徑向擺的運動狀態及其混沌狀態的研究

陳宗強 王 遠 余 華

(南開大學物理科學學院，天津 300071)

在2018年國際青年物理學家錦標賽(IYPT)題目中徑向擺(Azimuthal-Radial Pendulum)的題目內容為：“Fix one end of a horizontal elastic rod to a rigid stand. Support the other end of the rod with a taut string to avoid vertical deflection and suspend a bob from it on another string (see figure1). In the resulting pendulum the radial oscillations (parallel to the rod) can spontaneously convert into azimuthal oscillations (perpendicular to the rod) and vice versa. Investigate the phenomenon.”翻譯為：“將水平彈性桿的一端固定在剛性支架上。用一根繃緊的繩子支撐桿的另一端，以避免垂直偏轉，并將它從另一根弦上懸掛下來(圖1)。在擺動中，徑向振蕩(平行于桿)可以自發地轉變為方位振蕩(垂直于桿)，反之亦然。研究這種現象。”

圖1 徑向擺的示意圖

復擺一直以來是人們感興趣研究對象之一，孫為民等人對拉扭耦合振子特性進行研究[5]；許裕栗等人對韋氏耦合擺共振機理給出了解釋[5]；Eugene等對受迫共振的對擺的運動發生變化進行了研究[5]；龔善初等對復擺運動體系的Lyapunov指數進行了研究[5]；鄭子辰等人給出的無耗散耦合擺動力學方程[5]；Vittorio Picciarelli等人從最簡單的模式分析，并給出耦合振子方程[5]。本文運用分析力學進行研究，解釋了徑向擺的運動軌跡轉變的物理原因，并由受迫共振給出了擺的運動發生幾種不同轉變的原因與條件，分析了復擺體系運動的Lyapunov指數,并給出了混沌現象產生的條件。

1 模型建立

徑向擺產生這種軌跡的原因是彈性桿能發生形變，下面將在桿形變是影響擺球運動的基礎上進行分析。

圖2 模型的建立建立兩個坐標系，隨動坐標系(x0，y0，z0)是建立在擺繩連接點處的笛卡爾坐標系，它隨連接點平動但本身不發生轉動。靜止參考系(x，y，z)是建立在彈性桿連接點處的笛卡爾坐標系。圖中用圓圈標出的兩個坐標參量以及圓圈標出的角度參量(x，y，θ，α)對應我們選取的4個自由度，其中，θ為水平面上x軸與彎曲彈性桿末端切線方向的夾角；α為擺繩與z軸方向的夾角；ψ為懸掛繩與彎曲彈性桿末端切線方向的夾角

由于彈性桿受到懸線的限制，彈性桿在豎直方向上的運動被約束，于是規定直角坐標系(x0,y0,z0)是建立在擺繩連接點的隨動(相對于連接點)參考系, 而(x,y,z)為建立在彈性桿固連點上的靜止參考系，如圖2所示。在彈性桿的豎直自由度被限制以及剛性繩不可伸長的條件下，徑向擺體系將是一個四自由度體系，(x,y,θ,α)為4個自由度的代表坐標。其中，θ為水平面上x軸與彎曲彈性桿末端切線方向的夾角；α為擺繩與z軸方向的夾角；ψ為懸掛繩與彎曲彈性桿末端切線方向的夾角。

彈性桿所發生的形變在兩個方向，徑向與切向。它們體現在受擺球作用力影響下擺懸掛點位置相對于彈性桿不受撓矩時懸掛點的位移，分別對應剪切應變與徑向張應變。根據彈性理論[7]，利用邊界條件、相容性條件以及應力方程可以導得此時彈性桿的形變方程以及對應的能量方程。約定符號：記ξx為徑向位移，ξy為切向位移，Y為楊氏模量，S為彈性桿截面積，ρ為彈性桿的密度，I為彈性桿的慣量積，l為有效長度(擺連接點到彈性桿固定點的距離)，Δl為附加長度(擺連接點到彈性桿端點的距離)。

對于彈性桿的張應變能量[7](勢能與動能)，其彈性桿張應變的動能為

(1)

其彈性桿張應變的勢能為

(2)

對于彈性桿發生切應變所對應的能量，亦可得到為

其中，動能項中的系數5/2268比較復雜，這是由于在分析時并不能完全使用準靜態模型，還應考慮撓矩與切應變的相位差導致的[7]。

由此，在此處我們采用切應變動力學分析后得到了上述結果，其分析過程在古登堡的彈性體力學中已有充分論述，此處不再做解釋。

對于阻力，復擺體系中主要來源有兩種，一種是空氣阻力，另一種是由于桿和擺之間摩擦耗散。

實驗中，擺球運動速度全程處于低馬赫狀態，其受的空氣阻力將正比于物體運動速度大小，而由耗散引起的擺的振幅衰減，一般是線性衰減，其衰減因子(某一時刻振幅與初態振幅之比)，可以寫成指數形式：

κ(t)=e-γt

(5)

式中，γ為衰減常數。

給出體系的拉格朗日方程中的動能與勢能形式，對于體系動能：

(6)

(7)

廣義坐標qi的選擇：在這個方位角—徑向擺的四自由度體系中，選取的廣義坐標正是之前建立坐標系時選取代表4個自由度的坐標(x,y,θ,α)。

2 受迫振動與擺的運動方向

通過對彈性桿受迫振動的分析，可以給出徑向擺體系中擺運動發生轉換與穩定的條件。彈性桿自身的振動存在著對應本征頻率。

由無外力驅動時彈性桿的自發振動方程(假設彈性桿受到了微擾開始振動)：

(8)

