基于層次Bayesian網絡及后驗風險準則的故障樣本量確定方法

史賢俊， 王康， 韓旭， 龍玉峰

(海軍航空大學， 山東 煙臺 264001)

0 引言

測試性作為一種能及時有效確定裝備狀態(tài)并能對其內部故障進行隔離的設計特性，構成裝備重要設計特性之一[1]。現階段裝備設計定型時明確提出測試性指標需求值，如故障檢測率(FDR)、故障隔離率(FIR)和虛警率(FAR)等[2]，這些指標是承制方進行裝備研制、生產和試驗的依據，亦為訂購方進行監(jiān)控、考核和驗收的重要依據，同時根據指標需求能明確反映裝備的測試性水平，進而指導裝備的設計定型。測試性驗證工作是為檢驗研制裝備是否滿足測試性指標要求值，由相關機構進行的試驗評定工作[3]，測試性驗證工作的開展有助于通過科學合理的評價來指導裝備提升測試性水平。測試性驗證技術是開展測試性驗證工作的核心，而故障樣本量確定技術作為測試性驗證技術之一，是測試性驗證工作的基礎環(huán)節(jié)，其實質是在裝備中注入所確定的故障數量，用測試性規(guī)定的方法對故障進行檢測和隔離，以得到滿足指標要求所允許的最大檢測和隔離失敗次數[4]。

目前指導測試性驗證故障樣本量確定的方法多為一些軍用標準[5-6]，同時相關文獻也對滿足指標要求前提下如何有效降低故障樣本量這一問題進行了研究[7-9]。文獻[10]針對現有的測試性驗證需要裝備整機測試性先驗信息，而實際大型復雜裝備僅含有大量分系統先驗信息，并且系統先驗信息缺乏這一問題，通過分系統試驗數據計算系統FDR置信下限，基于兩點分位數方法求取FDR先驗分布超參數，據此提出了基于分系統先驗信息確定故障樣本量方法的新方法。由于利用研制階段分系統信息，所提出的方法較之經典驗證方法能降低故障樣本量，但是該方法僅考慮分系統級信息而未充分了解系統結構劃分，對于下層單元先驗信息和系統級先驗信息利用不足。文獻[11]針對當前測試性驗證方法所確定的故障樣本量過大、工程上無法實現的問題，利用Beta分布來表征測試性先驗信息的不確定性，并根據不同來源先驗信息確定Beta分布的超參數，設計基于先驗信息加權因子的信息融合方法，據此提出基于Bayesian理論和先驗信息的測試性驗證方法模型，能合理采用先驗信息，并能有效減少故障樣本量。然而同一類型的先驗信息均轉化為系統級先驗分布進行融合，忽略了系統各層級結構本身可能具備多來源先驗信息，應當逐步考慮各層級自身先驗信息融合，并最終得到系統級先驗分布。文獻[12]針對故障樣本量過大問題，采用證據理論方法研究不同先驗信息信任分配函數的構造，實現不同種類先驗信息的融合，提出了基于研制信息確定故障樣本量的方法。由于能充分采用裝備研制期間測試性研制信息，所提方法能很大程度上降低樣本量，或者在樣本量不變的前提下一定程度降低雙方風險，但是該方法僅考慮了裝備整機系統的證據融合。文獻[13]針對系統中不同類型和層級單元，將實物- 虛擬試驗數據采用信息熵理論折合為系統級成敗型數據，并根據經驗Bayesian方法將其轉化為測試性指標的先驗分布，進而結合Bayesian后驗風險準則制定樣本量求解流程，案例表明其能有效減少樣本數量。雖然該方法考慮了系統層次結構劃分，但系統成敗型數據轉化為先驗分布的選取依據是經驗Bayesian方法，缺乏合理解釋，并且該方法未考慮系統級試驗數據及先驗信息，應當進一步研究。

