基于特征參數的栓接結合部螺栓預緊力評估

羅文峰， 余 嶺,2

(1. 暨南大學 力學與建筑工程學院，廣州 510632； 2. 暨南大學 重大工程災害與控制教育部重點實驗室，廣州 510632)

結構連接形式有栓接、鉚接、焊接、膠結等，其中栓接結合形式因易于拆卸和承受荷載能力強，而被廣泛應用于各類工程結構中[1]，如航天器構件拼接、塔吊骨架搭建、管道法蘭連接等大都是栓接形式。服役過程中，栓接結合部在沖擊、振動和蠕變等荷載作用下，連接強度下降(表現為螺栓預緊力下降)，連接件出現滑動、分離甚至松脫現象[2]。結合部損傷降低結構性能和承載能力，輕則影響結構正常運行，重則造成結構失效、破壞，給社會造成巨大損失。為了保證結構的完整性、安全性及功能性，亟需發展監測栓接結合部連接狀態的方法。

結合部損傷會改變結構狀態，結構動力參數及其時程響應規律會發生變化。Yin等[3]通過不完備的模態振型識別框架結構中的螺栓松動狀態。緱白勇等[4]利用固有頻率變化定量評估螺栓松動程度較大時的預緊力。實際上，螺栓松動屬于局部損傷，頻率、振型、低頻段傳遞特性等動力參數主要表征結構整體特性，對結合部的損傷靈敏程度較低。王丹生等[5]基于壓電傳感器，測量連接節點處的電導納變化來識別螺栓松動損傷。該方法利用了結構的高頻信號，但設備昂貴，測量信號容易受到干擾。楊智春等[6]利用結構加速度時程響應的自相關函數識別螺栓松脫損傷的發生時間及位置，但只考慮了螺栓松脫和緊固兩種工況，且需要較多的測點。

螺栓預緊力損失后，結合部連接可能從初始線性狀態演化到非線性狀態，表現為：切向產生微觀上的滑移和宏觀上的滑動；法向產生微觀上的拍擊和宏觀上的分離碰撞[7]。Zhou等[8]在有限元模型中添加了連接件分開、螺栓拉裂、材料塑性變形等因素，建立了栓接結合部非線性損傷模型。Zhao等[9]提出用虛擬材料法描述栓接結合部的連接特性。Fasel等[10]基于混沌理論檢測結合部損傷狀態。這類方法的測試原理和試驗設備都很復雜，而不同的連接狀態下，栓接結合部帶來的非線性響應又具有不同的特點。目前，尚缺乏有效的結合部非線性動力學模型，基于非線性理論的結合部損傷識別還沒能應用于工程實際中。

基于線性化理論，在宏觀層面上考慮，結合部連接作用可以用彈簧阻尼系統描述，其主要工作體現在特征參數辨識上。Ren等[11]用廣義頻響函數耦合方法辨識結合部特征參數，將參數辨識轉化為一組特征方程的求解，但特征方程條件數很大，在模型誤差、測量噪聲、數值運算(矩陣求逆)的影響下，辨識結果出現不適定性問題。李玲等[12]先通過求逆運算獲得初始值，利用條件數法對試驗數據處理后，再進行二次辨識，以提高辨識精度，Tol等[13]則通過優化算法進行二次辨識。求逆運算得到的初始值誤差很大，而初始值又決定了二次辨識的參數精度。在利用頻響函數法對栓接結合部的研究中，大都是考慮正常工作下的栓接結合部動力特性，而對損傷狀態的結合部特征參數變化研究，特別是依據特征參數定量評估螺栓預緊力的文獻還很缺乏。

本文在參數辨識方法上，避免矩陣求逆運算，依據特征方程特性，以方程兩端加權誤差和最小構建目標函數，并通過粒子群優化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)獲取特征參數，由此提出一種采用正問題求解思路的參數辨識方法。對于實驗室栓接結合部結構，進一步討論了等效線性模型中連接節點自由度數量，對不同預緊力下的辨識參數精度的影響，擬合得到辨識參數與螺栓預緊力之間的關系式，給出預緊力定量評估方法。

