高考數學圓錐曲線壓軸題的類型與破解方法

范運靈

圓錐曲線是高考命題的熱點，也是難點.縱觀近幾年的高考試題，對圓錐曲線的定義、幾何性質等的考查多以選擇填空題的形式出現，而圓錐曲線的標準方程以及圓錐曲線與平面向量、三角形、直線等結合時，多以綜合解答題的形式考查，屬于中高檔題，甚至是壓軸題.

考試要求：（1）了解圓錐曲線的實際背景;（2）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質;（3）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單幾何性質;（4）了解拋物線的定義、幾何圖形、標準方程，知道其簡單幾何性質;（5）了解圓錐曲線的簡單應用;（6）掌握數形結合、等價轉化的思想方法.

主要考點有：

（1）知識點有圓錐曲線的定義、標準方程、簡單幾何性質（焦點、離心率、焦點三角形，焦半徑等）以及這些知識的綜合應用;

（2）以平面向量、三角形、導數為背景的圓錐曲線的方程問題、參數范圍問題、最值問題、定值問題等相關的綜合問題;

（3）圓錐曲線定義法、待定系數法、相關點法、點差法、設而不求的整體思想以及坐標法和“幾何問題代數化”等解析幾何的基本方法;

（4）數形結合思想、方程思想、等價轉化思想的應用以及邏輯推理能力、運算求解能力等基本數學能力.

點評：

（1）圓錐曲線是解析幾何的重點，也是高中數學的重點內容，同時又是高考的熱點和壓軸點之一，主要考查圓錐曲線的定義（如例1）與性質（如例3）、求圓錐曲線方程（如例2）、直線與圓錐曲線的位置關系、以圓錐曲線為載體的探索性問題（如例4）等.

（2）圓錐曲線的定義，揭示了圓錐曲線存在的條件性質、幾何特征與焦點、離心率相關的問題，恰當利用圓錐曲線定義和數形結合思想解題，可避免繁瑣的推理與運算.

（3）求圓錐曲線的標準方程：①定型——確定是橢圓、拋物線或雙曲線;②定位——判斷焦點的位置;③定量——建立基本量a、b、c的關系式，并求其值;④定式——據a、b、c的值寫出圓錐曲線方程.

（4）圓錐曲線的性質如范圍、對稱性、頂點、焦點、離心率、焦半徑、焦點三角形、通徑等都是高考的重點熱點.此類問題，它源于課本，又有拓寬引申高于課本，是高考試題的題源之一，應引起重視，注意掌握好這一類問題的求解方法與策略.如對于求離心率的大小或范圍問題，只需列出關于基本量a、b、c的一個方程（求大小）或找到關于基本量a、b、c間的不等關系（求范圍）即可.

（5）求參數取值范圍是圓錐曲線中的一種常見問題，主要有兩種求解方法：一是根據題給條件建立含參數的等式后，再分離參數求其值域;另一是正確列出含參數的不等式，進而求之.其列不等式的思路有：①運用判別式;②點在圓錐曲線內部（一側）或外部（另一側）;③利用圓錐曲線的幾何意義（如橢圓中-a≤x≤a等）;④根據三角形兩邊之和大于第三邊（注意三點共線的情況）.

（6）解有關圓錐曲線與向量結合的問題時，通性通法是向量坐標化，將幾何問題變成純代數問題.

（7）探索性問題是將數學知識有機結合并賦予新的情境創設而成的，它要求同學們具有觀察分析問題的能力，具有創造性地運用所學知識和方法解決問題的能力以及探索精神.解題思路往往是先假設滿足題意，即從承認結論、變結論為條件出發，然后通過歸納，逐步探索待求結論.