精密鋼球傳動系統動力學建模與模態分析

張 悅， 安子軍， 劉子強， 白曉鵬

(燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島 066004)

精密鋼球傳動系統是一種利用鋼球作為中介體來傳遞運動和力的新型傳動機構，該機構具有無隙嚙合、承載能力強、效率高、傳動比范圍廣、噪聲小等優點。同時本文采用十字鋼球等速輸出機構，該機構能夠承受軸向載荷以及隨機適應偏心距的要求。故精密鋼球傳動在機械手、伺服傳動機構、機床分度機構等經常頻繁往復工作的機構中具有良好的應用前景[1-3]。

關于精密鋼球傳動的研究，國內外學者已經取得一系列成果。文獻[4]對擺線鋼球傳動的齒形形成和運動原理進行了闡述，并對齒形連續性及齒形參數選擇進行了研究。文獻[5]利用赫茲接觸理論對擺線槽進行了接觸強度計算，并進行了參數影響分析。文獻[6]通過采用一種新的效率計算方法對擺線槽形進行優化，提出一種新型等速輸出機構，并通過試驗對輸出機構的效率進行了測試。文獻[7]建立了機構的力學模型，進行了力學性能分析，為新型減速器的定量設計提供了理論依據。張鵬等在忽略擺線槽曲率對嚙合剛度的影響以及不計鋼球質量和軸向預緊力作用的情況下，利用牛頓第二定律對擺線鋼球行星傳動系統建立了平移-扭轉耦合動力學模型，文獻[8]揭示了系統的固有特性，分析了系統結構參數對固有頻率的影響；文獻[9]利用多尺度法對系統進行了動力穩定性分析得到系統的穩定性條件，并通過攝動法計算出系統的穩態響應。楊榮剛等[10]在忽略嚙合副嚙合剛度為時變剛度的情況下，得到系統的固有頻率和主振型，分析了結構參數對固有頻率的影響，并通過試驗驗證了理論的正確性。系統在軸向預緊力的作用下，能夠使嚙合副實時四點接觸。同時忽略鋼球將會影響計算結果的精確性。因此，建立考慮嚙合副四點接觸、鋼球運動和嚙合副時變剛度等因素的動力學分析模型，對求解固有頻率和主振型具有理論意義和學術價值。

綜合考慮擺線槽曲率變化和法向力變化的影響，利用赫茲接觸理論，通過求解由軸向力平衡方程和力矩平衡方程組成的非線性方程組，得到嚙合副時變剛度。建立考慮嚙合副四點接觸、鋼球運動和嚙合副時變剛度等影響因素的精密鋼球傳動平移-扭轉耦合動力學模型，推導系統動力學方程，通過自由振動特征方程求解系統各階固有頻率以及與其對應的主振型。

1 精密鋼球傳動系統結構介紹

精密鋼球傳動的結構，如圖1(a)所示。等速嚙合副滾動槽結構，如圖1(b)所示。中心盤右側加工有外擺線槽，行星盤左側加工有內擺線槽，在內外擺線槽的交錯區域放置減速鋼球。行星盤右側和浮動盤左側加工有相同數量且相互平行的截面為等曲率半徑的雙圓弧滾動槽，在滾動槽中放置等速鋼球組1。浮動盤右側和輸出盤左側加工有相同數量且相互平行的截面為等曲率半徑的雙圓弧滾動槽，在滾動槽中放置等速鋼球組2。浮動盤左右兩側的滾動槽相互垂直。機構運轉時，輸入軸帶動行星盤轉動，行星盤推動減速鋼球運動，減速鋼球在中心盤的限制作用下反推行星盤，使得行星盤以較低速度轉動。行星盤通過等速鋼球組1、浮動盤和等速鋼球組2將轉速等速傳遞給輸出軸，實現等速輸出。等速輸出機構的等效機構為十字滑塊機構。

2 嚙合剛度分析

在間隙調節機構的軸向預緊力Fa的作用下，輸出盤相對中心盤產生軸向微位移δa，各個嚙合點處產生預變形量，使得嚙合副實時四點接觸(無隙嚙合)。

中心盤、減速鋼球和行星盤組成減速嚙合副。

減速副在軸向預緊力的作用下，第i個減速鋼球嚙合點A，B，C，D承擔的法向預緊力分別為FPAi，FPBi，FPCi，FPDi，法向預變形量分別為δPAi，δPBi，δPCi，δPDi。由行星盤相對于中心盤軸向微位移δ13與法向預變形量的幾何關系可知

(1)

