橢圓曲率半徑的四個公式及兩種力學(xué)推理方法

邵 云

(南京曉莊學(xué)院電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

赤峰學(xué)院李景琴老師曾在文獻(xiàn)[1,2]中分別利用：(1)橢圓規(guī)尺[3]上任一點(diǎn)的運(yùn)動，(2)光滑水平面上內(nèi)含豎直光滑圓形軌道的滑塊內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的下滑運(yùn)動，(3)相互垂直的兩簡諧運(yùn)動的合成，來構(gòu)造不同情形的橢圓運(yùn)動，計(jì)算出各自的速度矢量和加速度矢量a，分解出法向加速度分量an，進(jìn)而利用公式an=v2/ρ推算出橢圓的曲率半徑ρ。鄂爾多斯第一中學(xué)的宋輝武老師則是通過構(gòu)造勻速率橢圓運(yùn)動來推算橢圓的曲率半徑[4]，并將此勻速率構(gòu)造方案推廣至其他一些曲線曲率半徑的推算[5]。淮北第一中學(xué)的王化銀老師將以上運(yùn)動學(xué)推理方法簡化成一個統(tǒng)一的矢量計(jì)算公式：省去了矢量投影的麻煩，使得推算過程簡單了許多。諸位老師采用的運(yùn)動學(xué)推理思路基本相同，ρ的結(jié)果均為直角坐標(biāo)形式，因此顯得思路不夠開闊。本文首先根據(jù)高等數(shù)學(xué)中二維曲線曲率半徑的計(jì)算公式，逐步推得橢圓曲率半徑的兩種直角坐標(biāo)和兩種極坐標(biāo)形式的公式；然后分別應(yīng)用力學(xué)中勻速率圓周運(yùn)動投影的運(yùn)動學(xué)方法和行星沿橢圓軌道運(yùn)動時的動力學(xué)結(jié)論——能量守恒定律與角動量守恒定律，結(jié)合法向加速度分量公式，分別推導(dǎo)出橢圓直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)形式的曲率半徑。

1 應(yīng)用曲率半徑的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)橢圓的曲率半徑

在高等數(shù)學(xué)中，二維曲線y=y(x)的曲率半徑公式是

(1)

(2)

圖1 正橢圓及其準(zhǔn)線

其中a、b分別為橢圓的半長軸、半短軸，圖中c為半焦距，下同。將式(2)兩邊對變量x求導(dǎo)，經(jīng)整理可得

(3)

將式(3)兩邊對變量x求導(dǎo)，并將式(3)代入可得

(4)

將橢圓方程式(2)代入即得

(5)

于是，將式(3)、式(5)代入式(1)即得該正橢圓的曲率半徑：

(6)

若將橢圓方程式(2)代入式(6)，消去y后又可得

(7)

這時ρ顯示為x的一元函數(shù)。式(7)中的e=c/a是橢圓的偏心率。

參見圖1，由準(zhǔn)線知識知，橢圓上任一點(diǎn)距離右焦點(diǎn)的距離

(8)

將式(8)代入式(7)消去x后可得

(9)

這便是極坐標(biāo)形式的橢圓曲率半徑公式，ρ由極坐標(biāo)r唯一地確定。

此外，參見圖1，由于2a-r=r′，所以式(9)又可改寫成

(10)

這即為橢圓曲率半徑的最簡公式，它兼具對稱性，因此最方便記憶。

式(6)、式(7)、式(9)、式(10)是橢圓曲率半徑的四個公式，其中式(6)最為常見，式(7)、式(9)最方便使用，式(10)則最便于記憶。

2 應(yīng)用勻速率圓周運(yùn)動投影的方法求橢圓的曲率半徑

如圖2、圖3所示，將圖2中斜面上的勻速率圓周運(yùn)動在水平面內(nèi)投影，即得一變速率橢圓運(yùn)動，見圖3。斜面的傾角θ滿足cosθ=b/a。

圖2 斜面上的勻速率圓周運(yùn)動

圖3 水平面內(nèi)的投影橢圓運(yùn)動

在圖2的坐標(biāo)系O′-x′y′中，運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)P的位置矢量r′可表示成

r′=a(-cosφi′+sinφj′)

(11)

其中i′、j′分別是兩坐標(biāo)軸正方向上的單位矢量。質(zhì)點(diǎn)P的速度矢量′和加速度(即法向加速度)矢量a′分別可表示成

設(shè)圖3中坐標(biāo)系O-xy的單位矢量分別為i、j。分析可知：斜面上的單位矢量i′在水平面內(nèi)的投影就是i，而j′在水平面內(nèi)的投影則是cosθj。于是斜面上質(zhì)點(diǎn)P的r′、′和a′在水平面內(nèi)的投影分別為

這些便是質(zhì)點(diǎn)P在水平面內(nèi)的投影點(diǎn)Q的位矢、速度、加速度的矢量表達(dá)式，見圖3。雖然Q并非質(zhì)點(diǎn)，但其運(yùn)動學(xué)方程式(14)～式(16)具有與式(11)～式(13)相同的意義，只是對應(yīng)量的夾角有所變化，如圖3中所示。

由式(15)可得

(17)

從圖3可見，投影點(diǎn)Q的法向加速度分量(圖中未畫出)為

an=|a|sinδ

(18)

其中將加速度大小記作|a|是為了與橢圓半長軸a區(qū)別。利用矢量矢積的知識知

(19)

將式(15)、式(16)代入式(19)，并將結(jié)果代入式(18)后可得

(20)

由式(17)和式(20)即得圖3中Q點(diǎn)處的曲率半徑：

(21)

(6)