系統層級劃分有助于為測試性設計提供科學合理的依據，保證測試性設計的可靠性[14]。鑒于裝備系統具備復雜的層次結構，以及裝備研制過程中先驗信息大量集中在系統底層單元(如元件、模塊等)，而靠近系統頂層的部件(尤其是整機系統)先驗信息不足。為了充分運用各外場可更換單元(LRU)、內場可更換單元(SRU)等測試性試驗數據和先驗信息，以及裝備系統自身試驗數據和先驗數據，本文提出基于層次Bayesian網絡(HBN)和基于系統后驗分布樣本數據集的后驗風險準則故障樣本量確定方法。由于Bayesian網絡能在表征不確定性基礎上很好地解決多源信息融合問題以及不確定性推理問題，具備較強的建模能力，近年來逐漸得到應用[15-17]，但目前多用于可靠性評估分析，在測試性驗證中鮮有研究。本文結合Bayesian網絡來反映系統層次結構劃分，構建HBN模型，以FDR作為網絡傳遞參數，該模型能表征系統的故障檢測率依賴于底層的故障檢測和隔離情況，并且能反映同層元件、部件或子系統的相互影響，能有效處理、融合各層級信息，得到較高可信度的FDR分布，通過系統FDR后驗樣本數據結合后驗風險準則制定故障樣本量確定方法。

1 HBN故障樣本量確定模型

Bayesian網絡是基于Bayes方法的擴展，是基于不確定知識表示和不確定性推理領域的數學模型，能夠通過一些節(jié)點變量的信息來獲取其他節(jié)點變量的概率信息。HBN是基于Bayesian網絡的一個擴展，它能夠處理結構化領域有關推理計算。一個HBN由結構和概率兩部分組成[18]，結構參數描述了部分關系和變量之間的概率依賴關系，概率參數定義和標準Bayesian網絡相同，此處指在結構中定義變量的條件概率。圖1表示一個HBN的3種不同表現形式及其條件概率表(CPT)，本文主要基于標準結構進行研究。

圖1(a)～圖1(c)中A、B、B1、B2和C為HBN的節(jié)點，t為包含所有變量的頂層復合節(jié)點，圖1(d)中a1、a2、b11、b12、b21、b22、c1和c2為相應節(jié)點取值，如此即可根據不同取值確定HBN的CPT.

1.1 HBN模型結構參數

為了與系統層級劃分建立聯系，現對HBN故障樣本量確定模型中層次、層次節(jié)點數以及層次節(jié)點進行定義。

定義1如果系統層級劃分數設定為L，則HBN層次H依據系統層級劃分數進行設定，即H=L，系統層(第1層)對應HBN第1層次，子系統層對應HBN第2層次，依次類推，系統最底層(第L層)對應HBN第H層次。

定義2根據系統結構，可以確定每一層級包含的元件、部件或子系統等數目Ml，則可對應確定HBN層次中層次節(jié)點數Nh，即Nh=Ml(h=l)，且當h=l=1時，N1=M1=1，分別表示整機系統和HBN模型第1層次具備唯一節(jié)點，l=1,…,L，h=1,…,H.

考慮實際系統進行故障模式影響分析(FMEA)約定層次劃分時會存在越層包含的情況，為保證模型的規(guī)范化，針對越層包含的情況，在中間層設置虛擬單元，虛擬單元完全繼承下層單元屬性的所有狀態(tài)(即虛擬單元與其下層單元等效)。裝備系統層級中虛擬單元對應到HBN模型中即為虛擬節(jié)點，則虛擬節(jié)點完全繼承下層節(jié)點信息。

定義3當確定HBN層次H和各層次節(jié)點數Nh時，則用X(h,nh)表示HBN中第h層第nh個節(jié)點。

考慮裝備具備的結構特征，在建立HBN故障樣本量確定模型時，需要結合裝備實際對模型進行約束限制。

約束1不允許存在非相鄰層次之間節(jié)點間的有向邊，即節(jié)點的故障檢測和隔離情況不能越層傳遞，必須通過其子節(jié)點向上表征，即逐層表征。

約束2不允許存在上層到下層節(jié)點間的有向邊，即傳遞方向的單一性，即節(jié)點故障檢測和隔離情況只能由其父節(jié)點表征，而不能通過其子節(jié)點進行表征。