式中：β1為槽型角。

圖1 精密鋼球傳動結構圖Fig.1 Structure of precision ball transmission

輸入軸順時針轉動時，行星盤受到阻力矩T1作用，因傳力嚙合點的變形量增加，非傳力嚙合點的變形量減小，使行星盤的轉角產生滯后量α13，行星盤相對于中心盤的軸向微位移變化量Δδ13。

減速副在運轉的過程中存在“換側”現象，即傳力側與非傳力側相互轉化。當0≤Φ2i<π時，即減速鋼球位于坐標軸Y的左側，嚙合點B，D為傳力嚙合點，嚙合點A，C為非傳力嚙合點；當π≤Φ2i<2π時，即減速鋼球位于坐標軸Y的右側，嚙合點A，C為傳力嚙合點，嚙合點B，D為非傳力嚙合點，如圖3所示。則傳力側與非傳力側的變形協調方程分別為

(2)

式中：li為行星盤幾何中心O3到嚙合力方向PO2i的垂直距離，li=Z3e|sinΦ2i|；Z3為行星盤的齒數；e為輸入軸偏心距一半；Φ2i為第i個減速鋼球嚙合法平面繞O2i點逆時針轉過的角度。

由Hertz接觸理論可知，嚙合點法向力與變形量的非線性關系[11]為

(3)

其中，對于傳力側Gi=G1i

對于非傳力側Gi=G2i

由行星盤軸向力平衡和力矩平衡可得

(4)

式中：Φ4i為第i個減速鋼球嚙合法平面繞P點逆時針轉過的角度。

因嚙合點法向力與嚙合點變形量為非線性關系，由文獻[12]可知，實際嚙合剛度為

kni=dF/dδ

(5)

式中：n分別取嚙合點A，B，C，D；dF為嚙合法向力的微小變化量；dδ為對應方向的微小變形量。

機構運轉時，減速鋼球的嚙合點位置實時變化，使嚙合點處的曲率和函數以及嚙合點法向力實時發生變化。故求得的嚙合副嚙合剛度為時變剛度[13]。由于嚙合剛度的表達式復雜，無顯式表達式，故用MATLAB擬合工具箱中的傅里葉擬合可得，如圖2所示。

(6)

式中：kmA為時變嚙合剛度kAi的平均值。

行星盤、等速鋼球組1和浮動盤組成等速嚙合副1。浮動盤、等速鋼球組2和輸出盤組成等速嚙合副2。等速機構中滾動槽截面采用等曲率半徑的雙圓弧結構，嚙合點處的曲率和函數為定值。但作用力臂實時變化，使嚙合法向力實時變化。因此，等速嚙合副嚙合剛度亦為時變剛度，如圖2所示。

(7)

式中：kmA1為時變嚙合剛度kA1j1的平均值。

同理可得嚙合副的其余嚙合點處嚙合剛度。

圖2 時變嚙合剛度kAi和kA1j1變化曲線Fig.2 Variation curve for time-varying mesh stiffness kAi and kA1j1

3 動力學模型建立

在動力學分析中作如下假設：①忽略傳動系統運動過程中各構件的軸向振動；②采用集中參數模型，主要構件簡化為剛體，軸承和各構件嚙合處簡化為彈簧；③忽略各處的阻尼和摩擦力。

如圖3、圖4所示，Φ1i為第i個減速鋼球繞O2點轉過的角度，Φ4i為第i個減速鋼球嚙合法平面繞P點轉過的角度，Φ2i為第i個減速鋼球嚙合法平面繞O2i點逆時針轉過的角度，Φ3為行星盤自轉繞O3點轉過的角度。O1XY為固定坐標系，O2X2Y2為與減速鋼球系固連的坐標系，O2iX2iY2i為各減速鋼球坐標系，i=1,2,...,Z2，其中Z2為減速鋼球數，O3X3Y3為與行星盤固連的隨動坐標系，O9x9y9為與浮動盤固連的坐標系，O9x9y9的兩坐標軸與O3X3Y3的兩坐標軸平行，O8j1x8j1y8j1為等速鋼球組1中各鋼球的坐標系，j1=1,2, ...,Z8，其中Z8為等速鋼球數，O1x5y5為與輸出軸固連的坐標系，O1x5y5的兩坐標軸與O9x9y9的兩坐標軸平行，O7j2x7j2y7j2為等速鋼球組2中各鋼球的坐標系，j2=1,2, ...,Z7，其中Z7為等速鋼球數。xj，yj(j=0,1,21,22, ...,2Z2,3,81,82, ...,8Z8,9,71,72,...,7Z7,5)為各構件因振動產生的線位移，u0，u1，u3，u9，u5分別為各構件因振動產生的角位移(本文中的每個滾動槽放置一個鋼球，滾動槽數與等速鋼球數相等)。

