彈體水平入水的空泡擴展相關特性研究

郭子濤， 陳 拓， 郭 釗， 張 偉

(1. 九江學院 土建學院，江西 九江 332005； 2. 哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001)

早期關于彈體入水的問題已有大量的試驗與理論研究，但是入水問題的復雜性使得高速入水空泡的動力學問題并不能用數學方法完全解析，因此各種預測方法都不得不借助一些特定的假設來近似處理相關問題。May[1-2]研究了鋼球垂直入水的問題后發現隨入水深度的增加，彈體的動能損失大部分轉化為產生空泡需要的能量，并指出這種原因可能是由空泡的徑向擴展引起的。Birkhoff等[3]認為彈體在空泡截面上的動能損失轉變為空泡的動能和勢能并給出了垂直入水的空泡模型，Lee等[4]在Birkhoff等研究的基礎上研究了彈體高速垂直入水的情況。Duclaux等[5]和Aristoff等[6]基于Rayleigh-Besant問題的一種求解方法對圓球、柱體及圓盤等低速垂直入水時空泡的產生、增長及后期的頸縮現象進行了理論分析，在此基礎上Guo等[7-8]對不同頭型柱形彈體水平高速入水的速度衰減特性及空泡擴展特性進行了研究，Yao等[9]采用相同的方法對圓柱狀球形頭彈體低速垂直入水進行了試驗和理論分析，并考慮了重力的影響。Bodily等[10]對低速彈體入水進行了研究，獲取了四種軸對稱彈體入水后空泡的形成、擴展以及閉合形態。He等[11-13]針對不同錐角頭型圓柱體垂直撞擊自由液面后所生成的空泡內部壓強分布、親水性及疏水性球體垂直入水過程以及具有正浮力特性的開放腔體圓柱殼模型低速垂直入水后的運動軌跡、軸向壓差阻力波動特性及入水空泡發展規律等進行了數值模擬。張志宏等[14-17]近幾年基于細長體理論、匹配漸近展開法及勢流理論，建立了描述水下亞聲速及超聲速條件下細長錐型射彈超空泡流動的數值方法，分析了流體壓縮效應對超空泡形態以及阻力系數等流動參數的影響。

彈體水平方向入水與垂直方向的入水問題在處理空泡內外壓差Δp時稍有差別。在彈體垂直入水時，空泡外壓強將隨彈體侵深的增加而線性增加，因此空泡內外壓差Δp也經常表示成關于彈體侵徹深度Z的一種線性關系，例如Duclaux等和Aristoff等在處理低速彈體垂直入水時，由于空泡內部長時間與大氣相通，空泡內壓力與大氣壓相等，引起空泡內外壓差的只有彈體的侵徹深度引起的水下壓差, 故Δp為ρgz； Lee等在處理彈體在很高速度下垂直入水時，由于彈體瞬時高速入水，空泡內壓力未來得及與大氣相通，故空泡內壓力認為是0，故Δp為pa+ρgz， 其中pa表示外大氣壓，在處理低速入水的空泡內外壓差時，Lee等采用了和Duclaux等相同的處理方式。但在彈體高速水平方向入水時，如果不考慮水體的深度的影響，彈體入水形成的空泡內外壓差Δp和彈體侵徹深度將不再呈線性關系，空泡內外壓差Δp在侵徹深度上的變化規律難以確定，最常用的方法一般是把水平入水形成的空泡內外壓差Δp簡單估為常值, 但這種處理方式用來研究分析高速水平入水時的空泡演化規律仍缺乏數據和理論支持。

本文利用輕氣炮設備對平頭、半球頭、截卵形等柱形彈體以及球形彈體進行了一系列高速水平入水試驗，利用高速相機記錄了彈體入水和空泡擴展的詳細過程，并結合理論分析著重考察了空泡內外壓差Δp隨入水侵徹位移的變化規律，同時研究了空泡壁的擴展速度特性，相關結論對以后分析彈體水平入水時的空泡擴展行為有重要參考價值。

