利用非線性動力學系統研究混沌現象

李明達 董喬南 楊亞利 李 鑫 羅鍛斌

(華東理工大學物理系，上海 200237)

混沌是指發生在確定性系統中的看似隨機的不規則運動。一個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性、不可重復、不可預測，這就是混沌現象[1]。混沌是非線性系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象。目前，混沌動力學已經成為復雜性科學的一個重要分支，混沌運動的動力學特性已經被證明在描述和量化大量的復雜現象中非常有用[2]。但是，由于混沌系統所固有的系統輸出對狀態初值的敏感性以及混沌系統和混沌現象的復雜性和奇異性，使得混沌控制理論的研究更具有挑戰性，也使得這一領域的研究和發展成為當代非線性科學的研究熱點[2]。天然存在的系統(物理系統、化學系統或生物系統)能呈現混沌，這一點目前已得到普遍共識，并引起了許多學者在實驗室里或在自然狀況下對混沌識別進行嘗試[3-9]。

我們在實驗室里搭建了一種具有非線性動力學特性的混沌擺系統，研究了該系統驅動力頻率等相關參數對該混沌擺系統運動狀態的影響。同時，我們通過數值計算模擬不同條件下的混沌擺運動狀態對實驗現象進行了驗證。

1 實驗裝置與理論

圖1 (a) 混沌擺實驗裝置; (b) 鋁質圓盤側視圖

混沌擺實驗裝置主要包括擺輪部分和驅動力部分，如圖1所示。其中擺輪部分由半徑為4.75cm的鋁質圓盤和安裝在其邊緣的一個質塊構成，圓盤安裝在轉動傳感器上，并在圓盤后側安裝一個磁阻，來改變圓盤轉動的阻力。圓盤轉動的恢復力由兩根彈簧提供，彈簧通過細線纏繞在圓盤后側的聯動桿上。兩根彈簧下端，一根固定，另一根系在轉動電機的轉臂上，這樣圓盤的轉動就受到驅動電機周期外力的作用。同時在電機轉臂的一側加裝光電門，來記錄電機的轉速。轉動傳感器、光電門及驅動力電機通過850通用接口連接計算機，實驗時打開PASCO Capstone數據采集及分析軟件，可控制驅動力電機轉速，并實時顯示轉動傳感器的角度和角速度的數據，同時利用光電門采集到的驅動力周期信息在實時相圖上繪制龐加萊點。

(1)

(2)

(3)

用Matlab計算模擬出微分方程組的解，可得到圓盤擺動的角度和角速度，并繪制出圓盤受迫擺動的相軌跡。

2 實驗與仿真結果分析

2.1 混沌擺相圖隨驅動力周期的變化

非線性系統的運動是否會出現混沌現象，取決于系統中參數的設置，包括磁阻、驅動力周期和振幅、擺輪和質塊質量等。根據實驗操作的便利性，我們主要討論了驅動力頻率對系統運動狀態的影響，并將仿真和實驗結果進行對比，來驗證驅動力頻率的影響規律。

圖2 不同驅動電機電壓(驅動頻率)下混沌擺輸出相圖的變化情況，(a)(c)(e)(g)(i)(k)(m)(o)為不同驅動頻率下的模擬相圖，(b)(d)(f)(h)(j)(l)(n)(p)則為相對應的實驗相圖。

根據前述實驗原理中得到的系統運動方程，參數ω包含系統驅動力頻率的影響因素，在Matlab仿真程序中改變ω的取值，可以得到不同相圖，其結果如圖2 中(a,c,e,g,i,k,m,o)所示。在程序中設置參數δ=0.78，f=1。在利用混沌擺實驗裝置進行的實驗中，設置磁阻到鋁質圓盤的距離為0.22cm，驅動力振幅為6cm，改變驅動電機的直流電壓，從而改變電機的轉速，即改變驅動力頻率，得到不同驅動力頻率時圓盤運動的相圖如圖2中(b,d,f,h,j,l,n,p)所示。

圖2 (續)

圖2 (續)