3.1 各構件相對位移

由圖3可知，中心盤、行星盤相對減速鋼球位移沿嚙合線方向的投影為

(8)

圖3 減速嚙合副動力學模型Fig.3 Dynamic model of reduction speed meshing pair

輸入偏心軸相對行星盤的位移為

(9)

減速嚙合副嚙合點A，B，C，D處變形量分別為

(10)

由圖4可知，行星盤、浮動盤和輸出盤相對等速鋼球位移沿嚙合線方向的投影為

(11)

圖4 等速嚙合副動力學模型Fig.4 Dynamic model of constant speed meshing pair

式中：f(j1)，f(j2)均為符號函數。

式中：lj1，l98j1，l97j2，lj2分別為幾何中心O3，O8，O7，O5到嚙合點法平面的距離；j1=j11,j12時，分別為位于X3軸上、下方的等速鋼球組1中的鋼球；j2=j21,j22時，分別為位于Y3軸右、左方的等速鋼球組2中的鋼球。

力臂lj1，l98j1，l97j2，lj2的表達式分別為

(12)

式中：α(j1)=|j1-[Z8/4]|·(2π/Z8)；α(j2)=|j2-[Z7/4]| ·(2π/Z7)；Rw為等速鋼球分布圓半徑；Z2為減速鋼球個數； [Z8/4]，[Z7/4]分別為對Z8/4，Z7/4取整。

等速嚙合副1嚙合點A1，B1，C1，D1變形量為

(13)

等速嚙合副2嚙合點A2，B2，C2，D2變形量為

(14)

3.2 各構件動力學微分方程

輸入偏心軸的動力學微分方程為

(15)

式中：k01x，k01y分別為中心盤與輸入軸x，y向的支承剛度；k03x，k03y分別為行星盤與輸入軸x，y向的支承剛度；T1為輸入軸轉矩。

中心盤的動力學微分方程為

(16)

式中：k1x，k1y分別為中心盤x，y向的支承剛度；k1u為中心盤的扭轉支承剛度。

行星盤的動力學微分方程為

(17)

等速鋼球組1中第j1個鋼球的動力學微分方程為

(kB1j1δB1j1-kA1j1δA1j1+kC1j1δC1j1-kD1j1δD1j1)=0

(18)

等速鋼球組2中第j2個鋼球的動力學微分方程為

(19)

式中：β2為等速嚙合副的壓力角。

第i個減速鋼球的動力學微分方程為

(20)

輸出盤的動力學微分方程為

(21)

式中：T2為輸出軸轉矩；k5y為輸出盤y向的支承剛度。

浮動盤的動力學微分方程為

(22)

3.3 系統動力學方程

聯立式(15)～式(22)，系統動力學方程的矩陣形式為

(23)

q=[x0y0u0x1y1u1x21y21...x2Z2y2Z2x3y3u3x81...
x8Z8x9y9u9y71...y7Z7y5u5]T

M=diag(m0,m0,J0,m1,m1,J1,m21,m21,...,m2Z2,m2Z2,
m3,m3,J3,m81,...,m8Z8,m9,m9,J9,m71,...,m7Z7,m5,J5)

j=j11,j12(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

j1=j11,j12(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

j1=j11,j12(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

j1=j11,j12(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

j1=j11,j12;j2=j21,j22

(j11=1,2,...,Z8/2;j12=1,2,...,Z8/2)

(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

j2=j21,j22(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

j2=j21,j22(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

j2=j21,j22(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

j2=j21,j22(j21=1,2,...,Z7/2;j22=1,2,...,Z7/2)

式中：T為外激勵列陣，其中T1為輸入軸轉矩，T2為輸出軸轉矩；剛度矩陣K為14+2Z2+Z7+Z8維的對稱陣；q為系統的廣義坐標列陣；質量矩陣M為對角陣。

4 固有頻率的求解

由式(23)可知，當系統外部激勵列陣T=0時，無阻尼自由振動方程(矩陣形式)為

(24)

令式(24)的通解為q(t)=φhsin(ωht+θh)，則可將式(24)轉化為變特征值問題，其方程為：

(25)

