單位沖激抽樣序列頻譜與傅里葉級數收斂性分析

杜 峰， 唐 嵐

(1. 廣東機電職業技術學院 汽車學院， 廣州 510515； 2. 西華大學 汽車與交通學院， 成都 610039)

兩種頻譜函數形式差別很大，已證明級數型頻譜是正確的，雖然并不常用。周期型頻譜得到廣泛應用，但其推導存在不嚴謹之處，沒有分析單位沖激抽樣函數傅里葉級數的收斂性，況且已有研究表明沖激序列不滿足級數收斂的狄里赫利條件。

若能證明兩頻譜函數本質相同，則可得出兩點結論：①周期型頻譜函數是準確的；②沖激抽樣序列的傅里葉級數是收斂的。但在其級數的收斂性確認之前，不能以傅里葉變換的唯一性來判定兩頻譜等價。因此，兩頻譜函數的等價性證明具有重要意義。

周期型頻譜的推導首先要對沖激序列做傅里葉級數展開。劉滌塵等[8]對級數逼近沖激序列時的收斂性提出質疑，函數不滿足狄里赫利條件，它的沖激點不是第一類間斷點，一周期內極大值雖只有一個，但幅值為無窮大，因此，周期型頻譜函數的推導不嚴謹。他根據傅里葉變換定義導出了級數型頻譜，并由離散時間傅里葉變換間接證明了級數型頻譜的正確性。

熊元新等[9]分析了沖激序列傅里葉級數的收斂性，認為函數不滿足狄里赫利條件，因為雖然它滿足黎曼引理的條件，但是黎曼引理的兩個極限不成立。證明了當級數項趨于無窮時，沖激序列傅里葉級數部分項的和，變為等價的狄拉克函數，認為其傅里葉級數不存在吉布斯現象。但有幾點值得商榷：①等價狄拉克函數的嚴謹性有待分析[10]；②沖激序列傅里葉級數不存在吉布斯現象的依據有待討論；③對理論推導的結論缺少實例驗證。顯然單位沖激抽樣序列兩種頻譜的等價性證明是一個恰當的驗證方法。

如果收斂性沒有問題，那么周期型頻譜也是嚴謹的，它與級數型頻譜應該是等價的。文獻常以傅里葉變換的唯一性或者傅里葉級數判定二者相同，而沒有直接論證，影響到對傅里葉變換性質的理解掌握。

鄭君里對周期型頻譜函數做傅里葉級數展開，得到級數型頻譜，從而判定二者等價，但同樣存在上述提出的收斂性問題。另外，這種通過定理建立聯系的證明，不清晰直觀，需要透徹理解信號的正交分解變換思想。雖然數學上顯示二者相等，但是概念上還是模糊，難以理解級數型頻譜函數實質為什么是頻域下的一個周期沖激函數。

必須從沖激函數定義入手，證明無窮級數頻譜函數，在周期頻點上幅度為無窮大，強度為定值，其它頻點無幅值，這樣兩頻譜函數等價的結論就非常清晰?，F有文獻欠缺此類研究，論文對此做了嚴密分析，運用極限、積分和抽樣函數sin(t)/t性質，結合沖激函數定義，直觀的證明了兩頻譜函數等價，顯示了無窮級數逼近周期沖激序列時收斂，并討論了沖激抽樣序列傅里葉級數的吉布斯現象；同時也分析了周期型頻譜函數的傅里葉級數展開式與級數型頻譜函數存在符號差異的原因，指出二者等價。

1 單位沖激抽樣序列

單位沖激抽樣序列是狄拉克函數δ(t)的以T為周期的延拓時間序列，其數學表達式為

(1)

式中：k為整數，下文亦是如此。

2 單位沖激抽樣序列的兩種頻譜函數

對于周期沖激抽樣序列的頻譜密度函數，應用傅里葉變換的頻移和時移特性，可分別導出一種頻譜表達式，然而這兩種表達式差異較大。

2.1 由頻移特性推導的頻譜函數

傅里葉變換頻移特性的數學表達為

F[g(t)ejωct]=G(ω-ωc)

