含負剛度器件的Maxwell模型動力吸振器的參數優化

郝 巖, 申永軍， 楊紹普， 邢海軍

(石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043)

黏彈性材料在建筑、醫學、機械和航天等工程領域的應用非常廣泛，其模型一般可簡化為Kelvin模型和Maxwell模型。在工程實際中，阻尼元件本身不可避免地存在一定的彈性，所以Maxwell模型更能代表工程實踐中的黏彈性材料[1]。帥詞俊等[2]提出了一種針對黏彈材料的KWW函數與廣義Maxwell模型轉換的計算方法，實現了對黏彈材料的廣義Maxwell模型的擬合。張小兵等[3]采用廣義Maxwell模型模擬玻璃模壓仿真過程所表現的黏彈力學特性，研究結果對玻璃模壓建模及非球面透鏡的實際加工具有一定指導意義。文獻[4]通過對Maxwell模型進行黏性系數非定常改進，現場試驗研究應力波在完整巖體中的濾波特性。文獻[5]對Maxwell黏滯阻尼耗能結構的兩自由度體系的隨機地震響應進行了分析，結果更為準確、簡便。

動力吸振是振動控制常用的方法之一，通過動力吸振器(Dynamic Vibration Absorber，DVA)吸收主振動系統的能量來降低主系統的振動[6]。Frahm[7]發明了第一個無阻尼的動力吸振器，研究發現該模型的適用頻率非常窄。Ormondroyd等[8]通過在DVA中加入阻尼發現能夠有效抑制主系統振幅并適當拓寬減振頻率，這種含有阻尼的動力吸振器就是目前廣為所知的Voigt型DVA。同時Ormondroyd等首先發現了該動力吸振器的幅頻曲線存在兩個獨立于阻尼的固定點，并據此提出了設計動力吸振器的固定點理論。Hahnkamm[9]根據該理論得到了吸振器最優調諧比的設計公式；隨后，Brock[10]推導出了最優阻尼比的設計公式。實際上，上述結果是Voigt型動力吸振器的近似最優解而非精確解。Nishihara等[11-12]通過推導得到了精確解析解，發現根據固定點理論推導的結果與精確解析解非常接近。Ren[13]提出了一種新型接地式動力吸振器，并根據不動點理論推導得到了最優設計公式，結果表明相同質量比時該DVA能獲得更好的減振效果。Liu等[14]采用另一種方法也推導出了相同的結果。為了進一步提高動力吸振器的減振效果，并且考慮到工程實際中大量使用黏彈性材料加質量塊來構成DVA，Asami等[15-16]提出了三要素型動力吸振器并得到了最優設計公式，發現在相同質量比情況下，該模型具有更好的減振效果。文獻[17-18]研究了四種半主動動力吸振器的近似解析解，并與數值解對比，分析了時滯對系統的影響和半主動動力吸振器的減振效果。

負剛度器件產生的力與位移的方向相同，具有承載能力大、變形小、可控性能好、固有頻率低等優點。因此，近年來針對負剛度的理論和應用研究越來越多。Alabuzhev等[19]出版了第一部關于負剛度器件的專著，較全面地介紹了負剛度的實現形式及隔振系統的理論和應用。Platus[20]提出將負剛度器件應用于隔振器中，設計出一種準零剛度結構。彭獻等[21]研究了含負剛度彈簧系統的隔振原理，并進行了能量分析。彭解華等[22]對正負剛度并聯系統的穩定性問題進行了研究，發現采用正負剛度并聯既能降低系統固有頻率又能提高隔振效果。Acar等[23]提出了一種含負剛度的自適應動力吸振器，能夠有效地降低系統振幅。文獻[24]研究了一種含負剛度器件的新型動力吸振器的參數優化。文獻[25]研究了含負剛度器件的三要素型動力吸振器的參數優化，表明含負剛度器件的動力吸振器能夠取得很好的減振效果。文獻[26]研究了一種含負剛度器件的線性振蕩器的超阻尼特性，并對其進行動力學仿真分析。