1 栓接結合部等效模型

等效線性模型采用彈簧阻尼系統描述結合部作用，并且假設其特征參數不隨振動頻率和相對位移變化。實際工程中，大多數栓接結合部結構原材料為鋼材，忽略阻尼的情況下，可采用彈簧表示栓接結合部的作用。整體結構由子結構和栓接結合部組成，其中栓接結合部等效線性模型，如圖1所示。

圖1 栓接結合部等效線性模型Fig.1 Equivalent linear model of bolted joints

坐標j和k表示子結構連接節點，坐標r和s表示子結構A和子結構B的內部自由度。在頻域內，子結構A和子結構B的節點位移與外力的關系為如式(1)和式(2)所示。

(1)

(2)

式中：TT和RR分別為平動和扭轉的頻響函數；TR和RT為平動與扭轉振動相耦合的頻響函數；x，θ，f，m分別為平動位移、角位移、力和力矩。

假定結合部連接面內沒有外荷載作用，連接節點滿足平衡方程及位移協調方程

fj+fk=0；mj+mk=0

(3)

(4)

(5)

式中： 上標c為整體結構頻響函數。依據式(1)～式(5)，可得結合部參數辨識特征方程

(6)

2 參數辨識

2.1 目標函數

從式(6)中4個辨識方程均可表示成通式

Ai(ω)=Bi(ω)×Hk(ω)-1×Ci(ω)

(7)

式中：A為整體結構頻響函數與子結構頻響函數關系；B，C為子結構頻響函數；ω為頻率。

采用正問題的思路，避免求逆運算以特征方程兩端誤差和構建目標函數，通過優化算法，找到使目標函數最小的結合部特征參數。

頻響函數在共振點與非共振點間的值存在數量級上的差異，大部分方程的誤差水平遠小于幾個共振點組成方程的誤差。為了將方程誤差控制在同一水平上，目標函數能準確反映結合部參數與結構性能(頻響函數)的關系，本文以方程兩端絕對值之和的倒數為權重，使每個方程的誤差對目標函數貢獻控制在[0, 1]內，構建的目標函數為

(8)

當求解域內的解等于結合部參數時，辨識方程左右兩端相等，目標函數值取全局最小值，為零。實際測量過程中，頻響函數不可避免地受到噪聲污染，目標函數不可能取零值。想要準確地辨識到結合部參數，目標函數須有良好的魯棒性，而優化算法須能夠搜索到全局最小值。

2.2 粒子群優化算法

(9)

(10)

式中：Xpb為k個迭代步中粒子的歷史最優解；XGb為粒子群的當前全局最優解；c1，c2為權重系數，用以調整飛向自身最優位置和全局最優位置的步長，均設定為2；R()為[0, 1]區間內均勻分布的隨機數，使粒子運動具有隨機性；w為慣性權重系數，表征粒子保持當前自身速度的能力，w設置為隨迭代步線性遞減

(11)

式中：wmax取為0.95；wmin取為0.4；CC為當前迭代步數；LC為總迭代步數。

3 數值算例

3.1 數值仿真模型

如圖2所示為兩根懸臂梁與單個螺栓組成的栓接結合部結構。兩根懸臂梁物理參數相同，其中：梁長0.8 m，橫截面尺寸0.01×0.05 m2，楊氏模量210 GPa，密度7 800 kg/m3。忽略阻尼和螺栓質量的影響，結合部等效線性模型為一組豎向和扭轉彈簧，如圖3所示。

利用Matlab軟件，采用有限元方法建模。子結構用梁單元建模，等距劃分為50個單元，51個節點。彈簧連接節點為N49和N57，內部自由度節點為N13和N90，預設結合部等效平動剛度kt=2×106N/m，等效扭轉剛度kr=2×104N·m/rad。取頻帶范圍為0～1 000 Hz，頻率分辨率為1 Hz的頻響函數為結構響應。實際應用中，測量數據都不可避免地受到噪聲的污染，為此將5%和10%的隨機噪聲添加到頻響函數中。