(2)

式中：G(ω)為時間信號g(t)的傅里葉變換；ωc為常數；F為傅里葉變換運算，下文于此相同。

單位沖激抽樣序列是周期函數，但不滿足狄利赫里條件，姑且先展開成傅里葉級數形式

(3)

式中：1/T為各次諧波傅里葉級數系數。

式(3)中求和項的ejnω0即為1(t)·ejnω0t，利用單位直流信號的廣義傅里葉變換，由傅里葉變換的頻移特性，可得周期型頻譜X1(ω)

(4)

2.2 由時移特性推導的頻譜函數

傅里葉變換時移特性的數學表達為

F[g(t-t0)]=G(ω)ejωt0

(5)

據傅里葉變換時移特性，得到級數型頻譜X2(ω)

(6)

3 兩種頻譜函數相同性證明

兩種不同形式的函數：①周期函數；②無窮級數，均由單位沖激抽樣序列而來。如果能從定義入手證明二者相等，而不是利用傅里葉級數(因為序列不滿足狄利赫里條件，傅里葉級數存在和收斂性未知)，那么式(3)的推導就是準確的，即：單位沖激抽樣序列的傅里葉級數存在且收斂。下面予以分析。

3.1 級數型頻譜函數X2(ω)的幅值

根據式(4)中X1(ω)的表達，頻譜在圓頻率ω0整數倍頻點處是沖激函數，即當ω=kω0，幅值為無窮大，在其它頻點上，幅值為零。

級數型頻譜函數X2(ω)的級數項的指數正負對稱，因此X2(ω)必定是實數，直接求其數值，而不是絕對值，可以同時得到幅值和相位信息。

3.1.1 圓頻率整數倍頻點(ω=kω0)的幅值

因為ω0T=2π，所以在kω0頻點處X2(ω)為

(7)

3.1.2 其它頻點(ω≠kω0)的幅值

令ω=(a+p/q)ω0，其中a為整數，p和q為正整數，且p

(8)

單位圓上均勻分布的復指數函數代數和為零，即

(9)

因此式(8)可寫作

(10)

通過變量代換，將n代換為l，可求得

(11)

(12)

式(12)說明，對于其它非圓頻率整數倍頻點，頻譜的幅值為零，式(7)顯示在圓頻率整數倍頻點處，頻譜的幅值為無窮大，因此X2(ω)本質上是一個周期沖擊函數，沖擊發生在周期序列圓頻率的整數倍頻點處。

3.2 級數型頻譜函數X2(ω)的沖激強度

3.1節證明了級數型頻譜函數X2(ω)本質上是一個周期沖擊函數，在某一頻點處的脈沖強度，可以通過頻譜函數X2(ω)在這一頻點上的積分來獲得。

3.2.1 直流頻率點(ω=0)處的強度

級數型頻譜X2(ω)在零頻率點的沖激強度為

(13)

改變求和與積分次序，計算積分，式(13)變為

(14)

運用歐拉公式ejθ=cosθ+jsinθ，得到

(15)

因為cos(ωnT)/(nT)對于變量ω而言是偶函數，因此0-和0+下求和的結果相等，于是式(15)的前項結果為零。于是零頻率點脈沖響應強度為

(16)

式(16)中頻率ω取0-和0+，故可轉化為極限運算，由于求和函數sin(ωnT)/(nT)對于變量ω而言是奇函數，于是0-和0+下求和的結果相反，因此式(16)在轉換為極限運算時具有二倍關系，即

(17)

整數n的變化量Δn=1，式(17)可轉化為

(18)

由于頻率ω趨向于零，故Δnω也趨向于零，于是可以將式(18)的求和運算轉換為積分運算，圓頻率ω為常數，n從負無窮大變化到正無窮大，將nω整體看作一個變量Ω，則其變化范圍也是負無窮大到正無窮大。最后式(18)可轉化為

(19)

(20)