式中：ωh為系統第h階固有頻率；φh為與其對應的振型矢量。

系統支承剛度取值如下：k03x=k03y=6×108N/m,k01x=k01y=k1x=k1y=k5y=5×108N/m,k1u= 5×106N·m/rad。

樣機參數取值如下：Z1=9，Z2=10，Z3=11、短幅系數H=0.4，e=1.6 mm、滾圓半徑r0=4 mm、減速鋼球半徑rq=2 mm，β1=π/4，Rw=35 mm、等速鋼球半徑rw=2 mm、滾動槽曲率半徑rh=2rw，β2=π/6，Z7=6，Z8=6，E1=206 GPa，E2=206 GPa，μ1=0.3，μ2=0.3、軸向預緊力Fa=700 N、阻力矩T1=6 N·m。傳動系統各構件的質量和轉動慣量均由UG NX實體建模獲得，見表1。

表1 傳動系統質量和轉動慣量

由系統動力學方程式(25)求得系統的固有頻率和相應振型矢量。減速嚙合副和等速嚙合副的嚙合剛度均為時變剛度，并且呈周期性變化，因此系統的固有頻率和主振型[14]也是不斷變化的。

如圖5～圖9所示，精密鋼球傳動系統46階固有頻率隨轉角Φ2i(0～2π)的變化規律，均呈周期性變化。

圖5 傳動系統的1～10階固有頻率周期變化曲線Fig.5 Periodic variation curves of 1—10 order natural frequencies of drive system

圖6 傳動系統的27～29階固有頻率周期變化曲線Fig.6 Periodic variation curves of 27—29 order natural frequencies of drive system

圖7 傳動系統的30～34階固有頻率周期變化曲線Fig.7 Periodic variation curves of 30—34 order natural frequencies of drive system

圖8 傳動系統的39～42階固有頻率周期變化曲線Fig.8 Periodic variation curves of 39—42 order natural frequencies of drive system

圖5中，從下至上依次為系統的前10階固有頻率。前10階固有頻率軌跡變化的周期數與減速鋼球數相等，均為10。低階(1～10階)固有頻率對應的振動模式均為減速鋼球平移振動，相鄰的固有頻率變化軌跡的斜率分別在點A，B，C，D，E，F，G，H，I附近急劇變化，看似相交實則未交，故前10階相鄰固有頻率軌跡在點A，B，C，D，E，F，G，H，I處會發生模態躍遷。

圖6中，自下而上分別為系統27～29階固有頻率。固有頻率軌跡呈周期性變化，周期數等于減速鋼球數。對應的振動模式均為減速鋼球平移振動，固有頻率軌跡斜率在點A，B，C，D附近急劇變化，故27階與28階固有頻率會在點A，B處發生模態躍遷，28階與29階固有頻率會在點C，D處發生模態躍遷。

圖7中，自下而上分別為系統30～34階固有頻率。固有頻率軌跡呈周期性變化，且周期數等于減速鋼球數。對應的振動模式均為減速鋼球平移振動，固有頻率軌跡斜率在點A，B，C，D，E，F，G，H附近急劇變化，故30階與31階固有頻率在點A，B處，31階與32階固有頻率在點C，D，E處，32階與33階固有頻率在點G，F處，33階與34階固有頻率在點H處均會發生模態躍遷。

圖8中，自下而上分別為系統39～42階固有頻率。固有頻率軌跡呈周期性變化。固有頻率軌跡斜率在點A，B，C附近急劇變化，且在點A，B，C處產生了固有頻率“軌跡相交”現象。39階和42階固有頻率為等速鋼球組1直線振動模式，40階和41階固有頻率為等速鋼球組2直線振動模式。在“軌跡相交”位置A，C處，隨著轉角Φ2i的增加，會使等速鋼球組1直線振動模式與等速鋼球組2直線振動模式之間發生變化。

圖9 傳動系統其余固有頻率周期變化曲線Fig.9 Periodic variation curves of other natural frequencies of drive system

5 結 論

本文考慮了嚙合副四點接觸、鋼球及嚙合副時變剛度等影響因素，通過對精密鋼球傳動系統平移-扭轉耦合動力學模型的研究，得到如下結論：

(1) 考慮擺線槽曲率變化和嚙合法向力變化對嚙合剛度的影響，通過基于Hertz接觸理論的精密鋼球傳動嚙合副時變剛度計算方法，求得傳動系統的時變嚙合剛度呈周期性變化。

(2)應用系統平移-扭轉耦合動力學模型，求解的系統各階固有頻率均呈周期性變化，低階(1～10階)、中高階(25～34階)固有頻率變化的周期數與減速鋼球數相等，在低階(1～10階)、中高階(27～29階)和(30～34階)的各自固有頻率軌跡接近處發生模態躍遷。

(3)在高階(39～42階)固有頻率對應的振型中，隨著轉角的增加，在固有頻率軌跡相交處，等速鋼球組1直線振動模式與等速鋼球組2直線振動模式之間會發生變化。