雙局域共振Helmholtz聲子晶體帶隙研究

陳 鑫，姚 宏，趙靜波，張 帥，賀子厚

(空軍工程大學基礎部，西安 710051)

1 引 言

自1992年聲子晶體研究開始以來，已取得很大進展[1-2]。2000年，劉正猷首次提出局域共振型聲子晶體[3]，由于其與Bragg型聲子晶體相比，能夠實現小尺寸控制大波長的特性，成為聲子晶體發展的重點。近年來，為實現“低頻，寬帶，強衰減”的設計目標[4]，國內外學者對于聲子晶體的材料參數和結構參數做了很多研究，并不斷有新的原理引入聲子晶體結構設計。其中，Helmholtz共振腔利用了空氣自身的共振作用，因此可以選用輕質材料進行結構構建，對聲子晶體的輕質化有天然的優勢。2005年，Hu等[5]研究了一種典型了Helmholtz型聲子晶體的帶隙特征和隔聲性能。包凱等[6]設計了一種嵌套型開縫圓管聲子晶體結構，相對于開縫單管結構，打開了低頻帶隙，其第一帶隙范圍在290～460 Hz左右。Jiang等[7]采用多腔的方式構建出一種Helmholtz型聲子晶體，將帶隙降到了62.1～109.3 Hz的超低范圍內。

但當前基于Helmholtz共鳴腔的聲子晶體，由于帶隙上下限往往均與腔體體積有關，造成帶隙向低頻方向移動的同時，其上限也在不斷降低，形成了低頻與寬帶之間的矛盾。本文構建了一種新型的Helmholtz型聲子晶體，通過將結構設計為內外腔的形式，擺脫了內腔體積對帶隙上限的影響，使得帶隙上限得以大大提高。運用理論等效模型和有限元計算兩種方法對該結構的帶隙機理、影響因素等進行了分析，得到了兼顧低頻與寬帶的結果。于此同時，將彈性桿-彈簧模型引入晶體設計中，使得簡化模型理論計算精度得以提高。

2 結構帶隙與隔聲性能

該聲子晶體晶格結構如圖1所示，其晶格常數為a，由4個U字型結構嵌套組成，各邊壁厚統一為b，各邊之間留有寬度為s的空隙作為空氣通道，為使四角構成邊長l=s+b的正方形，控制最外層邊長l1=a-2s-2b，中間邊長l2=a-2s-2b，最內層邊長l3可進行調節。在此結構中，形成了中間和四角兩種大小的Helmholtz共鳴腔，由此形成一種腔體-細長管-腔體形式的Helmholtz局域共振型聲子晶體。另外，由于一般固體，如鋼、陶瓷等的聲阻抗約為空氣的105倍，可以認為其分界面為“硬聲場邊界”[8-9]，即將U字型結構視為剛體，忽略聲波透過空氣與其分界面而激起的振動。

圖1 結構橫截面示意圖 Fig.1 The schematic diagram of the structure cross section

將結構參數設置為a=100 mm，b=1 mm，s=1 mm，l3=90 mm，利用COSOL Multiphysics軟件，運用有限元法對結構的特征頻率進行求解，得出其能帶結構如圖2(a)所示。從圖中可以看出，該結構在1400 Hz以下共出現了4條帶隙，各帶隙范圍分別為86.9～445.9 Hz、464.07～902.52 Hz、905.71～905.73 Hz、916.9～1332.2 Hz，各帶隙的起止點已在圖中標出。

圖2 (a)能帶結構圖；(b)隔聲曲線 Fig.2 (a)Band diagram;(b) the transmission spectra

為研究該結構的隔聲性能，將5個元胞沿縱向串聯，并將橫向定義為無限周期結構，結構的一端布置背景壓力場，并設置完美匹配層(PML)，利用聲壓模式的隔聲量計算公式針對0～1400 Hz范圍內的聲波進行隔聲量計算：

(1)

其中，T代表隔聲量，Pout代表出射聲壓，Pin代表入射聲壓，結果如圖2(b)所示。從圖中可以看出，隔聲峰與帶隙計算結果吻合良好，其中第三帶隙由于過窄在隔聲曲線中并沒有體現。該結構隔聲量在1140 Hz左右達到最大值178 dB，對于第一帶隙范圍內，在316 Hz左右達到最大值148 dB，而150 Hz左右的低頻域也可達到102 dB。

3 帶隙形成機理及其等效模型構建

對于聲子晶體隔聲材料，最關心的是其低頻隔聲性能，所以這里只就其第一帶隙的振動模態進行討論。

A、B兩點的聲壓如圖3所示，在A點，中間的腔體(內腔)聲壓最大，而四角的小腔體(外腔)聲壓基本為0，表明在此處由于聲波的激勵，細管中的空氣與內腔中的空氣產生了局域共振，聲波被局域在內腔內，無法繼續向前傳播，由此對應于帶隙的下限。

在B點處，內腔聲壓基本為0，而外腔中，聲壓基本相同但相位相反，表明在此處細管中空氣與四角外腔內空氣產生共振，與內腔無關。而隨著頻率的繼續升高，聲波開始向臨近結構的內腔傳播，由此對應于帶隙的上限。對于局域共振型聲子晶體，比較常用的等效模型為彈簧振子模型，下面，以此模型為基礎，對其帶隙形成機理進行分析。

圖3 (a)模態A聲壓圖；(b)模態B聲壓圖 Fig.3 (a)Acoustic pressure distribution diagrams of point A;(b)Acoustic pressure distribution diagrams of point B