3.2.2 圓頻率整數倍頻點kω0處的強度

由式(13)～式(16)可知，級數型頻譜函數X2(ω)在頻點kω0處的沖激強度為

(21)

經變量代換和三角函數展開，式(21)可轉化為

(22)

以下的證明與“3.2.1”節相同，可得到在圓頻率整數倍頻點kω0處的沖擊強度都是ω0。

由沖激函數定義和上述分析可知級數型頻譜X2(ω)本質是周期和強度均為ω0的等強度沖擊函數，即

(23)

可見，雖然級數型頻譜函數X2(ω)與周期型頻譜函數X1(ω)的函數形式迥異，但是本質卻相同。

4 傅里葉級數收斂性分析

第“2.1”節周期型頻譜函數的推導方法為多數教材所采用，但并不嚴謹，因為沖激抽樣序列仿佛并不滿足狄利赫里條件，而書中也沒有分析其級數的收斂性，卻直接由傅里葉級數進行頻譜推導。

狄利赫里條件只是傅里葉級數收斂的充分非必要條件[11]，這里不討論條件是否滿足，只分析單位沖激抽樣序列傅里葉級數是否收斂。兩個角度均能說明周期沖激抽樣序列的傅里葉級數收斂。

(1)從傅里葉級數展開的合理性角度。已證明級數型頻譜函數是正確的，第“3”節由定義證明了它本質正是周期型頻譜函數，因此周期型頻譜函數也是準確的，于是式(3)的傅里葉級數展開是合理的，即單位沖激抽樣序列的傅里葉級數存在且收斂。

(2)純粹數學運算角度。式(23)是由第“3”節純粹的數學推導而來，沒有用到傅里葉變換性質，也沒有根據同一信號頻譜相等的知識，它顯示了頻域下的一個等強度ω0的周期沖激函數與一個無窮級數(由復指數正交函數集組成)相等，這說明等強度ω0的周期沖激函數的傅里葉級數收斂于原函數，而單位沖激抽樣序列與其是比例關系，因此，時域下的單位沖激抽樣序列的傅里葉級數同樣收斂。

劉滌塵和熊元新都曾從不同角度證實單位沖激抽樣序列不滿足狄利赫里條件，因此，單位沖激抽樣序列是不滿足狄利赫里條件，卻存在傅里葉級數且級數收斂的一個典型信號。

5 討 論

第“3”節關于兩個頻譜函數等價性的證明，是所有推斷的基本依據，觸發了對一些重要概念的探討。

5.1 兩個重要計算式

從兩個角度均能確定此無限級數和為零。①如“3.2.1”節分析，函數cos(ωnT)/(nT)對于變量ω而言是偶函數，頻率ω為0-和0+下的函數值相等，差值為零；②函數cos(ωnT)/(nT)是變量n的奇函數，對于確定的頻率ω(例如0+或0-)， 變量n在對稱區間(-∞～+∞)求和的結果必然為零，即

(24)

①由于sin(ωnT)/(nT)是變量ω的奇函數，0-和0+看作是關于原點對稱的兩個頻點，兩處的函數值互為相反數，于是得到

②sin(ωnT)/(nT)是變量n的偶函數，對于確定的頻率ω，變量n在對稱區間上求和的結果就可能不為零，這里頻率ω為0+，可轉化為頻率ω對零取極限，根據抽樣函數的性質，可得到求和的結果。

5.2 沖激點吉布斯現象是否存在

吉布斯現象是指當傅里葉級數項增加到充分多時，靠近間斷點處的波動誤差趨于穩定，大約是間斷點函數值的9%。沖激抽樣序列的傅里葉級數，吉布斯現象是否存在？熊元新等認為不存在。

5.2.1 參考文獻[12]的分析

文獻[12]給出一個收斂條件：一個周期內，函數可積且絕對可積。并采用均方誤差分析了傅里葉級數的吉布斯現象，認為滿足此收斂條件的周期函數，其傅里葉級數(用完備正交三角函數集表示)，一致收斂于原函數，不存在吉布斯現象。