圖3 混沌擺在驅動頻率為ω=0.827(a)和ω=0.8271(b)的相圖比較

從上面仿真和實驗的結果圖中可以看出，在驅動力頻率較低時(如圖2(a)、(b))，圓盤和質塊組成的擺動系統會在初始位置兩側來回擺動，且擺動是周期的；當頻率逐漸增加時，系統的擺動會變得越來越復雜，除了會在兩側擺動以外，還會隨機的在一側停留擺動幾次，之后再擺動到另一側(如圖2(c)、(d))，這種擺動是非周期的，從實驗結果圖中龐加萊點的分布情況可以看出，擺動出現了混沌狀態；驅動力頻率繼續升高，出現了如圖2(e)、(f)的周期運動狀態，這種周期運動狀態不是很穩定，驅動力頻率稍有變化，周期運動的軌跡就會發生變化。這是由于在數值計算中，參數值可以精確設置，所以仿真結果圖中可以看到清晰的運動軌跡。但在具體實驗操作中，由于電機轉動容易引起兩根彈簧的晃動，從而使得實驗系統穩定性難以絕對保證，就會出現各種周期運動相混疊而其中一條周期運動軌跡相對清晰的結果。頻率再增加時，系統會再次出現混沌狀態(如圖2(g)、(h))，這種混沌狀態會在一定的驅動力頻率范圍內持續出現；驅動力頻率再增加，出現圖2(i)、(j)所示的周期運動，這種周期運動較穩定，實驗結果的周期軌跡也很清晰；驅動力頻率繼續增加時，系統會隨機選擇一側開始單邊的擺動，如圖2(k)、(l)；頻率再升高之后，系統單邊的擺動趨于周期運動(如圖2(m)、(n))；當系統達到圖2(o)、(p)的單邊周期擺動之后，再增加頻率時，擺動狀態沒有再發生明顯的變化。

2.2 混沌擺運動狀態對參數的敏感性

上述的仿真和實驗結果相互印證，反映了混沌擺系統隨驅動力頻率的復雜變化情況，也從另一個方面說明了模擬仿真結果的合理性。由于在實驗中每改變一次系統的相關參數，如驅動頻率，到采集獲取一個比較穩定相圖所需要的時間比較長。因此，在本節我們利用數值模擬，從參數可以精確設置且不存在系統穩定性影響因素的仿真結果中，觀察混沌擺運動狀態對參數的敏感性。

圖4 混沌擺在驅動頻率為ω=0.827(a)和ω=0.8271(b)的角度-時間關系比較

首先，系統的擺動在周期和非周期之間的變化近乎是突變的。如圖3和圖4所示，驅動力頻率參數有微小的變化，系統的運動就從周期突變為非周期的形式。圖4的角度-時間圖為混沌擺運行了一段時間后的位移變化情況，可以看出ω=0.827時系統為周期運動，ω=0.8271時系統為非周期運動。這說明了非線性系統對參數的變化十分敏感。

圖5 不同驅動力頻率參數的仿真結果相圖

其次，隨著驅動力頻率參數的增大，系統的運動表現為從周期變為混沌，再突變為周期，再變為混沌的現象，即系統隨著參數的變化會交替地出現周期和混沌的運動狀態，且這種變化多為突變的。如圖5(a)～(h)所示，仿真結果反映了這種相圖隨驅動力頻率交替出現周期和混沌運動狀態的現象。

圖5 (續)

上面所闡述的系統運動狀態的變化，與混沌現象的分岔圖[2]描述的行為是一致的。

2.3 混沌擺運動狀態的頻譜特性

為了進一步分析混沌擺的運動狀態，我們對比較有代表性的實驗相圖進行了頻譜分析，從頻譜的角度，也可以直觀地發現不同驅動電壓(即不同驅動頻率)下混沌擺運動狀態的頻率特性。從圖6可以看出，隨著驅動電壓的改變，不同驅動頻率下，混沌狀態下的相圖包含復雜無序的頻譜，如圖6(a)所示；隨著準周期運動的出現，頻譜中的特征頻率開始出現，如圖6(b)和圖6(c)所示。

圖6 不同驅動電壓下混沌擺運動狀態的頻率特性

(a) 驅動電壓U=4.7V，相圖圖2(h)對應的頻譜圖； (b) 驅動電壓U=4.898V，相圖圖2(j)對應的頻譜圖； (c) 驅動電壓U=4.95V，相圖圖2(n)對應的頻譜圖

3 結語

本文基于實驗室搭建的混沌擺實驗裝置，針對非線性擺的運動狀態隨參數變化過程進行了實驗和仿真研究，得到了驅動力頻率這一參數對混 沌擺運動狀態的影響結果。實驗和仿真結果均表明，隨著驅動力頻率的增加，混沌擺會有周期和混沌運動狀態交替出現的情況，且這種變化近乎為突變的。同時，也從數值仿真結果中觀察到了混沌擺運動狀態對驅動力頻率這一參數的敏感性。

混沌擺實驗作為大學物理實驗的拓展內容，讓同學們利用傳感器及相關數據處理軟件對混沌現象有了更深入的認識。本文討論了驅動力頻率這一影響因素，還可以在后續的拓展實驗中展開對驅動力振幅、磁阻力等影響因素的研究，并利用混沌擺裝置進行驗證。