的傳遞函數滿足

||Tzw(s)||∞=||(C1+D12K)[sI-(A+

B2K)]-1B1+D11||∞<γ

(14)

可得到狀態反饋H∞控制的存在條件和設計方法。設計原則1可以進一步寫成：

設計原則2——式(12)存在一個狀態反饋H∞控制器,使得閉環式(13)為漸進穩定，且滿足性能指標式(14)，當且僅當存在一個對稱正定陣X和矩陣Y使得下面不等式成立

如果式(15)有解，則K=YX-1是式(12)的一個狀態反饋H∞控制器。進一步基于控制器存在式(15)，通過建立和求解以下的優化問題

minγ

X>0

(16)

可以得到系統狀態反饋最優H∞控制器，相應的系統擾動抑制度為γ[16-18]。

3 仿真分析

針對本舵機控制系統將前面建立的系統模型寫成式(12)狀態空間方程的形式，取

所以有

(17)

進而可以寫成如下形式

(18)

參數選取如表1所示，求得

B1=[0 0 1 0 0]T,B2=[0 0 0 0.8 0]T

C1=[1 0 0 0 0],D11=D12=0

表1 系統參數取值Tab.1 System parameter value

依據設計原則2建立起系統的線性矩陣不等式：

lmiterm([1 1 1X],A,1,′s′);

lmiterm([1 1 1Y],B2,1,′s′);

lmiterm([1 2 1 0],B1′);

lmiterm([1 2 2 0],-1);

lmiterm([1 3 1X],C1,1);

lmiterm([1 3 1Y],D12,1);

lmiterm([1 3 2 0],D11);

lmiterm([1 3 3r1],-1,1);

lmiterm([-2 1 1X],1,1)。

結合Matlab LMI工具箱求解函數求得系統的狀態反饋矩陣K，將舵機位置指令設置為零，擾動輸入采用幅值為1 000 N，頻率為100 rad/s，相位為0的正弦函數，

Fl=1 000sin(100t)

如圖8所示對比前饋補償PID控制時的系統輸出xt，可以發現相對于沒有狀態反饋控制時，系統對于Fl=1 000sin(100t)的擾動抑制作用較強，舵機位置環的位置波動幅值減小，而對于系統的脈沖響應，如圖9所示。對比H∞控制和PID控制系統的中間狀態變量，系統液壓缸活塞桿輸出位移xt最大波動幅值也相應減小，并且系統各個狀態變量的收斂速度加快。

圖8 固定頻率擾動液壓缸活塞桿位置輸出Fig.8 Displacement output of piston rod of hydraulic cylinder under fixed frequency disturbance

改變擾動輸入的頻率，做出擾動Fl到系統輸出之間的頻率特性曲線，如圖10(a)所示，由圖10可知：

(1) 狀態反饋H∞控制器在舵機實際環境擾動頻率10～200 Hz(62.83～1 256.6 rad/s)內[19]幅值放大倍數幾乎維持在-206 db不變,相對于PID控制幅值放大倍數(>-150 db)有所減小,相位滯后與PID控制時相當且不隨頻率的變大而變大，保持在0°不變。

(2) 系統無狀態反饋控制時，幅值放大倍數在頻率點ωr附近的“上翹”被狀態反饋控制器“削平”，不會出現舵機在某一頻率附近剛度特性變軟的情況。

為了更好的說明系統的動剛度前后變化情況，分別做出Fl(jω)/Δx(jω)的頻率特性曲線，如圖10(b)所示。無狀態反饋控制時在頻率546 rad/s求出剛度最小值5.623×105N/m，而加入狀態反饋控制后剛度在較大范圍內維持1.995×1010N/m不變。

圖9 舵機位置控制脈沖響應Fig.9 Impulse response of position control of steering engine

圖10 控制效果對比圖Fig.10 Contrast chart of control effects

為了驗證控制器的魯棒性使系統油液的彈性模量Ey減小10倍，同樣對比系統液壓缸活塞桿位移輸出xt，如圖11所示。減小彈性模量(油液中容解空氣量增加)舵機位置環的位置波動都會加劇，相比之下無狀態反饋控制時位移波動范圍從10-4量級惡化到10-3量級，狀態反饋控制后擾動引起的位移波動幅值基本不變。對比系統的脈沖響應曲線，如圖12所示。觀察系統液壓缸活塞桿輸出位移xt，xt的導數，xv以及xv的導數等中間狀態變化情況，xt最大波動幅值基本不變，并且系統各個狀態變量很快收斂。