對于單位沖激抽樣序列，如果存在吉布斯現象，那么沖激點的幅值誤差為沖激點幅值的9%，即無窮大量的9%，也是無窮大，則一致性收斂就不存在，因此判定沖激抽樣序列的傅里葉級數不存在吉布斯現象。

5.2.2 不能驗證吉布斯現象不存在

參考文獻[12]關于一致性收斂的判定是欠妥的，周期矩形函數滿足收斂條件，但它的級數在間斷點附近趨于9%的誤差，不是一致性收斂。因此單位沖激抽樣序列的傅里葉級數是否存在吉布斯現象有待驗證。

從幅值角度看：①沖激點幅值為無窮大，如果存在吉布斯現象，9%的誤差作用下，沖激點幅值還是無窮大，故“3.1”節沖激點頻譜幅值為無窮大的分析，不能確定吉布斯現象是否存在；②吉布斯現象會使得間斷點kω0的一個去心鄰域內，無窮級數和不為零，而是從無窮大量向零的振蕩過渡值，“3.1”節證明了其他頻點的函數幅值為零，但此證明中的級數項為無窮大，如果存在吉布斯現象，這個去心鄰域也趨近于零，沖激點之外的函數值也為零，因此，不能驗證吉布斯現象不存在的觀點。

從強度角度看，“3.2”節證明了各個沖激點的沖激強度都為ω0，說明沖激點沒有強度誤差，仿佛不存在吉布斯現象。假設吉布斯現象存在，它會導致沖激點處疊加一個沖激誤差信號(因為此時級數項為無窮大)，但如果此沖激誤差信號的強度趨于零，那么kω0頻率點的沖激強度仍然等于圓頻率ω0。故“3.2”節沖激點處沖激強度為ω0的證明并不能說明吉布斯現象不存在。

5.3 頻域周期函數X1(ω)的傅里葉級數

周期型頻譜函數X1(ω)是頻域內的周期沖激函數，已在第4節確定了沖激抽樣序列傅里葉級數的收斂性，可以做傅里葉級數展開。

傅里葉級數是純粹的數學變換，與函數所在的空間域無關，如果將X1(ω)頻率變量ω換做時間變量t，就成了時域函數，實際是相同的函數，因此其傅里葉級數與時域下的展開形式相同

(25)

式中：σ為基本角頻率；Kn為傅里葉級數系數。

5.3.1 參數σ和傅里葉級數系數Kn的確定

式(25)中角頻率σ=(2π)/ω0。由于在“2.1”節推導抽樣序列頻譜X1(ω)時，得到ω0=(2π)/T，因此這里的σ=(2π)/ω0=T。

傅里葉級數系數Kn是X1(ω)一周期內的積分

(26)

代入參數值σ和Kn，式(25)可變為

(27)

5.3.2 沖激序列傅里葉級數收斂性再次驗證

第“3”節已證明周期型頻譜函數X1(ω)與級數型頻譜函數X2(ω)本質相同，因此，如果頻域下周期沖激序列X1(ω)的傅里葉級數等于X2(ω)，那么可以再次驗證周期沖激序列的傅里葉級數存在且收斂。

比較X1(ω)的傅里葉級數式(27)和式(6)，發現復指數函數存在負號差異。下面予以分析：

(28)

可見式(27)和式(28)相同，再次顯示周期沖激序列的傅里葉級數收斂：

(29)

6 結 論

單位沖激抽樣序列的頻譜函數有周期型和級數型兩種形式。由于單位沖激抽樣序列不滿足狄里赫利條件，其周期型頻譜函數、傅里葉級數收斂性和吉布斯現象有待分析。論文從沖激函數定義入手，運用極限、積分和沖激函數特性，通過證明兩頻譜本質相同，驗證了沖激抽樣序列傅里葉級數的收斂性。對周期型頻譜函數傅里葉級數的分析再次驗證了這個結論。但對于不存在吉布斯現象的論斷，此處不能得到驗證。