淺談斐波納契數列與黃金數的關系

馮云霞

(江蘇省連云港市藝術學校 222002)

一、Fibonacci數列的通項公式

Fibonacci數列的通項的證明可以通過求解遞推關系公式來實現，通過求解常系數線性齊次遞推關系或利用生成函數法分別加以證明遞推關系為

證明： 設Fn的生成函數為F(x)，則有

F(x)=F0+F1x+F2x2+…+Fnxn+…,

x(F(x)-F0)=F1x2+F2x3+…Fn-1xn+…,

x2F(x)=F0x2+F1x3+F2x4+….

把以上式子的兩邊由上向下作差得

F(x)(1-x-x2)+x=F0+F1x+(F2-F1-F0)x2+(F3-F2-F1)x3+…=1+x+0+0+….

二、下面來證明該數列與黃金數的關系

我們先證明命題1和2，然后再求數列{bn}的極限.

命題1 Fibonacci數列的相鄰四項都滿足關系式：Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n,n≥3.

證明：根據行列式與線性方程組的關系，

整理得：Fn-12+FnFn-1-Fn2=(-1)n+1,

(Fn-Fn-1)(Fn+Fn+1)-FnFn-1=(-1)n,

Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n.

命題2 數列{bn}存在極限.

又因為數列{bn}有界.所以{b2n},{b2n-1}的極限存在.

則必有A=B≠0.所以數列{bn}存在極限.

由此可知Fibonacci數列與黃金數之間有著密切的關系.