圖11 改變系統油液彈性模量后固定頻率擾動液壓缸活塞桿位置輸出Fig.11 After changing the oil elastic modulus of the system, the position of the piston rod of the hydraulic cylinder output under the fixed frequency disturbance

改變擾動輸入的頻率，做出擾動Fl到系統輸出之間的頻率特性曲線，如圖13(a)所示。由圖13可知:

(1) 狀態反饋H∞控制器在舵機真實擾動頻率10～200 Hz(62.83～1 256.6 rad/s)內幅值放大倍數維持在-186 db不變，但是比彈性模量減小前-206 db有所變大，相位滯后仍舊不隨頻率的變大而變大，保持在0°不變。而前饋補償PID控制擾動幅值放大倍數從很小的擾動頻率開始就逐漸變大, 最終增大到-96.9 db。

(2) 系統無狀態反饋控制時，舵機對擾動的抵抗能力因為彈性模量的減小而減小。“上翹”頻率點ωr也減小到166 rad/s。

分別做出Fl(jω)/Δx(jω)的頻率特性曲線，如圖13(b)所示。無狀態反饋控制時在頻率166 rad/s求出剛度最小值6.998×104N/m，加入狀態反饋控制后剛度為6.309×108N/m，并在很寬頻率范圍內保持不變。

圖12 改變系統油液彈性模量后舵機位置控制脈沖響應Fig.12 After changing the oil elastic modulus of the system, impulse response of position control of steering engine

圖13 改變系統油液彈性模量后控制效果對比圖Fig.13 After changing the oil elastic modulus of the system, contrast chart of control effects

4 試驗分析

4.1 試驗設計

試驗臺架分為兩個子系統，舵機控制系統和加載系統。舵機控制系統和加載系統作用點之間加裝拉壓力傳感器，通過慣量負載盤模擬實際舵面，系統組成框圖如圖14所示。加載操作系統平臺采用windows系統，通過Lab Windows編程控制加載力。所有位移檢測均采用高精度光柵尺測量。通過實際系統搭建測試算法的有效性。實際系統的物理參數與上節仿真參數一致。真實臺架如圖15和圖16所示。

1-舵機;2-慣性負載;3-拉壓力傳感器;4-電液伺服閥;5-轉接閥塊;6-加載缸;7-舵系統位移傳感器;8-加載系統位移傳感器圖14 試驗系統原理圖Fig.14 Schematic diagram of test system

圖15 試驗舵機Fig.15 Test actuator

系統具體工作原理為：加載系統的函數發生器產生預先給定頻率、幅值的正弦信號載荷譜(即參考輸入)，在該輸入作用下，加載缸產生輸出力Fl作用于被試舵機，舵機系統缸將產生一定的位移Δx，加載缸與被試舵機通過連接件固連在一起。加載缸產生的力Fl以及位置系統產生的位移Δx將由傳感器測量并通過采集卡轉換送入計算機，用以計算出某一頻率下舵機位置系統的動剛度特性，計算機完成動剛度的測試和加載系統的閉環控制與校正[20]。

圖16 試驗舵機加載系統Fig.16 Loading system of test steering gear

4.2 試驗結果

試驗過程中，加載系統負責施加外部擾動，外部擾動載荷譜為

Fl=-4 340sin(2πft)+4 750

式中：f=20 Hz加載力滿足設計要求，跟隨曲線如圖17所示。舵機做周期為3.33 s，幅值±15 mm的正弦運動，采用第“2”節設計的控制器，舵機位移跟隨曲線，如圖18所示。舵機位移跟隨誤差如圖19所示。從圖19可知，舵機位移跟蹤誤差波動范圍約在±0.1 mm范圍內(不包含加載多余力對位置控制的影響)。對比前饋補償PID控制算法的±0.3 mm本方法起到了一定的抗負載擾動，提高舵機動剛度的作用。

圖17 舵機加載系統力跟隨曲線Fig.17 Force following curve of servo system loading system

圖18 舵機位移跟隨曲線Fig.18 Displacement following curve of steering engine

5 結 論

通過對電液舵機系統建模和仿真，可以看到舵機在整個頻率范圍內會出現剛度特性最差頻率點ωr。基于LMI方法設計的H∞控制算法，應用無窮范數的物理意義，在一定的頻率范圍內系統擾動通道增益最大值不大于性能指標參數γ，保證了舵機回路的動剛度特性。較前饋補償PID控制抗擾動能力有所提高，并在一定的系統參數波動范圍內控制器持續有效，魯棒性好。在實際的工程項目中該方法也能起到較好的控制作用。