圖2 栓接結合部結構Fig.2 Bolted joints structure

圖3 等效線性模型Fig.3 Equivalent linear model

3.2 目標函數性質

數值算例中只含2個未知參數，可在三維坐標下觀察目標函數圖像。將求解域取為kt∈[1×105,1×107]，kr∈[1×103,1×105]，等間距地在求解域內取10 000個點，計算其目標函數值，其中無噪聲、5%及10%隨機噪聲的目標函數圖像，如圖4～圖6所示。

圖4 無噪聲下目標函數三維圖Fig.4 3D graph of J(n,k) under noise-free

圖5 5%噪聲下目標函數三維圖Fig.5 3D graph of J(n,k) under 5% noise

圖6 10%噪聲下目標函數三維圖Fig.6 3D graph of J(n,k) under 10% noise

從圖4可知，無噪聲情況下，目標函數在結合部參數處取最小值，并在參數附近區域單調遞增，當求解域內的點的值很大時，目標函數值保持不變。目標函數具有包含單調區間、光滑、連續等性質，便于優化算法搜索到全局最優解。

噪聲污染后的目標函數基本性質不改變，而全局最小值增大：5%噪聲水平下，min(J)=610.8； 10%噪聲水平下， min(J)=990.7。目標函數雖然受到了噪聲的影響，但是最小值依然落在結合部參數附近，說明目標函數具有良好的魯棒性，本文所提方法有效解決了辨識參數的不適定性問題。

物理意義上，方程右端相當于以求解域內的點為特征參數，得到的整體結構。而方程左端是實測的整體結構頻響函數，因此一定區域內，域內的點偏離真實結合部參數越遠，連接狀態差別越遠，體現在頻響函數差異越大。目標函數表現為單調遞增，說明目標函數能反映參數變化引起的連接狀態差異。

連接剛度很大時，螺栓已經擰得足夠緊，其動力特性趨于穩定，不再隨連接剛度增加而變化，計算的整體結構頻響函數不變化，方程誤差不發生改變。數學意義上，特征方程式(6)中，結合部參數越大，求逆運算后Hj越小，Hk變化越小，方程右端趨于不變，因此求解域內的點的值很大時，目標函數值保持不變。

3.3 辨識結果

利用PSO算法，對無噪聲、5%噪聲、10%噪聲的目標函數分別迭代求解獲取其最小值，種群粒子數為20，迭代30次，求解域kt∈[1×105,1×107]，kr∈[1×103,1×105]，以一組隨機解作為初始種群，算法運行50次，其結果如圖7所示。

圖7 PSO算法辨識結果Fig.7 Identified results based on PSO algorithm

三種噪聲水平下，50次運算結果中，均只有2次未能搜索到全局最小值，表明了PSO算法具有強大的全局搜索能力，適用于求解本問題。噪聲水平下，單次運行結果如表1所示，隨著噪聲水平的增加，誤差水平也隨之提升，但是其精度依然很高，表明本文所提方法能夠精確辨識栓接結合部特征參數。

表1 5%，10%噪聲水平下單次辨識結果

4 試驗驗證

4.1 試驗簡介

以懸臂梁與自由梁形成的栓接結合部結構為試驗對象，驗證本文所提的參數辨識方法，并進一步通過辨識參數識別螺栓預緊力。

整體結構試驗設備圖如圖8所示，懸臂梁長度：800 mm，橫截面尺寸：50 mm×10 mm；材料為鋼材，密度ρ=7 850 kg/m3，彈性模量E=210 GPa；自由梁長度：400 mm，橫截面尺寸：50 mm×10 mm；連接件接觸范圍：50 mm(距懸臂梁固支端750～800 mm)。