1 試驗裝置

試驗裝置包括一級氣體炮發射設備、光照系統、激光測速裝置、水容器以及光學相機等幾部分。水容器一側為透明PC窗口，高速相機可通過它觀察彈體在水中飛行的彈道軌跡。試驗彈體分為平頭、半球頭、截卵形三種柱形彈體及球形彈，材料為高強度鋼，彈徑均為12.65 mm。平頭彈長度25.4 mm，半球形彈體總長度長度38.1 mm，截卵形彈體頭部曲率半徑比(CRH=S/D)為1，總長度為27.3 mm, 截后最頭部尺寸D1為8.22～9.30 mm，圓球形彈體半徑為6.15 mm。試驗設置和幾種柱形彈體示意圖，如圖1所示。

圖1 試驗設置及彈體頭型示意圖Fig.1 Sketch of experimental set-up and projectile nose shapes

2 試驗結果及理論分析

2.1 幾類頭型彈體入水行為對比

圖2(a)～圖2(d)所示為相同直徑的平頭彈、半球形彈、截卵形彈及球形體高速入水及空泡擴展的過程。試驗中發現，頭型形狀對空泡形態的大小及彈道穩定性起著重要的影響，平頭彈體在水中運動時形成的空泡尺寸較大，彈道也最穩定。

圖2 幾種彈體水平入水的空泡擴展過程Fig.2 Photographs of water-entry of projectiles

2.2 彈體入水運動方程及空泡擴展演化規律

忽略彈體重力效應并根據牛頓第二定律，彈體在水中運動時存在以下方程

(1)

式中：mp為彈體質量；vp為彈體水中瞬時速度；ρw為流體密度；A0為彈頭橫截面面積；Cd為彈體水中運動阻力系數。

通過對式(1)求解可得到彈體水中運動速度與侵徹位移之間的關系為

vp=v0·exp(-βxp)

(2)

對于不同頭型彈體的入水行為，Guo等基于Rayleigh-Besant方程及理論分析給出了彈體水平入水時的空泡截面半徑隨時間的擴展演化公式，其可表示為一個關于Δp和N兩個未知項的函數，即

(3)

2.3 空泡內外壓差Δp的模型的確立和驗證

根據能量守恒原理，一個空泡截面上的空泡徑向擴展到最大時，此截面的空泡內勢能將全部由空泡擴展的初始動能全部轉化而來，也即彈體在這個空泡截面上的動能損失全部轉化為這個截面的空泡內勢能，由此本文建立了空泡內外壓差Δp理論模型，并考察了空泡內外壓差Δp隨入水侵徹位移的變化規律。

某個空泡截面時刻t的勢能可表示為

(4)

當這個截面上的空泡半徑達到最大時，根據能量守恒有

(5)

式中：Rm為空泡截面可擴展到的最大半徑。由式(5)， 可得Δp與空泡最大半徑和侵徹瞬時速度的關系

(6)

(7)

式中：A和B為常值參數。

圖3 不同入水工況中每個點的(Rm/R0)2和(vp/v0)2之間的關系Fig.3 Relations between values of (Rm/R0)2 and (vp/v0)2 of different locations for several water-entries

本文假定在空泡截面上的空泡半徑由最初擴展到最大Rm的過程中， 此截面上的空泡內外壓差Δp(x=xp)保持不變，根據式(2)、式(6)和式(7)，可得Δp與侵徹位移的關系

(8)

從式(8)可知， 當A為0時， Δp在入水彈道上保持為常值，與侵徹位移無關；反之，Δp為關于侵徹位移xp的函數。

為了進一步驗證空泡內外壓差Δp模型， 在上述幾個入水試驗中著重選擇了3個工況進行研究：①平頭彈體以119.6 m/s入水的工況(計算的A<0)； ②半球形彈體以125.9 m/s入水的工況(A≈0)； ③球形彈體以163.4 m/s入水的情況(A>0)。通過研究每個工況彈道軌跡上隨機選取的3～4個截面的空泡擴展過程，并利用式(1)對通過試驗測量獲得的空泡擴展數據進行最小二乘法擬合，可以獲得在各個空泡截面的Δp和N的最佳擬合值，擬合效果，如圖4所示。同時Δp值也可以通過測量入水工況中選取的每個點的最大空泡半徑Rm由式(6)直接計算得出。上述三種工況中每個空泡截面上Δp的計算值和擬合的最佳值與Δp理論模型式(8)計算結果比較，如圖5所示。從中可以發現三者吻合較好，壓差Δp模型完全預測了擬合值和計算值隨侵徹位移的變化趨勢，同時可以發現空泡內外壓差Δp隨侵徹位移的兩種變化規律：①是幾乎在侵徹位移上保持不變；②是隨侵徹位移變化而變化。