本文首先將負剛度器件引入到黏彈性材料中的Maxwell模型，并將含負剛度器件的Maxwell模型加入到動力吸振器中形成一種含負剛度器件的Maxwell模型動力吸振器。其次，利用固定點理論和H∞優化準則對系統剛度和阻尼參數進行優化。最后通過與其它經典動力吸振器模型在簡諧激勵下的響應對比，說明了本文模型能夠大幅降低系統共振區的振幅，同時也拓寬了減振頻率，并驗證了本文模型有較好的吸振效果。進一步在隨機激勵條件下同樣證明了本文模型具有很好的減振效果。

1 動力吸振器模型及解析解研究

本文提出的含負剛度器件的Maxwell模型動力吸振器，如圖1所示。其中m1為主系統質量；m2為動力吸振器質量；k1和k2分別為主系統和動力吸振器的剛度；k和c分別為Maxwell模型的負剛度和阻尼；F和ω分別為激振力振幅和頻率；x1，x2和x3分別為主系統、動力吸振器以及串聯負剛度彈性系統和阻尼分割點的位移。根據牛頓第二定律可以得到系統的動力學方程

(1)

圖1 含負剛度的Maxwell模型動力吸振器Fig.1 Maxwell model DVA with negative stiffness

引入以下參數

式(1)可化為

(2)

設

x1=X1ejωt,x2=X2ejωt,x3=X3ejωt

(3)

將式(3)代入式(2)解出

(4)

式中：j為虛數;其它參數為

令

定義主系統振幅放大因子A

(5)

其中，

A2=αυ(λ2-υ2),
B2=2λ(υ2+αυ2-λ2),
C2=αυ[λ2(1+(1+μ)υ2)-λ4-υ2],
D2=2λ{λ4+(1+α)υ2+μαυ4-λ2[1+(1+α+μ)υ2]}

2 最優參數

由式(5)通過簡單推導，可以證明系統歸一化的幅頻曲線都將通過三個獨立于阻尼比的點，這三個點稱作動力吸振器主系統幅頻曲線的固定點。為了直觀證明該結論，圖2給出了阻尼比分別為0,38.24%和∞時的歸一化幅頻曲線。從圖2和圖3可知，曲線均通過P，Q，R三點。這里只是對數值進行了驗證，在Ormondroyd等的研究中有類似的證明。根據固定點理論，為了使三個固定點縱坐標等值，只需使阻尼比趨于零和趨于無窮時的響應值相等，即

(6)

化簡得到

λ6+a1λ4+a2λ2+a3=0

(7)

其中,

因為固定點與阻尼比無關，當ξ=0時，

(8)

圖2 不同阻尼比下歸一化幅頻曲線Fig.2 The amplitude-frequency curve under different damping ratios

當ξ=μ時，

(9)

所以為了求出P,Q,R三點的縱坐標，聯立式(8)和式(9)得到

(10)

(11a)

(11b)

(11c)

當把三個固定點的縱坐標調到同一高度，就可以得到最優頻率比，從而有可能使得幅頻曲線的最大值最小化，這個調整需要兩步完成。

第一步把P點和R點的縱坐標調整到同一高度，即

(12)

其中，

A3=(2+α)υ2,
B3=-2,
C3=αυ2(1+μυ2),
D3=-αυ2,

(13)

化簡式(13)得到

(14)

把式(14)代入式(7)可得到

(λ2-1-μυ2)[(λ2-2)λ2-
2υ2(μλ2-1)+υ4(μ-1)]=0

(15)

解式(15)得

式(11)可以寫成

(16a)

(16b)

第二步，把P點或R點與Q點的縱坐標調整到同一高度，聯立式(16a)和式(16b)可以得到最優頻率比為

(17)

將式(17)代入式(14)得到負剛度比

(18)

此時,

(19)