通過力錘對子結構自由梁給予脈沖激勵，激振器對子結構懸臂梁和整體結構給予正弦掃頻激勵，采用LMS數據采集儀測量結構頻響函數。測得頻響函數帶寬均為0～2 048 Hz，頻率分辨率為1 Hz。

圖8 整體結構試驗設備圖Fig.8 Experimental setup for assembled structure

在整體結構中，內部自由度節點選取為距離懸臂端350 mm，1 050 mm處。結合部等效線性模型用豎向和扭轉彈簧模型表示，連接范圍內，實驗室栓接結合部簡圖考慮為兩個等效模型，如圖9所示。一組彈簧模型中，連接節點設在螺栓開孔中心處，即距離懸臂端775 mm處；三組彈簧模型，連接節點設置在765 mm，775 mm，785 mm。

圖9 栓接結合部簡圖及等效線性模型Fig.9 Bolted joint and equivalent linear models

通過調節螺栓預緊力實現結合部損傷，試驗數據分為兩個部分，第一部分測試工況如表2所示，用于尋求辨識參數與預緊力的關系。再次調整螺栓預緊力，其工況設置如表3所示，這部分數據用于試驗后期驗證，通過辨識參數判斷預緊力大小。

表2 用于數據擬合的工況

表3 用于識別預緊力的工況

不同預緊力測得的整體結構頻響函數繪制，如圖10所示。

圖10 整體結構頻響函數Fig.10 FRFs of assembled structure

從圖10可知整體結構頻響函數隨預緊力變化的情況：①預緊力很低，如3 N·m，結合部連接狀態顯著影響結構整體特性，頻響函數出現毛刺，這可能是由結合部分離碰撞引起的非線性響應；②預緊力很大，如23 N·m，24 N·m，結構整體性能穩定，體現為預緊力增加，整體結構頻響函數只在高頻部分變化。

4.2 轉動頻響函數獲取

試驗只能測得平動方向頻響函數，方程中需要轉動方向頻響函數，本文通過參數型有限元修正方法獲取轉動方向頻響函數。目標函數為有限元模型與實測固有頻率相對誤差最小

(12)

式中：n為采用前n階固有頻率，對懸臂梁取n=7，對自由梁取n=3。修正參數為彈性模量，螺栓開孔處單元剛度、質量折減，修正結果如表4所示。修正有限元模型的固有頻率和實測固有頻率的差異非常小，表明實際結構的動力特性與有限元模型基本一致，因此可用有限元模型計算的頻響函數代替實測頻響函數。

表4 固有頻率試驗值與有限元修正值

4.3 一組彈簧模型辨識結果

采用一組彈簧模型辨識工況1～工況12的特征參數，PSO算法中，種群粒子數為20，迭代為30次，求解域為kt∈[1×105,5×107]，kr∈[1×103,5×105]，結果如表5所示。

表5 一組彈簧模型辨識結果

從辨識結果中看到，目標函數值較大。實際上，線性模型與結合部真實力學模型間存在模型誤差，但只要不同預緊力得到的頻響函數差異能反映在參數變化上，可以通過這個關系，識別螺栓預緊力。

一組彈簧模型辨識到的扭轉剛度與預緊力之間無明顯規律，不能反映螺栓預緊力的變化，不適宜選作特征參數識別螺栓預緊力。豎向剛度隨預緊力呈正相關關系，因此選取豎向剛度作為特征參數。

預緊力為21～25 N·m，結構整體性能穩定，整體結構頻響函數只在高頻部分變化，一組彈簧模型只有兩個變量，模型變化不靈活，不能擬合高頻段頻響函數的變化。辨識參數落在邊界值時使得線性模型頻響函數誤差與實測頻響函數加權誤差和最小，頻響函數差異不能反映在豎向剛度變化上。