除此之外，模型中位于同一層次的節(jié)點之間可以存在有向邊，表明節(jié)點間故障檢測和隔離情況的相互影響作用。

1.2 HBN模型概率參數

考慮二態(tài)情況，即節(jié)點X(h,nh)取值為{0,1}，分別對應于節(jié)點故障不可檢測和可檢測兩種狀態(tài)，以P(X(h,nh))表征節(jié)點內部故障- 測試情況，則P(X(h,nh)=1)=p(h,nh)用以表示節(jié)點FDR指標值。根據各節(jié)點取值和結構關系，結合實際經驗、專家知識以及相關理論確定各節(jié)點變量的CPT，即構成HBN模型的概率參數。

以FDR指標值作為HBN網絡的傳遞參數，從底層逐步向上傳遞影響，實際上是利用底層存在的信息，包括底層成敗型樣本以及其FDR先驗分布進行向上綜合。而實際情況正是如此，底層數據較為充分，置信度高，因此各層次節(jié)點所蘊含的成敗型數據是建模所需的重要一環(huán)，以保證數據來源的合理性及準確性能提高模型推理的置信度。

此外基于FMEA分析，故障之間的傳播特性、故障自身特性(包括故障率γ和故障危害程度等)、故障的自身節(jié)點的置信度以及下層節(jié)點對上層節(jié)點的貢獻程度均是影響HBN模型概率參數的因素。事實上，實際系統存在一些統計數據，領域專家據此根據故障傳播特性以及自身經驗，對各狀態(tài)進行打分評定，最終確定各節(jié)點變量的CPT，使HBN模型的概率參數合理可靠。

1.3 模型建立

基于以上分析，可以根據裝備結構建立HBN模型，并以各節(jié)點FDR指標作為網絡的傳遞參數，在實現HBN推理的過程中結合各節(jié)點變量CPT融合不同先驗信息(包括各節(jié)點測試性先驗信息和成敗型試驗數據等)，實現模型推理。根據HBN推理得到的系統節(jié)點FDR先驗分布，結合系統節(jié)點先驗和實際測試性觀測數據確定系統FDR后驗分布，然后基于FDR后驗樣本數據集和Bayes后驗風險準則確定故障樣本量，具體實施流程如圖2所示。圖2中裝備結構中的虛線框表明虛擬單元，虛擬單元可以為分系統、LRU和SRU等，具體依據裝備結構的越層包含情形而定，圖中局部HBN中的虛線框表明虛擬節(jié)點，作為下層節(jié)點的等效節(jié)點起到規(guī)范化模型表示的作用。

2 HBN融合推理算法

為充分融合各節(jié)點不同先驗信息實現HBN融合推理，以節(jié)點X(h,nh)為例，通過分析節(jié)點從屬關系，根據節(jié)點有無父節(jié)點，分以下2種情況進行研究：

1)節(jié)點X(h,nh)無父節(jié)點。由于無父節(jié)點，僅含自先驗信息，將其轉化為先驗分布，一般取為二項分布的共軛分布，即Beta分布，用p(0≤p≤1)表示節(jié)點X(h,nh)的FDR，則先驗分布具備如下形式：

(1)

式中：α、β為超參數。

結合節(jié)點的成敗型測試性試驗數據(N,F)，N為試驗總計次數，F為試驗失敗次數，根據Bayes理論，可以得到FDR的后驗分布：

π(p|X)=Beta(p;α+N-F,β+F).

(2)

2)節(jié)點X(h,nh)有父節(jié)點。

①HBN模型不含越層傳遞的情形。若節(jié)點X(h,nh)具備父節(jié)點，則其來源于同一層次或者下一層次或者兼具兩層，用Pa(X(h,nh))表示其父節(jié)點的集合，用P(X(h,nh)|Pa(X(h,nh)))表示節(jié)點X(h,nh)在給定其父節(jié)點集合時的條件概率分布，則有

P(X(h,nh),Pa(X(h,nh)))=
P(X(h,nh)|Pa(X(h,nh)))P(Pa(X(h,nh))),

(3)

式中：P(Pa(X(h,nh)))表示各父節(jié)點的聯合概率分布。

基于(3)式，仍可以按有無父節(jié)點進行遞歸分解，通過CPTs信息逐步迭代，最終可以得到P(X(h,nh),Pa(X(h,nh)))的聯合概率分布，則任一節(jié)點的邊緣概率分布為

