新工科背景下的偏微分方程教學(xué)改革的新思考

金玲玉，王霞

偏微分方程或稱數(shù)學(xué)物理方程這門課程是大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課程，同時也是大學(xué)工科的必選課程之一。偏微分方程的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容是物理、生物、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)等眾多領(lǐng)域的實(shí)際模型。偏微分方程教學(xué)一直存在著課程內(nèi)容抽象、復(fù)雜，學(xué)生難以理解、學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高等困難。如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、增強(qiáng)學(xué)生對教育內(nèi)容的掌握和運(yùn)用一直以來是偏微分方程教學(xué)改革和研究重中之重。2017年2月，教育部積極推進(jìn)新工科建設(shè)，促成一系類列的方案及文件“復(fù)旦共識”“天大行動”和“北京指南”，《關(guān)于開展新工科研究與實(shí)踐的通知》、《關(guān)于推進(jìn)新工科研究與實(shí)踐項(xiàng)目的通知》等，全力探索形成領(lǐng)跑全球工程教育的中國模式、中國經(jīng)驗(yàn)，助力高等教育強(qiáng)國建設(shè)[1]。偏微分方程作為銜接數(shù)學(xué)理論和實(shí)際背景的一門重要的學(xué)科之一，在新工科背景下如何進(jìn)行偏微分方程教學(xué)改革，將偏微分方程教學(xué)注入新的政策指導(dǎo)、新的思想、新活力尤為重要。

一 循序漸進(jìn)，由基礎(chǔ)課程引入，進(jìn)行啟發(fā)性教學(xué)

偏微分課程是專業(yè)課程，教學(xué)內(nèi)容相對難且難以理解。在教學(xué)中需要深入淺出，進(jìn)行啟發(fā)性教學(xué)，將理論講解透徹。從已學(xué)的基礎(chǔ)課程出發(fā)，通過實(shí)際模型加深學(xué)生對知識的進(jìn)一步的理解。

案例1：學(xué)習(xí)偏微分方程的變分法極大極小點(diǎn)的定義及求解[2]。

這實(shí)質(zhì)是一個極值點(diǎn)推廣的問題。將函數(shù)求極值推廣到泛函求極值的問題。可以從一元函數(shù)極值理論引入。根據(jù)費(fèi)馬定理[3]：如果 ()fx在 0x處取得極值， ()fx在 0( )Ux 有定義，且在 0x處可導(dǎo)，則有00( )fx′ = .這是定義域在一個開區(qū)間上的極值問題。如果將此問題推廣到定義域?yàn)樯狡旅婵梢越忉屛覀兊臉O大極小點(diǎn)問題。即求翻過山坡的最短路徑呢？這個問題但從數(shù)學(xué)上看，通過我們現(xiàn)有的知識很難解決，但是可以從生活中得到啟發(fā)，比如騎馬問題，翻過馬背問題。把馬看做一個山坡。你騎馬時候自然會騎到馬鞍的那個凹點(diǎn)。翻過馬背顯然沿著這個凹點(diǎn)翻出路徑最短。這樣上述問題轉(zhuǎn)化為沿著哪條路徑走，山坡的頂點(diǎn)最低的問題。這里定義翻過山坡的路徑的集合為X={x(t) |x(t )表示所有翻過山坡的路徑函數(shù)}。定義函數(shù)f(x(t ) )表示每個地方對應(yīng)的高度。所求問題轉(zhuǎn)化求f(x(t ))問題。這就是偏微分方程求解中著名的山路引理。求解路徑的這個問題依然可用費(fèi)馬定理的結(jié)論， ()xt看做自變量，依然可通過費(fèi)馬引理得出翻過山坡的最短路徑。只是求導(dǎo)的對象變成了泛函。該案例說明在偏微分方程教學(xué)過程中，對于復(fù)雜的、抽象的難以理解的概念和定理，通過已學(xué)的知識出發(fā)、簡單形象的模型入手，教學(xué)過程更加生動。

