周淦利



分類討論在數學中既是一種重要的策略思想,又是一種重要的數學方法.很多數學問題,涉及到的知識范圍廣,約束條件多,很難用統一的方法解決,需要對研究對象按一定的標準分類,然后對每一類分別進行研究得出每一類的結果,最后再綜合各類結果便可得到整個問題的解答.分類討論的思想方法在高考中占據著非常重要的地位,相關的試題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性等特點,突出考查同學們思維的嚴謹性和周密性、認識問題的全面性和深刻性,以及分析問題、解決問題的能力,能體現“著重考查數學能力”的要求.因此分類討論是歷年數學高考的重點與熱點.
一、規律方法總結
1.一般地,涉及到以下幾類問題需要進行分類討論:
(1)涉及的數學概念是分類定義的.
(2)運算公式、法則、性質是分類給出的.
(3)參數的不同取值會導致不同的結果.
(4)幾何圖形的形狀、位置的變化會引起不同的結果.
(5)所給題設中限制條件與研究對象不同的性質引發不同的結論.
(6)復雜數學問題或非常規問題需分類處理才便于解決.
(7)實際問題的實際意義決定要分類討論.
2.分類討論需堅持以下幾個原則:
(1)分類標準統一、對象確定.
(2)所分各類沒有重復部分,也沒有遺漏部分.
(3)分層討論,不能越級討論.
(4)對討論的結果還要進行綜合概述.
二、典型應用分析
1.分類討論思想方法在集合中的應用
在集合運算中常常需要結合元素與集合、集合與集合之間的關系分類討論,尤其是對一些含參數的集合問題,常常需要進行分類討論求解.