Boltzmann方程在不同位勢下溫和解的存在性和唯一性

孟 飛

(南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210023)

引 言

Boltzmann方程是統(tǒng)計(jì)物理中的一個(gè)重要的方程，以下面的形式給出：

(1)

其中，未知函數(shù)f表示稀薄氣體的分布函數(shù)，一般依賴于變量x,v,t，它的物理意義是：對于任意的時(shí)間t，在x與x+dx的體積元內(nèi)，速度在v與v+dv之間的分子數(shù)。這個(gè)方程主要描述了在非平衡狀態(tài)下，稀薄氣體的分布函數(shù)f關(guān)于時(shí)間t演化的過程。方程中的對流項(xiàng)v·xf描述了分子本身的運(yùn)動，而碰撞算子Q(f,f)刻畫了分子間的碰撞，它的具體形式如下：

它們滿足下面的動量及能量守恒關(guān)系式:

.

顯然此時(shí)b(cosθ)在球面上是不可積的，這給方程的研究帶來了很大的困難。因此在很長的一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)家所作的工作都是基于這么一個(gè)條件：

這個(gè)條件被稱為角截?cái)鄺l件，在這個(gè)條件下，碰撞算子可以分成兩部分，即

Q(f,f)=Q+(f,f)-Q-(f,f)，

Q-(f,f)=?R3×S2|v-v*|βb(cosθ)f(v)f(v*)dv*dσ

除此之外，經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的研究，碰撞核的參數(shù)β也對解的性質(zhì)有很大的影響，其相應(yīng)的分類如下：

若β<0，稱為軟勢；

若β=0，稱為麥克斯韋勢；

若0<β1，稱為硬勢，特別的若β=1，稱為剛球。

對于Boltzmann方程研究的困難主要在于兩個(gè)方面，一是對流項(xiàng)和碰撞算子同時(shí)出現(xiàn)在方程中；二是碰撞算子中復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。近年來，關(guān)于Boltzmann方程的研究取得了很多進(jìn)展，很多重要的問題已經(jīng)得到了解決。下面我們主要回顧溫和解，重整化解以及平衡態(tài)附近的解這三個(gè)方面的相關(guān)結(jié)果。

在角截?cái)嗲樾蜗拢琄aniel和Shinbrot[1]首先在一個(gè)空間有界的區(qū)域內(nèi)發(fā)明了一種迭代技術(shù)證明了局部溫和解的存在性。不久，Illner和Shinbrot[2]利用這種技術(shù)在剛球情形下進(jìn)一步證明了整體溫和解的存在性,但此時(shí)初值需要關(guān)于變量x滿足指數(shù)衰減。這種方法深深的影響了上世紀(jì)80年代的Boltzmann方程的研究工作，Bellomo,Toscani[3,4,5]進(jìn)一步將這種技術(shù)推廣到不同的初值以及不同的碰撞核中。而Ha[6]討論了這類解的穩(wěn)定性。2009年,Alonso和Gamba[7]在初值關(guān)于變量x和v同時(shí)呈現(xiàn)指數(shù)衰減時(shí)，系統(tǒng)的研究了溫和解的存在性及正則性，穩(wěn)定性等性質(zhì)。最近，溫和解的理論由Boltzmann方程延伸到描述顆粒物質(zhì)的非彈性Boltzmann方程中，Alonso[8]用類似于文獻(xiàn)[1]中的做法證明了非彈性Boltzmann方程溫和解的存在性，而Wei和Zhang[9]則探討了在外力條件下非彈性Boltzmann方程溫和解的存在性和穩(wěn)定性。

由于溫和解對初值所處的函數(shù)空間有較強(qiáng)的限制，Boltzmann方程的重整化解是由Diperna和Lions于80年代末開創(chuàng)性提出的。1989年，Diperna和Lions[10]首先在角截?cái)鄺l件下給出了重整化解的存在性，他們的證明基于Boltzmann方程的重整化形式及L1空間的弱緊性。隨后Diperna和Lions[11]進(jìn)一步深入討論了上述解的性質(zhì)：建立了熵不等式。如何將重整化解推廣到非角截?cái)鄺l件，這個(gè)問題一直到2003年才由Alexandre和Villani[12]解決。但是關(guān)于此類解的很多問題都沒有得到解決，如解的唯一性，解的能量是否守恒等。

而對于Boltzmann方程在平衡態(tài)附近的解，Guo[13]在2003年證明了在角截?cái)嗉败泟輻l件下經(jīng)典解的存在性，他的方法主要基于高階導(dǎo)數(shù)的能量估計(jì)和碰撞算子的線性化理論，文章也指出其方法也可以適用于硬勢條件。不久，Alexandre，Morimoto，Ukai，Xu和Yang[14，15，16,17]在非角截?cái)鄺l件下做了一系列的工作，他們利用能量方法和碰撞算子的線性化理論研究了不同的位勢下解的重要的性質(zhì)，包括存在性，唯一性，正則性等。與角截?cái)鄺l件下結(jié)論不同地方在于此時(shí)的解具有正則化效果：即在任意時(shí)刻，解都會變得光滑。

預(yù)備知識及主要結(jié)果

1.1 溫和解

我們首先介紹下本文所用的函數(shù)空間及相關(guān)的范數(shù)，對于任意的p>1，定義函數(shù)空間Sp如下：

其次介紹本文需要研究的溫和解的概念，首先定義跡算子

f#(x,v,t):=f(x+vt,v,t),Q#(f,f)(x,v,t):=Q#(f,f)(x+vt,v,t).