(4)

②HBN模型包含越層傳遞的情形。對于模型中存在越層包含或傳遞的情形，視虛擬節(jié)點的下層節(jié)點為其父節(jié)點，但是虛擬節(jié)點完全等效繼承下層父節(jié)點的所有狀態(tài)，故無論HBN模型是否包含越層傳遞的情形，上述推理算法均能適用，唯一不同便是虛擬節(jié)點所包含的信息量和下層父節(jié)點等效，即完全傳遞。

通過以上分析，由于P(X(h,nh))表示故障檢測率或故障不可檢測率的概率分布是經由下層次亦或是同層次節(jié)點先驗信息繼承而來，稱之為繼承先驗。

事實上，繼承先驗的確定一般不具備解析表達式，本文采用Monte Carlo方法對繼承先驗進行擬合，由于不同擬合分布的選取會造成偏差，提出基于偏度- 峰度檢驗的擬合分布選取方法。峰度用來描述總體中所有取值分布形態(tài)陡緩程度的統計量，偏度則是描述數據分布形態(tài)的統計量[19]，然后基于正態(tài)分布進行比較，偏度、峰度計算公式為

(5)

對于不同的分布都有其各自的偏度和峰度，根據未知分布的偏度、峰度值與各分布偏度、峰度點(線、區(qū)域)進行對比，在一定約束條件下判斷未知分布數據的分布形式及其服從該分布的服從程度。

當通過偏度- 峰度檢驗獲取繼承先驗的分布形式后，通過最大似然法確定分布參數，需要將繼承先驗和節(jié)點自先驗以及節(jié)點的二項成敗型試驗數據進行融合。首先根據專家知識，節(jié)點自先驗分配權重系數為ws(0≤ws≤1)，繼承先驗權重系數為wi(0≤wi≤1)，且滿足ws+wi=1. 然后再次采用Monte Carlo方法結合偏度- 峰度檢驗對節(jié)點樣本數據進行擬合，得到節(jié)點聯合先驗分布，根據節(jié)點先驗分布形式和超參數結合節(jié)點二項成敗型試驗數據，便可以得到節(jié)點FDR的后驗概率分布。

按以上方法進行HBN融合推理，結合各節(jié)點自先驗、繼承先驗和成敗型試驗數據，則可以得到系統FDR后驗概率分布。

3 基于后驗樣本數據及后驗風險準則的故障樣本量確定算法

當前故障樣本量確定所采用的經典風險準則和平均風險準則是為了確保合格裝備通過測試試驗且不合格裝備不允許通過測試試驗，基于Bayes后驗風險準則的樣本量確定技術則要求使用方對于裝備通過測試(p≤p1，p1為給定使用方風險)的概率β最大，承制方對于裝備未通過測試(p≥p0，p0為給定承制方風險)的概率α最大，以更好地滿足雙方需求的目的。

文獻[20]給出了基于后驗風險準則的故障樣本量和最大允許失敗次數的不等式約束條件：

(6)

(7)

式中：RPP表示后驗承制方風險；RPC表示后驗使用方風險；c表示樣本量n下最大允許失敗次數；y表示觀察到的失敗次數；L(p)表示抽樣特征函數，滿足：

(8)

通過給定指標要求值p0、p1和雙方風險約束α、β便可求取n、c值。

(9)

(10)

求解(9)式和(10)式，由于已經確定π(p|X)，則隨機生成N個服從π(p|X)分布的樣本數據集p(i)～π(p|X)，i=1,2,…,N，根據Monte Carlo積分方法：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

通過求解滿足(16)式的不等式約束條件,即可得到滿足條件的最小樣本量及其允許失敗次數的n、c數據對。

(16)