由于不恰當的負剛度值會使系統出現不穩定的現象，通過研究發現當預加荷載使系統產生位移等于固定點處響應值時，系統將處于穩定狀態。為了驗證式(18)的負剛度比，需令

(20)

即

(21)

其中,

從而得到

(22a)

(22b)

α3=2μ-2

(22c)

通過研究發現，只有α1能夠在保證系統穩定狀態下取得最優減振效果，其他結果不符合要求，因此選擇α1作為最優負剛度比，即

(23)

(24a)

(24b)

根據固定點理論，無論阻尼比ξ如何選取，系統的幅頻曲線都會通過P,Q,R三點，可知振幅最高點不會低于P,Q,R三點的縱坐標。最優阻尼比可以通過調整兩個共振峰為同一高度時實現。從圖3可知，當兩個共振峰在同一高度時，Q點附近恰好是幅頻曲線斜率為零的區域，即近似認為Q點的曲線斜率為零。根據極值條件，可知

(25)

聯立式(25)可以得到近似最優阻尼比

(26)

圖3 不同阻尼比下幅頻曲線Fig.3 The amplitude-frequency curve under different damping ratios

根據前述優化結果得到幅頻曲線，如圖4所示。可以發現基本實現了優化目標。從圖3可知，當兩個共振峰在同一高度時，Q點附近正好是幅頻曲線斜率為零的區域，即近似認為Q點的曲線斜率為零，這是誤差的來源之一。另外，選取最優負剛度比時，選取原則為“預加荷載使系統產生位移等于固定點處響應值”，這個過程也是近似的，是另一個誤差來源，這兩方面的原因導致了最終幅頻曲線的不等高，但在可接受范圍內。

圖4 化后的幅頻曲線Fig.4 The amplitude-frequency curve

3 模型對比

為了證明該吸振器的減振效果，將本文提出的模型與三種傳統的動力吸振器模型(即Den Hartog， Ren和Asami等的模型)優化結果進行了對比，其幅頻曲線如圖5所示。從圖5可知，在相同質量比的情況下，本文提出的動力吸振器能夠大幅降低系統共振區振幅，同時拓寬了減振頻率。

圖5 μ=10%時與其它形式動力吸振器模型的對比Fig.5 The comparisons of the presented DVA with three other traditional DVAs when μ=10%

4 隨機激勵下響應對比

由于實際工程中，外激勵的來源多為隨機的或帶有很強的隨機性，因此，研究受隨機激勵的主系統響應很重要。設該系統受均值為零，功率譜密度為S(ω)=S0的白噪聲激勵，則本文模型與其它三種動力吸振器模型絕對位移響應的功率譜密度函數分別為

SM(ω)=|X1M|2S0,SV(ω)=|X1V|2S0
SR(ω)=|X1R|2S0,SA(ω)=|X1A|2S0

(27)

式中：下標M，V，R和A分別為本文模型、Voigt模型、Ren所提出的動力吸振器模型和Asami等所提出的動力吸振器模型。其中在Acar等的研究中已經給出Voigt模型和Ren所提出的動力吸振器模型的主系統位移均方值，于是四種動力吸振器模型的主系統位移均方值分別為

(28)

其中，

(29)

設四種動力吸振器模型中吸振器與主系統的質量比均取μ=10%，則根據本文優化結果以及現有文獻的優化公式，可以得到均方值分別為

(30)

從結果對比可知，當主系統參數相同時，在隨機激勵條件下本文模型仍然具有較好的減振效果。

5 結 論

本文將負剛度器件引入到黏彈性材料中的Maxwell模型，并將含負剛度器件的Maxwell模型應用到動力吸振器中形成一種含負剛度器件的Maxwell模型動力吸振器。利用固定點理論和H∞優化準則對系統剛度和阻尼參數進行優化，同時在保證系統穩定性前提下得到了最優負剛度比。最后分別在簡諧激勵和隨機激勵條件下通過與其它經典動力吸振器模型的對比，證明了本文模型有較好的減振效果。