關于半壁無限深勢阱束縛態存在條件的討論

王凱楓 時彥朋 劉建強

( 1 山東大學微電子學院，山東 濟南 250100； 2 物理國家級實驗教學示范中心(山東大學)，山東 濟南 250100)

無限深勢阱是量子力學中最基本的模型之一，對了解量子力學理論具有重要的意義，在教學和科研中都具有非常重要的作用。一維無限深勢阱目前幾乎是所有初等量子力學教材[1-6]中詳細講解的經典內容，半壁無限深勢阱作為無限深勢阱的變形，也是量子體系中較為常見和重要的模型[5]。

1 問題的提出

在量子力學教科書中，一維半壁無限深勢阱問題描述如下：

如圖1所示，設粒子處于如下勢場中，

(1)

其中，a為阱寬；V0為勢阱高度(V0>0)；分段函數的3個部分分別對應圖中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區域，求解V0與a滿足什么條件時，體系存在束縛態。

圖1 一維半壁無限深勢阱示意圖

2 問題的傳統解

體系存在束縛態時，有

此時波函數滿足定態薛定諤方程

(4)

在Ⅰ區域內，V(x)=∞，ψ1(x)=0。

(5)

(6)

在Ⅲ區域內,令

(7)

有

(8)

求解方程(6)和(8),并結合連續性條件和束縛態式(3)得

由連續性條件可得

即需要求解方程(11)、(12)在束縛態條件下存在非平庸解的條件：

(13)

令

η=αa(η>0),ζ=ka(ζ>0)

(14)

得到

(17)

圖2 超越方程組(15)和式(16)的圖像解

據我們所知，目前幾乎所有主流教科書[1-3]給出答案：式(17)為體系存在束縛態的條件。

3 分析與討論

下面討論關系式(17)作為解的合理性。

(18)

不符合式(14)中η>0的條件。反推η>0這一條件，可知其來源于式(7)α>0，即式(2)0

此時連續性條件仍然成立，即

ψ2(a)=ψ3(a),ψ′2(a)=ψ′3(a)

由此可得

易得式(23)恒成立。對于式(22)，若A=B=0，則有ψ(x)=0，滿足束縛態條件ψ(x)|x→∞→0。但同時波函數在全空間恒等于零，即粒子在全空間內出現的概率為零，顯然與題目條件不符，沒有實際物理意義。

若A=B≠0，由式(21)得，當x→+∞時，ψ3(x)=B≠0，不滿足束縛態條件(3)ψ(x)|x→∞→0，得此時波函數不是束縛態。

因此，最終結論為：半壁無限深勢阱存在束縛態的條件嚴格應為

由一維半壁無限深勢阱存在束縛態的臨界情況推廣到有限深勢阱的情形(圖3)，

圖3 一維有限深勢阱示意圖

4 結論

半壁無限深勢阱或者有限深勢阱是量子力學的初學者必然遇到的問題，在初等量子力學中的地位不容小視，本文給出該物理模型的嚴格解，討論了其臨界狀態的情況，指出了傳統教材中就該問題的處理不足之處。本文能使人們正確認識這類問題，對于從事量子力學的教學和科研工作者有重要意義。