積分概念的橫向教學研究

張學潤

（吉林大學數學學院，吉林長春 130062）

今天，數學知識已充分滲透一切學科，它的研究對象也早已從現實世界的空間形式與數量關系擴展為現實世界的任何形式和關系，甚至還研究在邏輯上可能的形式與關系。我們作為數學教育工作者，探求的不僅是數學知識理論本身，更重要的是理論之外的東西，是探求理論與課堂教學的結合模式，即如何在傳授知識點本身的同時，在課堂教學中教會學生探求事物間的關系，培養數學思維，提升認識世界的能力，這是數學教育工作者的首要任務。

那么，究竟什么是數學思維呢？思維是人腦對客觀現實的概括和間接反映，是人腦的基本活動形式，是人的一種高級的心理活動形式。數學思維就是用數學思考問題和解決問題的思維活動形式。數學思維能力主要表現在4個方面：會觀察、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比等方法進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；會運用數學概念、思想和方法辨明各種矛盾和關系，形成良好的思維品質。

1 積分概念橫向教學理論基礎

1.1 教學現狀

高等數學是大學數學的三門基礎必修課之一，積分學是其重要組成部分。一元函數的定積分、二元函數的二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分，對坐標的曲線積分，及對面積的曲面積分、對坐標的曲面積分，構成其完備的積分知識體系。內容安排設計都是先一元函數的定積分，再多元函數重積分，最后線積分，面積分，各占一章，獨立教學。且每章都遵循引例、概念、計算、應用的結構順序，概念清晰，內容全面，邏輯嚴謹，意義明顯。各種積分的傳統教學方法都是分割單獨教學，都是從引例入手，詳加分析，強化分割、代替、做和和取極限四步驟，引出特定結構和的極限的積分概念本質，再定義各種積分。

雖然教材內容設置、章節安排符合理解概念，探求本質，發展應用的認識規律。但是嚴格按照積分類別分割章節，單獨教學，概念講解單一，重復，學生學起來按部就班，了無“新”意，也不利于學生建立知識點間的聯系，不能更好地建立起積分的知識體系，教學過程也談不上培養學生的數學思維能力。

1.2 理論基礎

定積分、重積分、第一型曲線積分和第一型曲面積分的概念本質是一致的。考慮在完全學習過定積分之后，學生已經掌握定積分就是一元函數f（x）在區間[a，b]經過分割、代替、做和和取極限四步驟得到的特定結構和的極限，即講二重積分概念時，首先引導學生將定積分與二重積分進行類比，包括它們的定義，幾何意義、性質等。通過類比，發現它的定義也是從實際問題出發，求解由平面有界閉區域D，非負連續函數f（x，y）（x，y）∈D，及以D 的邊界曲線為準線，母線平行于Z 軸的柱面圍成的曲頂柱體的體積。計算過程中也有柱體各點處的高可能不同的矛盾，運用已知表未知，參照定積分概念的引例曲邊梯形面積的處理方法：化整為零，在局部以不變代變，再積零為整。

2 積分概念橫向教學的實踐

2.1 運用類比教學法引導二重積分概念

2.1.1 化整為零求解曲邊梯形面積首先是將其分割成n個小曲邊梯形，是通過將一元函數f（x）的定義域[a，b]進行劃分得到的。所以在求解取頂柱體體積，化整為零時，考慮將二元函數函數f （x，y）（x，y）∈D 的定義域D 進行分割。繼續類比具體如何分割，曲邊梯形是通過在區間（a，b）任意插入n-1個分點，將區間（a，b）分成n個小區間[x1，xi+1]，i=1，···，n-1 實現的。所以曲頂柱體應該考慮在平面區域D 內任意插入線段進行分割，為討論方便和計算簡單，引人一組平行于軸，軸的直線網格，將平面閉區域D分割成n個小區域Δσi，i=1，···，n。

2.1.2 以直代曲

計算每個小區間上曲邊梯形面積時，在[x1，xi+1]，i=1，···，n-1 內任取一點，以其函數值f（ξi）代替此小曲邊梯形的高，求得其面積為f（ξi）Δxi，進而做和，得到整個曲邊梯形面積的近似值類比曲頂柱體，不難發現，可以在每個小區域Δσi，i=1，···，n 內任取一點（ξi，ηi），以其函數值f（ξi'ηi）代替此小曲頂柱體的高，求得其體積為f（ξi，ηi）Δσi，從而得到整個曲頂柱體體積的近似值

2.1.3 積零為整

為把近似值轉換為真實值，實現量變到質變，曲邊梯形對面積和取極限，并且為保證轉換成立，分割無限加細，這里不是對分割個數n 取趨向無窮時的極限，而是對n個小區間長度Δxi，i=1，···，n 的最大值λ 取趨向于零時的極限類比曲頂柱體，取極限時，應對n個小區域長度Δσi，i=1，···，n 的最大值λ 進行趨于零的運算

這樣，通過類比，發現曲頂柱體也是按分割、代替、做和和取極限四步驟引出的，也可以表示為一種特定結構和的極限。相應于定積分Δxi，這種特定結構和的極限稱為二重積分，記為

2.2 從數量關系上橫向擴展積分概念

通過比較曲邊梯形與曲頂柱體，參照定積分定義，將二重積分的概念引入，并且發現二重積分的實質也是一種特定結構和的極限，即ηi）Δσi。由此不難發現二重積分是定積分從一元函數到二元函數的自然推廣，也可以看作從直線到平面，即一維空間到二維空間的擴展。此時引導學生繼續做橫向擴展，并且不在從有實際意義的引例入手，考慮將積分函數直接從二元函數推廣至三元函數，同時將積分范圍從二維空間的平面域擴展至三維空間的有界閉區域，相應的也得到一種特定結構和的極限，即并將之稱為三重積分。此時再引導學生考慮三重積分的應用，并引導學生考慮是否有n 重積分，并嘗試定義。這樣，學生的學習積極性就會被充分調動起來，主動思考并積極討論定義擴展過程中可能出現的問題。繼續將積分概念做橫向推廣，沖擊學生的思維，引導學生考慮平面曲線段，空間曲線段以及空間曲面上特定結構和的極限：

得到平面線積分，空間曲線積分及曲面積分的概念。最后通過類比，引導學生發現這幾種積分的定義都是按分割、代替、做和和取極限四步驟引出的，可以表示為一種特定結構和的極限，可以統一表示為當積分Ω 域變化同時取不同被積函數f（P）時，代表不同的積分，積分學體系自然形成，教學目標完美實現。

3 結語

從被積函數、積分區域入手，運用觀察、比較、分析、歸納、類比的數學方法，將其他積分概念統一做橫向介紹，合乎邏輯的，準確的闡述其他積分概念，不僅達到向學生傳授知識的教學目的，更重要的是向其展示了數學思維的過程，使其思維的廣度、深度和創造性方面的能力得到鍛煉。