對于A模態，由于細管內空氣體積相比內腔小得多，且細管寬度較小，假設細管內空氣作同步運動且不計其受到的壓縮，即可以視為振子；而內腔內空氣忽略其振動造成的慣性力，即視為彈簧。與此同時，由于結構的嚴格對稱性，可以只取結構的1/4進行計算，由此該模態振動可等效為圖4(a)所示的彈簧-振子模型。

其等效質量和等效剛度的表達式分別為：

MA=sρ(l1+l3-b)h

(2)

(3)

其中ρ為空氣密度，c為空氣中聲速，SA為內腔橫截面積。

則其共振頻率計算公式為：

(4)

對于B模態，細管內空氣體積與外腔體積相差不大，再將其視為集中質量的振子會產生較大的誤差。在此，將細管內空氣視為一根做縱向振動的等截面桿，其一端為自由端，另一端連接著彈簧系統，并同樣只取一個外腔及其連接的細管進行計算，其等效模型如圖4(b)所示。

設桿上距自由端x處截面的縱向振幅為：

(5)

其中ω為角頻率，A1及A2為待定系數，則其邊界條件為[10]：

(6)

其中EB=c2ρ，為空氣的體積模量，KB=ρc2s2/(s+b)2，為四角小腔體的等效剛度。將(5)式帶入(6)式，經整理后可得：

(7)

這是一個超越方程，借助數值解法可以求出其第一階固有頻率，即為B模態的共振頻率。

圖4 (a)模態A等效模型；(b)模態B等效模型 Fig.4 (a)The equivalent model of point A;(b)the equivalent model of point B

4 帶隙影響因素研究

為研究各結構參數對帶隙的影響，運用有限元和等效模型理論計算兩種方法分析計算了其第一帶隙隨參數改變的變化情況，得出的結果如圖5所示。

圖5(a)顯示了第一帶隙與晶格常數a的關系，計算中保持l3=10 mm。從圖中可以看出，隨著a的增大，帶隙上限和下限均朝低頻方向移動，同時帶隙寬度有變窄的趨勢。這是因為晶格常數增大會導致內腔體積變大，根據式(3)，其等效彈性模量相應減小，使得帶隙下限向低頻方向移動。與此同時，因為僅保持l3不變，但l1會隨a增大而增大，由式(4)和式(7)，這會導致帶隙上下限均向低頻方向移動。另外，在a=0.02 m處，理論計算值發生了較大的偏差，這是因為此時內外腔體積與吸管內空氣體積比值較小，已不能忽略腔內空氣質量和細管內空氣體積模量的影響。

圖5(b)顯示了第一帶隙與管壁厚度b之間的關系，在此將晶格常數a固定為50 mm，隨著管壁增厚，帶隙上限下降，下限提高，帶隙寬度變小。分析其原因，這是因為管壁的變厚會增大外腔體積而減小內腔體積，并分別使其等效彈性模量減小和增大。這說明對于該結構，在保證一定強度的基礎上，使用輕薄的材質有利于獲得更好的隔聲效果，有利于隔聲材料向“輕質”的方向發展。同時，經計算，帶隙上限的理論計算誤差穩定在3%左右，而帶隙下限的誤差從3%逐漸增加到7%左右，這是因為隨著b的增加，內腔體積變小，要取得更為精確的帶隙下限結果，也應采用彈性桿-彈簧模型。

如圖5(c)所示，隨著細管寬度s的增大，帶隙上下限均向高頻方向移動，但帶隙上限的變化幅度低于帶隙下限。這是由于在保持晶格常數不變的情況下，對于帶隙下限，由式(4)可以看出，s的增大會直接導致共振頻率的上升，且會使得內腔面積SA相應減小，進一步導致共振頻率提高。而對于帶隙上限，由于在式(7)中s的增大會導致方程等號左右兩側均減小，削弱了參數s的作用。另外，需要指出的是，隨s增大理論計算誤差也在增大，說明此時在進行定量計算時，同晶格常數a較小時的情況類似，需要綜合考慮腔內空氣質量和細管內空氣體積模量。

圖5(d)表征的是隨l3增大帶隙的變化情況，從圖中可以看出，隨l3增大，帶隙上下限均向著低頻方向移動，但帶隙下限變化程度明顯低于帶隙上限的變化程度。這是因為由式(2)和式(3)可得，l3的增大會使等效振子質量增大，但與此同時，SA相應減小，從而導致等效彈簧模量增大，阻礙了帶隙下限的進一步降低；而對于帶隙上限，l3并不影響其等效彈簧模量。這說明對于該結構，在保證一定低頻效果的同時，適當減小l3的長度，就可以出現較寬的帶隙。

圖5 (a)晶格常數a,(b)壁厚b,(c)細管寬度s,(d)邊長l3對第一帶隙的影響 Fig.5 The impact of (a)the parameter a;(b)the parameter b;(c)the parameter s;(d)the parameter l3 on first low frequency band-gap

5 結 論

(1)本結構采用多開口雙局域共振Helmholtz結構，這種結構解除了帶隙上限與內腔空氣等效彈簧剛度的耦合關系，使得低頻帶隙上限得以大大提高，一定程度上解決了一般Helmholtz型聲子晶體低頻與寬帶之間的矛盾。

(2)從聲波的傳導上看，該結構使得聲波不斷在Helmholtz共鳴腔之間傳播，局域共振作用得以加強，減少了對空間的浪費，有利于聲子晶體向輕質化、小型化。

(3)通過引入彈性桿-彈簧模型，使得在腔體較小的情況下，理論計算精度得以大大提高。于此同時，拓寬了聲子晶體的設計思路。