二 開設(shè)研究性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識

提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力。在新工科背景下，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，科研能力的培養(yǎng)其實(shí)是一個尤其重要的問題。只有培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和能力的學(xué)生，才能為國家培養(yǎng)優(yōu)秀的接班人，更好地做到高校教育助力強(qiáng)國。實(shí) 際上自2005年教育部發(fā)布的《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作的若干意見》中提出“積極推動研究性教學(xué)，提高大學(xué)生的創(chuàng)新能力”[4]。在教學(xué)中注重研究型教學(xué)稱為各個大學(xué)教學(xué)改革的重要措施之一。研究性教學(xué)是指學(xué)生基于自身興趣，在教師指導(dǎo)下從自然現(xiàn)象社會現(xiàn)象及生活中選取確定研究專題，并在研究過程中主動地收集資料，獲取信息，研討分析，解決問題的學(xué)習(xí)活動。其目標(biāo)是使學(xué)生獲得親身參與研究探索的體驗(yàn)，學(xué)會分享與合作，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生收集、分析和利用信息的能力，培養(yǎng)科學(xué)研究的興趣、態(tài)度和社會使命感。它是一種基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)類型，強(qiáng)調(diào)尊重不同的觀點(diǎn)和交流協(xié)作。比如學(xué)校舉辦的大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練、紅滿堂計劃等屬于這類研究性學(xué)習(xí)。在課程教學(xué)過程中，我們可以就不同的專業(yè)，不同的學(xué)科采用“專題研究+合作學(xué)習(xí)”的模式開展了研究性學(xué)習(xí)。通過“專題研究+合作學(xué)習(xí)”的學(xué)習(xí)模式，學(xué)生在課題研究過程中主動地獲取與應(yīng)用知識和技能，多方面思考、研究并解決問題，使其基礎(chǔ)知識和專業(yè)知識得到強(qiáng)化與鞏固，真正激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新精神、探索精神，學(xué)生的實(shí)踐能力和使其終身受用的自主學(xué)習(xí)能力也會得到不斷提高。

案例2 討論拋物方程解的形式[5]。1. 教師集中介紹一維拋物方程的解的性質(zhì)。2. 分組探討具有特殊性質(zhì)的解的具體形式（合作學(xué)習(xí)）。3. 集中證明所討論的解的確是方程的古典解。4. 課后拓展思考，如何將三維的拋物方程的求解問題轉(zhuǎn)化為一維拋物方程求解，并形成報告（自主學(xué)習(xí)）。5. 運(yùn)用所學(xué)的方法探討分?jǐn)?shù)階拋物方程的解的性質(zhì)和形式（專題研究）。集中學(xué)習(xí)→分組討論思考→集中探討→拓展思考→專題研究，這種方式可以鍛煉學(xué)生的初步的科研能力，提高創(chuàng)新的思維，將被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動學(xué)習(xí)[6]。

三 在教學(xué)過程中引入競賽的相關(guān)實(shí)例，并鼓勵學(xué)生參加各類數(shù)學(xué)競賽的方法促進(jìn)學(xué)生偏微分方程學(xué)習(xí)，教學(xué)和競賽互相促進(jìn)

大學(xué)生學(xué)科競賽是高校教學(xué)科研活動的重要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)和創(chuàng)新精神的有效手段和重要載體。通過多種形式大力開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)與研究活動，以競賽推動教學(xué)研究，以教學(xué)研究提高競賽質(zhì)量。把競賽與數(shù)學(xué)教學(xué)改革有機(jī)結(jié)合起來，要把參加競賽所形成的經(jīng)驗(yàn)帶到課堂，促進(jìn)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法的改革，同時，偏微分方程豐富的應(yīng)用背景在各類競賽中應(yīng)用廣泛。在提高課堂教學(xué)質(zhì)量的基礎(chǔ)上，可以大面積提高高校學(xué)科競賽水平。

案例3. 2018年大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題就是一個偏微分方程的擴(kuò)散模型。在學(xué)習(xí)拋物方程的邊值問題時候通過實(shí)例作為模型講解。在教學(xué)過程中引入各類競賽實(shí)例進(jìn)一步加深學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。同時課程的所學(xué)的知識和能力又可以進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)科競賽水平。

四 結(jié)束語

在偏微分方程的教學(xué)過程中，將已學(xué)的本科基礎(chǔ)課程知識與偏微分方程難以理解的知識點(diǎn)聯(lián)系起來，從已有的知識出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行新的思考，進(jìn)一步學(xué)生對偏微分方程的理解。開設(shè)研究性教學(xué)，能發(fā)揮學(xué)生偏微分方程學(xué)習(xí)的主觀能動性，化被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)，同時培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和科研能力。教學(xué)過程與學(xué)生競賽結(jié)合起來教學(xué)，可以促進(jìn)理論聯(lián)系實(shí)踐。競賽中的偏微分方程模型案例都是處理實(shí)際問題的案例，這為偏微分方程的理論教學(xué)提供實(shí)際支持，可以更好地做到以賽促學(xué)，以學(xué)促賽的良性循環(huán)。在教學(xué)改革實(shí)踐中，從學(xué)生和教師的反饋發(fā)現(xiàn)，以上教學(xué)改革效果良好，學(xué)生對偏微分方程理論的理解度加深，能夠舉一反三，抽絲剝繭，學(xué)習(xí)的主動性增強(qiáng)，同時學(xué)生參加大學(xué)省創(chuàng)新競賽和數(shù)學(xué)建模競賽等各類競賽運(yùn)用微分方程求解模型方面解決問題能力顯著增強(qiáng)。