綜上可見，這里采用勻速率圓周運(yùn)動的速度、加速度投影的方法來計(jì)算橢圓的曲率半徑是可行的。與其他文獻(xiàn)中情形類似，投影點(diǎn)Q的速度、加速度能被計(jì)算出來是必要的前提。此處方法的優(yōu)點(diǎn)在于思路簡單，圖像清晰，便于掌握和記憶。

3 應(yīng)用行星的橢圓軌道運(yùn)動知識求橢圓的曲率半徑

3.1 行星的橢圓軌道運(yùn)動相關(guān)知識

如圖4所示，設(shè)太陽位于橢圓軌道的右焦點(diǎn)F2處，質(zhì)量為M；設(shè)行星P的質(zhì)量為m，其相對于力心F2(即太陽)的位置矢量r、速度及相關(guān)夾角如圖4所示；設(shè)行星在近日點(diǎn)的速率為v1，遠(yuǎn)日點(diǎn)的速率為v2，則根據(jù)能量守恒定律和對力心F2的角動量守恒定律有

圖4 行星的橢圓軌道運(yùn)動

其中E、J分別為行星橢圓軌道運(yùn)動的機(jī)械能、角動量。聯(lián)立式(22)和式(23)可解得

進(jìn)而求得

對于圖4中任意位置的行星，同樣有能量守恒定律和角動量守恒定律：

成立，其中vsinδ是行星相對于力心F2(即太陽)的橫向速度分量大小。將式(26)、式(27)分別代入式(28)、式(29)，經(jīng)計(jì)算可得

3.2 行星橢圓軌道曲率半徑的計(jì)算

(32)

鑒于圖4中δ+ψ=90°，因此有

(33)

聯(lián)立式(30)、式(31)和式(33)，并應(yīng)用法向加速度分量公式，即得橢圓軌道的曲率半徑：

(34)

這與前文用數(shù)學(xué)公式算得的式(9)一致。

需要指出的是，本節(jié)采用的基本是動力學(xué)的推理思路，它與第2節(jié)的運(yùn)動學(xué)推理思路有所區(qū)別。另外，需要說明的是，雖然行星橢圓軌道的曲率半徑僅通過以上的初等數(shù)學(xué)就能推算出來，但是行星橢圓軌道本身的論證卻依賴于復(fù)雜的微積分運(yùn)算[3]。

4 力學(xué)中曲率半徑的由來及其幾何與代數(shù)表達(dá)式的等價(jià)性

鑒于質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的三維瞬間運(yùn)動總可被看作此刻密切平面(注：所謂“密切平面”是指三維曲線上某位置處無限接近的相鄰的3個點(diǎn)所確定的極限平面。)內(nèi)的一小段二維圓弧運(yùn)動，且加速度a僅在此密切平面內(nèi)有分量[3]，因此一般的力學(xué)教科書都是通過圖5對作二維曲線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)P的加速度進(jìn)行推理，然后再將結(jié)果推廣至三維曲線運(yùn)動。圖5中已建立了平面直角坐標(biāo)系O-xy、平面自然坐標(biāo)系et-en及自然坐標(biāo)軸O′s，同時也標(biāo)出了質(zhì)點(diǎn)P的平面自然坐標(biāo)s和θ，等效短圓弧運(yùn)動的弧長ds和圓心角dθ，以及切向單位矢量et的無窮小增量det。

圖5 質(zhì)點(diǎn)平面曲線運(yùn)動的微分析圖

根據(jù)力學(xué)知識，質(zhì)點(diǎn)P的加速度為

(35)

由圖5可見，det的方向總是沿著法向單位矢量en的方向，且有

det=|dθ|·en

(36)

這里|dθ|是較嚴(yán)格的寫法。將式(36)代入式(35)，稍加變換即得質(zhì)點(diǎn)在平面(或空間)自然坐標(biāo)系中的加速度：

(37)

由圖5又可見，

對式(39)兩邊微分得

sec2θdθ=dy′=y″dx

(40)

將式(39)代入式(40)得

(41)

(1)

由此可見，力學(xué)中ρ的幾何定義式與高等數(shù)學(xué)中ρ的代數(shù)表達(dá)式是等價(jià)的。

5 結(jié)語

應(yīng)用力學(xué)知識推導(dǎo)二維(或三維)曲線的曲率半徑，向來都是通過法向加速度分量公式an=v2/ρ進(jìn)行的，只要能夠?qū)⑶€上某一(或任一)位置質(zhì)點(diǎn)(或某種數(shù)學(xué)點(diǎn))的運(yùn)動速度、法向加速度分量an求出來，即可通過該公式求出某點(diǎn)(或任一點(diǎn))處的曲率半徑。該力學(xué)方法對曲線的形狀、曲線上質(zhì)點(diǎn)(或幾何點(diǎn))的運(yùn)動狀況均沒有特殊的要求。

從上文第4節(jié)可見，法向加速度分量公式中所引入的曲率半徑正是數(shù)學(xué)意義上的曲率半徑，換言之，曲率半徑這個數(shù)學(xué)量已經(jīng)有機(jī)地融入到牛頓力學(xué)的體系當(dāng)中。我們既可以借助于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)的知識求出軌跡的曲率半徑(屬多數(shù)情況，如文獻(xiàn)[1,2,4-6]及本文第2節(jié)等)，又可以借助于質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)的某些實(shí)際結(jié)論求出之(如本文第3節(jié)等)。

最后，需要說明的是，牛頓力學(xué)是建立在微積分和矢量幾何基礎(chǔ)上的一門物理學(xué)科，利用它推理一些數(shù)學(xué)公式或結(jié)論，本質(zhì)上是利用牛頓力學(xué)內(nèi)在的物理邏輯和幾何邏輯去推證另一些數(shù)學(xué)邏輯或結(jié)論，這正體現(xiàn)了數(shù)理體系內(nèi)在的一致性和自洽性。