4 案例分析

某型裝備無線電高度表在進行測試性驗證試驗時采用國家軍用標準所確定的故障樣本量較大，導致測試性驗證試驗無法完全開展，直接影響了后續(xù)指標評估的置信度，同時影響裝備使用、設計或定型。但是以往的測試中累積了不少先驗信息(包括詳細的FMEA分析結果、系統各層級成敗型數據及各節(jié)點先驗信息等)，結合無線電高度表的結構特性，將各先驗信息賦予各層次單元，以推理的方式實現信息的向上綜合，以達到充分利用各先驗信息的目的。同時通過對信息的綜合利用，縮減所需測試性驗證試驗所需的故障樣本量，進一步增加測試性驗證指標評估的置信度，使承制方和使用方均能根據科學合理的評價來指導裝備設計定型以及對裝備的接收或者拒收判定。

4.1 模型構建

以該型裝備無線電高度表為研究對象，通過結構分析，共劃分為3個層級，構建HBN模型如圖3所示。

根據(3)式和(4)式可得

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

4.2 先驗信息確定

在測試性設計、研制過程中各層級單元進行了一些試驗，對應各節(jié)點先驗信息和試驗數據如表1所示(節(jié)點先驗服從Beta分布)，其中由于節(jié)點X(1,1)、X(2,1)和X(2,2)測試性試驗信息缺乏，假定為無信息先驗分布。

表1 先驗信息和試驗數據

HBN模型概率參數由專家給出，各CPT如表2所示。

表2 HBN模型概率參數

4.3 HBN融合推理及分析

4.3.1 HBN融合推理實施方法

結合偏度- 峰度檢驗，首先給出理論分布在偏度平方- 峰度圖中的表現形式，如圖4左邊一列所示。從圖4中可看出，正態(tài)分布、均勻分布、指數分布、邏輯斯蒂分布在圖中為特定的點，表明其偏度和峰度為特定值，伽馬分布以及對數正態(tài)分布在圖中為一條直線，Beta分布則代表一片區(qū)域。以節(jié)點X(3,1)為例，由于節(jié)點X(3,2)無父節(jié)點，首先得到節(jié)點X(3,2)的FDR后驗分布為Beta(16.1,2.5)，通過(19)式，采用Monte Carlo方法對P(X(3,1))進行抽樣，計算樣本數據偏態(tài)和峰度值，通過樣本數據在偏度平方- 峰度圖中的位置，選取擬合分布形式為Beta分布，基于最大似然函數法估計Beta分布超參數，得到該節(jié)點的繼承先驗為Beta(171.50,18.85)，同時可以得到超參數估計的標準差對應為(δα,δβ)=(0.243 3,0.026 4)。此處假定0<δα≤1、0<δβ≤0.1時，可認為樣本數據來源于Beta分布，根據專家知識，設定節(jié)點自先驗權重ws=0.8，則繼承先驗權重為wi=0.2，再次通過抽樣擬合及試驗數據得到后驗分布Beta(48.54,6.89)。由(16)式～(20)式，重復上述過程，確定各節(jié)點繼承先驗分布、后驗分布及其主要統計量如表3所示，其中后驗分布統計量通過后驗樣本均值及后驗樣本均方差δ進行描述。

4.3.2 融合推理結果分析

圖4中左圖為各節(jié)點擬合偏度- 峰度檢驗情況，以此來確定觀察點靠近哪種分布類型，分布類型的選取直接影響HBN融合推理。圖4中右圖為有無HBN融合推理的各節(jié)點FDR后驗概率密度函數對比情況，d為后驗概率密度，m為經過HBN融合推理后的各節(jié)點FDR后驗中位數。從圖4中可以看出，有無HBN融合后驗分布密度曲線對比差距十分明顯：有HBN融合推理得到的后驗概率密度估計準確度更高，這一點可以從表3中各節(jié)點的95%置信度區(qū)間以及后驗分布均值可以得到；無HBN融合推理由于節(jié)點先驗假定為無信息先驗以及實際樣本量較小，導致后驗分布趨勢均較平緩。這正是由于節(jié)點X(1,1)、X(2,1)和X(2,2)測試性試驗信息缺乏所導致，若不采用下層先驗信息進行融合，則所能利用的信息是極少的。

4.4 后驗樣本量確定及分析

4.4.1 后驗樣本量確定實施方法

通過HBN模型融合推理得到系統FDRs指標后驗分布滿足：

表3 各節(jié)點FDR繼承先驗和后驗分布參數

FDRs=P(X(1,1)=1)～Beta(321.78,31.55).