可以看出A的取值影響著壓差Δp的變化規律， 但不同工況中A取值規律與彈型、入水速度等參數之間的相互關系及內部機制還需要進一步的深入研究，同時壓差Δp理論上的結果也只是間接得出的，仍需要后期的試驗測試驗證。

圖4 三種入水工況空泡擴展的試驗數據與公式擬合曲線對比Fig.4 Comparison between the experimental data of cavity expansion and fitted curves

圖5 空泡內外壓差Δp模型與最佳擬合值和計算值的比較Fig.5 Comparison between the fitted and calculated values of Δp and the pressure difference model

2.4 空泡截面擴展速度特性研究

對式(3)求導，可得到空泡截面徑向擴展速度與時間的關系式

(9)

彈體經過每個空泡截面時，空泡壁開始擴展，擴展初速度瞬間增大隨后迅速降低并隨時間緩慢至零，此時空泡半徑達到最大；當空泡開始收縮時，空泡壁速度又由零值先緩慢后迅速反向增大。平頭彈體以119.6 m/s, 截卵形彈體以110.4 m/s, 球形彈以163.4 m/s和半球形彈體以125.9 m/s速度入水后的空泡擴展速度數據和理論對比，如圖6所示。可發現試驗和理論吻合較好。

圖6 不同入水工況中固定點處空泡截面徑向擴展速度隨時間變化Fig.6 Time evolution of cavity wall velocity of fixed locations for several water-entry cases

除了空泡截面擴展的瞬時速度特性外，本文還對空泡截面徑向擴展由初始到最大半徑時的平均速度進行了研究，本文中空泡截面擴展的平均速度由式(10)定義

(10)

式中：tm為截面空泡半徑到達最大的時間。

(11)

將式(11)代入式(10)，可得到空泡截面擴展的平均速度為

(12)

從式(12)可以看出空泡的平均擴展速度主要由Δp和N兩項控制。根據前文所述，通過式(3)擬合不同工況的空泡截面擴展尺寸與時間的關系，可以得到Δp和N在不同空泡截面的最佳擬合值，因此再根據式(12)可求得泡截面擴展的平均速度理論值。圖7歸納了幾種彈體分別入水時通過試驗測量值和公式預測值，在彈道軌跡上不同截面處的空泡平均擴展速度對比。結果表明在同一入水工況中沿彈道軌跡上不同空泡截面處的空泡平均擴展速度中基本保持不變，μ取值范圍約為7～10 m/s，試驗數據和模型預測結果吻合較好。

圖7 試驗測量的和公式預測的不同截面處的空泡平均擴展速度對比Fig.7 Comparison of experimental and predicted average cavity wall velocities at different cavity sections

3 結 論

本文通過對不同頭型彈體水平入水的試驗和理論分析，對空泡內外壓差Δp隨入水侵徹位移的變化規律以及侵徹軌跡上不同截面處的空泡壁擴展平均速度進行了初步研究，建立了彈體水平入水時空泡內外壓差Δp的理論模型，發現了空泡內外壓差在彈體入水過程中的兩種變化規律：①幾乎在侵徹位移上保持不變；②隨侵徹位移變化而變化，但是壓差Δp變化規律與彈型、入水速度等參數之間的相互關系及機理仍需要進一步研究及試驗驗證。通過對空泡壁擴展平均速度的理論和試驗對比，發現彈體在同一入水工況條件下不同截面上的空泡平均擴展速度基本保持一致，試驗數據與理論計算吻合較好。