當辨識參數落在邊界值時，說明實測頻響函數已經趨于穩定，即預緊力較大。本文的目的是通過法向剛度辨識螺栓預緊力，對于預緊力較大的情況，預緊力變化帶來的頻響函數差異已經不能體現在參數變化上。因此剔除該工況10和工況12的結果，繪制豎向剛度隨預緊力變化曲線，如圖11所示，辨識豎向剛度隨預緊力呈正相關關系，為下一步預緊力辨識做準備。

圖11 一組彈簧模型，豎向剛度與預緊力關系圖Fig.11 Identified stiffness for one spring model

4.4 三組彈簧模型辨識結果

采用三組彈簧模型辨識工況1～工況12的特征參數，PSO算法中，種群粒子數為20，迭代為30次，求解域kt∈[1×105,5×107]，kr∈[1×103,5×105]。辨識參數為六維向量，不便于比較，取kt，kr為3個豎向剛度和扭轉剛度之和，結果如表6所示。以kt特征參數，繪制豎向剛度隨預緊力變化曲線，如圖12所示。

表6 三組彈簧模型辨識結果

圖12 三組彈簧模型，豎向剛度與預緊力關系圖Fig.12 Identified stiffness for three spring models

預緊力為3～5 N·m整體結構頻響函數曲線出現許多毛刺，三組彈簧模型變量多，模型靈活，除了擬合頻響函數的整體特性變化外，還受頻響函數毛刺部分的影響，不同預緊力的頻響函數差異不能合理地反映在豎向剛度變化上。

從圖11和圖12中可以觀察到，整體上，特征參數與預緊力間呈正相關關系，具有規律性。由于模型誤差，目標函數值較大，線性模型頻響函數不能與實測頻響函數準確吻合。本文采用正問題求解思路，構建目標函數，采用優化算法獲取使得線性模型頻響函數與實測頻響函數誤差最小的一組參數，不要求線性模型頻響函數與實測頻響函數準確相等，從而降低了模型誤差對辨識參數精度的影響。不同預緊力的頻響函數差異反映在豎向剛度變化上，則可以通過這個關系去識別螺栓預緊力。

4.5 螺栓預緊力辨識

對一組彈簧模型、三組彈簧模型的辨識結果采用多項式對數據進行擬合。由于預緊力和剛度之間的數量級差異很大，將剛度值除以107，去除數量級的影響，再進行數據擬合。將一組彈簧模型工況10和工況12，三組彈簧模型工況1和工況2的辨識參數剔除。

數據擬合過程采用MATLAB軟件內置工具箱polyfit()函數完成，其表達式如式(14)和式(15)所示。如圖13和圖14所示，擬合多項式得預測值與真實值比較接近，說明采用多項式對數據進行擬合是合理的。

k=kt/107

(13)

(14)

(15)

圖13 一組彈簧模型預測曲線Fig.13 Predicted curve for one spring model

圖14 三組彈簧模型預測曲線Fig.14 Predicted curve for three spring models

工況13～工況23的數據用于檢驗經驗表達式識別螺栓預緊力的效果。對工況13～工況23的實測頻響函數，分別采用一組彈簧模型和三組彈簧模型為結合部等效線性模型辨識，辨識豎向剛度如表7所示。辨識剛度是使得線性模型頻響函數與實測頻響函數差異最小的值。相同預緊力下，一組彈簧模型、三組彈簧模型識別的特征參數及隨預緊力變化量會存在差異。實驗中一組彈簧模型豎向剛度隨預緊力變化量較大，三組彈簧模型豎向剛度隨預緊力變化量較小，兩個模型辨識剛度整體表現為隨預緊力增加而遞增。

