例談分類討論思想方法在解題中的應用

周淦利

分類討論在數學中既是一種重要的策略思想，又是一種重要的數學方法.很多數學問題，涉及到的知識范圍廣，約束條件多，很難用統一的方法解決，需要對研究對象按一定的標準分類，然后對每一類分別進行研究得出每一類的結果，最后再綜合各類結果便可得到整個問題的解答.分類討論的思想方法在高考中占據著非常重要的地位，相關的試題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性等特點，突出考查同學們思維的嚴謹性和周密性、認識問題的全面性和深刻性，以及分析問題、解決問題的能力，能體現“著重考查數學能力”的要求.因此分類討論是歷年數學高考的重點與熱點.

一、規律方法總結

1.一般地，涉及到以下幾類問題需要進行分類討論：

（1）涉及的數學概念是分類定義的.

（2）運算公式、法則、性質是分類給出的.

（3）參數的不同取值會導致不同的結果.

（4）幾何圖形的形狀、位置的變化會引起不同的結果.

（5）所給題設中限制條件與研究對象不同的性質引發不同的結論.

（6）復雜數學問題或非常規問題需分類處理才便于解決.

（7）實際問題的實際意義決定要分類討論.

2.分類討論需堅持以下幾個原則：

（1）分類標準統一、對象確定.

（2）所分各類沒有重復部分，也沒有遺漏部分.

（3）分層討論，不能越級討論.

（4）對討論的結果還要進行綜合概述.

二、典型應用分析

1.分類討論思想方法在集合中的應用

在集合運算中常常需要結合元素與集合、集合與集合之間的關系分類討論，尤其是對一些含參數的集合問題，常常需要進行分類討論求解.