由此，可以得到彈性桿在x和y兩個方向振動固有頻率：

當彈性桿在某方向振動時的固有頻率和擺本身的固有頻率更為接近時，平衡位置將偏向此方向。

3 實驗裝置

利用實驗室彈性桿、鐵架臺、機械臂、支架螺鈕搭建簡易的實驗裝置如圖3所示。

圖3 方位角—徑向擺的實驗裝置

我們用楊氏模量測量儀測出彈性桿的楊氏模量，用直尺測量擺線的長度，用游標卡尺測量有效長度的變化以及擺球的直徑，用天枰測出擺球的質量。

其各個參數如下所示：

Y=30.34×106N/m2，

ρ=1218kg/m3，d=20.0mm，

l0=21.0cm，m=32.16g，

I=2.48×10-9m4，g=9.8m/s2，

Δl=2.0cm。

實驗中，我們首先觀察到兩種現象：

(1) 由阻力引起的擺的振幅衰減；

(2) 彈性桿的兩種形變以及對應產生的擺球運動軌跡的變化。

采用較小的有效長度l=0.06m。發現此時振動在x方向(徑向)附近穩定，此時從其他方向上(不同于x軸的方向)釋放的擺球擺動軌跡將向x方向旋轉，并且穩定在x軸附近；而從x軸附近釋放的擺球擺動軌跡是穩定的(不會發生旋轉)，如圖4(a)、圖4(c)所示。

采用較長的有效長度l=0.28m，振動在y方向(切向)附近穩定，此時從其他方向(不同于y軸的方向)上釋放的擺球擺動軌跡將向y方向旋轉，并且穩定在y軸附近；而從y軸附近釋放的擺球擺動軌跡是穩定的(不會發生旋轉)，如圖4(b)、圖4(d)所示。

當采用有效長度為l=0.1065m的彈性棒進行實驗，觀察到在徑向與切向的兩個方向上耦合強度接近，可以判斷此時從徑向和切向上釋放的擺的軌跡都不會發生轉動。如圖4(e)、圖4(f)所示。

以彈性桿直徑和體系的附加長度為例：圖5(a)改變彈性桿直徑與體系的有效長度來繪制相圖，圖5(b)改變體系的有效長度和附加長度來進行相圖繪制?？梢酝ㄟ^劃分區域的方式定義方位角—徑向擺體系的不同穩定方向，在兩個相圖中我們還找到了一條穩定線，在穩定線附近釋放的擺同時在切向和徑向達到穩定。

圖5 平衡位置的相圖

4 運動模式的模擬

采用較小有效長度l=0.06m，此時彈性擺的平衡位置將在方向x附近，若計算此時幾個本征頻率間的關系，其中ω0為擺在豎直平面內振動的本征頻率。

ωx-ω0=3899.6rad/s

ωy-ω0=5935.9rad/s

(9)

其次，采用較大的有效長度l=0.28m，進行實驗，發現彈性擺的位置確實將在y附近：

ωx-ω0=904.5rad/s

ωy-ω0=316.6rad/s

(10)

對于之前在實驗中觀察到了特殊的穩定現象，即在兩個方向釋放得擺的運動都是穩定的，對于長度為l=0.1065m的彈性棒：

ωx-ω0=2560.7rad/s

ω0-ωy=2560.7rad/s

(11)

我們發現在這樣的條件下固有頻率在兩個方向的耦合程度是接近的，同時存在兩個方向的穩態，前兩種情況具體的理論模擬圖如圖6所示。

圖6 徑向擺的運動模式模擬圖

對于本征頻率，桿的振動本征頻率遠大于擺球本身的振動本征頻率。桿在兩個方向上振動的本征頻率與擺球振動頻率的差在同一量級上。在共振效應的影響下，這個差值越小相對應的振幅將會越大。

5 非線性與混沌

在實驗中，除了前幾種現象之外，我們還觀測到在某些條件下擺的運動具有很大的無序性。對于這類運動出現的原因是由于彈性桿與擺球的運動耦合時本身存在著非線性項，當彈性桿的楊氏模量與半徑較小時，非線性效應明顯，而使彈性桿振動的非線性效應與擺球運動的非線性效應發生耦合。

利用傅里葉分析，分析這類運動的能量頻帶如圖7所示?？砂l現：能量頻率關系并不是只有幾個峰值而是一個連續波動的函數，這正是由于非線性成分的耦合引起的。

圖7 運動非線性運動的傅里葉分解圖

利用Wolf法，分析上述條件下的彈性棒運動的Lyapunov指數。調整彈性桿的半徑，初態的Lyapunov指數是小于零的。隨著模擬，可以發現隨著桿的楊氏模量減小，Lyapunov指數逐漸上升，見表1。

表1 彈性桿半徑與Lyapunov指數

當體系的Lyapunov指數大于零時，體系將會產生混沌現象，由此可以得出混沌現象可能發生在彈性桿楊氏模量極小的極端情況。

6 總結

本文對第31屆IYPT賽題中提到徑向擺現象進行了研究。利用分析力學原理詳細解釋了徑向擺中存在著擺球運動軌跡轉動的原因，利用受迫共振與力矩，解釋了擺球運動軌跡轉變的方向與條件，并給出了實驗檢測以及與理論模擬進行對比。最后還研究了復擺體系存在的非線性現象，給出混沌可能發生的條件。結果如下：

(1)ω0(擺球振動的本征頻率)接近ωx時，擺球軌跡將向x(徑向)方向轉化，最終穩定在x(徑向)方向附近。

(2)ω0接近ωy時，擺球軌跡將向y(切向)方向轉化，最終穩定在y(切向)方向附近。

(3)ω0與ωy和ωx耦合強度接近時，從徑向和切向釋放的擺球的運動軌跡都是穩定的，不會發生轉動。

(4) 方位角—徑向擺體系中存在著非線性的耦合現象，當彈性桿的楊氏模量極小時可能有混沌現象發生。