表7 工況13～工況23辨識豎向剛度

一組彈簧模型與三組彈簧模型的經驗表達式和辨識參數，預測螺栓預緊力，預測結果如表8所示。

表8 工況13～工況23預緊力值

從表8的辨識結果中可以看到本文所提的方法能夠準確識別螺栓預緊力。在預緊力8～20 N·m，識別精度很高，誤差最小為0.2%，誤差最大為14.9%。

不同預緊力下，結合部連接狀態不同，受到模型誤差的影響，并非整個階段的預緊力變化都能反映在特征參數變化上。結合工況1～工況12的辨識結果，對于一組彈簧模型，在預緊力3～20 N·m，螺栓預緊力變化帶來的頻響函數差異能夠反映在特征參數變化上，通過經驗表達式，能準確預測預緊力。在預緊力22 N·m，24 N·m，整體結構頻響函數只在高頻部分變化，一組彈簧模型只有兩個變量。線性模型與結合部真實力學模型間的誤差決定了在擬合低頻段頻響函數的同時不能擬合高頻段頻響函數的變化，因此頻響函數差異不能反映在特征參數變化上，無法準確識別高預緊力工況。

對于三組彈簧模型，模型變量增加，模型變得更靈活，可以反映結構局部性能變化，與結合部實際力學行為間的模型誤差也發生變化。在預緊力7～25 N·m，螺栓預緊力變化帶來的頻響函數差異能夠反映在特征參數變化上，可以準確預估螺栓預緊力。但在預緊力3～6 N·m，結合部存在非線性力學行為，表現為頻響函數出現毛刺，三組彈簧模型為線性模型，通過改變參數擬合非線性力學行為，模型誤差大，預緊力變化帶來的頻響函數差異不能合理地反映在豎向剛度變化上。一組彈簧模型變量較少，主要擬合頻響函數的整體特性變化，而忽略頻響函數中的毛刺帶來的影響，模型誤差反而更小。此外工況C22中，兩組模型辨識的預緊力誤差均較大，這可能是由于測量誤差引起的。

雖然不同線性模型處理模型誤差的能力不同，辨識精度也不完全相同，但基于本文采用的方法在參數識別過程中不要求線性模型頻響函數與實際頻響函數準確相等，在模型誤差影響下，只要目標函數仍能保持在結合部參數中取得最小值，則能準確辨識特征參數。通過試驗驗證表明，本文所構建的目標函數具有很高的魯棒性，能在一定程度上克服模型誤差和測量誤差帶來的影響，解決了參數辨識的不適定性，通過經驗表達式能準確識別螺栓預緊力。

5 結 論

本文通過數值仿真和試驗，研究了栓接結合部等效線性模型的參數辨識問題，建立了魯棒性高的目標函數，分析了結合部等效線性模型建模問題，實現了栓接結合部損傷的定量評估，總結全文得到如下結論：

(1) 基于頻響函數辨識法，本文對方程組進行加權處理，避免求逆運算，構建目標函數進行參數辨識，獲取使得線性模型頻響函數與實測頻響函數加權誤差最小的一組參數，不要求線性模型頻響函數與實測頻響函數準確相等。數值仿真中，5%噪聲下，辨識參數誤差低于1%；10%噪聲下，誤差低于4%；試驗研究中，在噪聲與模型誤差影響下，辨識參數能夠準確反映螺栓預緊力變化情況。說明本文所提方法較好地解決了參數辨識的不適定性問題，具有良好的魯棒性。

(2) 本文嘗試用等效線性模型特征參數定量評估栓接結合部螺栓預緊力。結合部連接豎向剛度與螺栓預緊力關系可用多項式擬合，該關系式可準確預測螺栓預緊力，在預緊力為8～20 N·m的工況，三組彈簧模型識別結果中，最大誤差為14.9%，最小誤差僅有0.2%。

(3) 試驗研究中，隨著預緊力降低，結合部連接狀態初始線性狀態轉化到非線性狀態，單一個線性模型難以準確定量評估全部連接狀態下的螺栓預緊力。彈簧數量少的模型變化不靈活，不能反映頻響函數細微變化，因此不能識別螺栓預緊力高的情況。彈簧數量多的模型變化靈活，會擬合結合部非線性力學行為帶來的頻響函數改變，不能識別預緊力低的情況。還需要對結合部等效模型連接節點數目及分布進行研究。