對方程(1)沿著輸運(yùn)算子?t+v·x的特征線方向積分，就可以得到如下方程：

(2)

其中f0(x,v)表示初值，利用方程(2)，我們給出溫和解的定義：

注：如果f關(guān)于變量x和t是光滑的，那么方程(1)的解和方程(2)的解是等價(jià)的。因此，方程(2)可以是認(rèn)為是方程(1)的一種弱形式。

1.2 本文的主要結(jié)論及方法

本文主要將Illner和Shinbrot在文獻(xiàn)[2]中關(guān)于溫和解的存在性的結(jié)果由剛球模型推廣到其他位勢中，得到了溫和解的存在性和唯一性。主要想法是利用Kaniel和Shinbrot在[1]中使用的迭代技術(shù)來證明，但與剛球模型不同的是，在計(jì)算過程中，為了估計(jì)奇異積分，我們將使用碰撞算子在軟勢情形下的Lp估計(jì)，這也是我們在1.1節(jié)引入了新的函數(shù)空間Sp的原因。我們的結(jié)果表明此時(shí)初始值所在的空間Sp依賴于碰撞核中的參數(shù)β。

2 迭代技術(shù)

這部分主要介紹下Kaniel和Shinbrot[2]使用的迭代技術(shù)，考慮下面的兩個(gè)方程:

(3)

(4)

lk+1(0)=uk+1(0)=f0(x.v).

lk-1(t)lk(t)uk(t)uk-1(t),

那么

lk(t)lk+1(t)uk+1(t)uk(t)

也成立。

利用數(shù)學(xué)歸納法可知，如果條件

l0(t)l1(t)u1(t)u0(t),

(5)

因?yàn)楹瘮?shù)列{lk}和{uk}具有單調(diào)性，故可設(shè){lk(t)}的極限為l(t)，{uk(t)}的極限為u(t)，對方程(3)和(4)兩邊同時(shí)積分并利用控制收斂定理可得

(6)

(7)

顯然如果能證明u(t)=l(t)，那么f:=u=l即為Boltzmann方程的溫和解。

下面我們主要研究初始條件(5)，若令l0=0，由方程(3)和(4)容易得到0=l0(t)l1(t)u1(t)，此時(shí)開始條件(5)就退化為u1(t)u0(t)，因此我們可以得到下面的引理：

引理1對于任意的0t

3 初始條件

在這一部分中,我們將構(gòu)造一個(gè)函數(shù)u0(t,x,v)，使得條件u1(t)u0(t)成立。首先令如果l0=0，則通過方程(4)，可知

因?yàn)?/p>

(8)

上述條件又等價(jià)于

根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果可知

因此只需要找到一個(gè)函數(shù)，使其滿足積分方程

我們發(fā)現(xiàn)如果β<1，那么上面的積分是一個(gè)奇異積分，定義下面的積分算子T：

首先我們驗(yàn)證這個(gè)算子是一個(gè)Lp(R3)→Lp(R3)的有界算子，其中參數(shù)p待定。

我們發(fā)現(xiàn)對上方不等式右邊第二項(xiàng)的估計(jì)其實(shí)是對碰撞算子Q+在軟勢情形下的Lp估計(jì)，為此我們需要文獻(xiàn)[18]中的一個(gè)的引理。

引理2對于任意的1

那么有

這里Cb表示一個(gè)依賴于b(cosθ)的常數(shù)。

利用引理2，則

上面的不等式表明如果Cb,α·2R1,那么這個(gè)映射就是的壓縮映射,我們就可以應(yīng)用不動點(diǎn)定理找到這樣的ω。若要滿足不等式

只需要選擇適當(dāng)?shù)腞，使得下式

4 存在性和唯一性

證明首先我們證明第三部分中u(t)=l(t)即是Boltzmann方程的溫和解，定義范數(shù)如下：

所控制,應(yīng)用在第三部分中關(guān)于時(shí)間的積分:

我們有

再次利用引理2及第三部分中的結(jié)果對上式右端進(jìn)行估計(jì)。

容易證明其他三項(xiàng)的估計(jì)與第一項(xiàng)的估計(jì)類似,綜合這四項(xiàng)的估計(jì),我們有

又因?yàn)?/p>

則

而對于溫和解的唯一性，假設(shè)對于同一個(gè)初值f0(x,v)有兩個(gè)不同的溫和解f和g，我們利用證明u=l的步驟即可得。