(21)

由文獻[21]可以得到基于經典風險準則確定的樣本量試驗方法為(187,13)，采用文獻[11]中的傳統Bayes方法得到的樣本量方法為(120,8)(此處由于節(jié)點自先驗信息不足，用本文推導過程中的聯合先驗分布替代傳統Bayes驗證方法中FDR的先驗分布)，3種方法的結果比較如表4所示。

表4 試驗方法對比

4.4.2 樣本量確定方法的比較分析

給定雙方風險時，傳統Bayes驗證方法和本文提出的樣本量確定方法較經典驗證方法均有減少，減少樣本量相對量分別為35.83%和82.35%，本文方法更大程度上降低了樣本量，同時由于融合了各層級先驗信息，保證了所得方法的合理性。

綜上所述，本文所提方法能利用裝備的結構特征及綜合各層級信息實現對頂層(系統層)測試性指標FDR的推理，縮減測試性驗證試驗所需故障樣本量的數量，同時提高測試性驗證指標的置信度，最終使承制方和使用方均能以科學合理的指標指導裝備設計以及裝備的使用維護。

5 結論

本文針對現有測試性驗證方法對裝備系統結構考慮不足的問題，基于現有武器裝備復雜化、層次化的特征，系統各層均擁有獨立可分離的單元(模塊或部件)，通過FMEA分析確定各部件之間的故障傳遞影響情況，同時上層單元的故障檢測情況和其下層與之相關單元的故障率息息相關，進而實現對HBN的構建，符合裝備層次化的結構特征。HBN概率參數作為HBN推理的核心環(huán)節(jié)，是基于現階段武器裝備少量的系統級和分系統級試驗數據和FMEA分析結果，通過各領域專家評分進行確定，具備可操作性。針對所確定故障樣本量較大的問題，基于構建的HBN模型融合各層級節(jié)點先驗信息，實現模型推理，根據推理得到的頂層FDR后驗分布樣本集確定故障樣本量，顯然由于能融合各層級先驗信息，樣本量能在一定程度上得到減少，具備實際應用價值。

故本文根據裝備系統結構建立測試性驗證故障樣本量確定的HBN模型及實施流程，在對各層次測試性先驗信息進行融合推理的基礎上，提出的基于后驗樣本數據集和Bayes后驗風險準則的故障樣本量確定方法工程上具備可行性，其優(yōu)點是：

1)建立的HBN模型充分考慮了裝備的結構特征，能有效表征裝備單元間故障檢測情況的相互影響。

2)HBN模型能充分融合裝備各層級的多種來源先驗信息，通過自先驗和繼承先驗的權重分配，保證融合后結果的可信度，同時在融合中考慮擬合分布的選取原則，即采用偏度- 峰度檢驗的方法，對擬合分布參數進行估計，各參數估計標準誤差滿足一定條件則認為接受該分布，使得估計結果具備更高的可信度。

3)本文基于后驗樣本數據集和Bayes后驗風險準則的樣本量確定方法，通過結合系統測試性數據，增加裝備未通過測試承制方對裝備拒收的接受程度以及裝備通過測試承制方對裝備接收的支持程度，所確定的樣本量較經典測試性驗證方法和傳統Bayes測試性驗證方法均大為減少，或在樣本量不變的情形下能夠有效降低雙方風險。同時能夠根據后驗樣本數據集的置信區(qū)間及各分位數指導測試性指標值的設定，保證測試性驗證試驗為裝備生產設計提供技術支持。

但是在實際操作過程中，由于FMEA分析過程中存在主觀性，且如果系統復雜程度高，FMEA分析結果準確性會使HBN模型的概率參數受到影響，FMEA分析同時會影響領域專家決策置信度，所以采用本文方法需要準確的FMEA分析數據，以及統計準確的先驗信息。本文選取的研究對象是基于FMEA分析準確的前提，后續(xù)可以考慮非準確FMEA信息情況下模型的模糊推理，實現模型及推理方法的適用性。