有序Banach空間中一類分數階邊值問題的正解

李小龍

(隴東學院 數學與統計學院，甘肅 慶陽 745000)

分數階微分方程在自然科學、工程技術和控制系統等領域有著廣泛的應用，近年來許多學者應用相關的不動點定理與上下解的單調迭代技巧研究了分數階邊值問題的正解及其多個正解的存在性[1-7]，但在一般的Banach空間中對該類問題的研究還比較少。Banach空間的微分方程與普通微分方程的最大差異是，把微分方程轉換為與之等價的積分方程后，相應的積分算子不再具有緊性.為了對該積分算子應用凝聚映射的不動點定理，通常需要給非線性項f附加一些非緊性測度條件。本文使用了如下非緊性測度條件：

在研究Banach空間中微分方程正解的文獻中，有很多文獻[8]都要求f在有界集上一致連續.文中利用新的非緊性測度估計技巧[9]只需要f連續。

本文將在一般的有序Banach空間E中討論非線性分數階邊值問題：

(1)

正解的存在性,其中2<α為Caputo分數階導數,f:[0,1]×P→P連續,P為E中的正元錐。

1 預備知識

記C(I,P)={u∈C(I,E)|u(t)∈P,t∈I},則C(I,P)為C(I,E)中的正規錐.正規常數亦為N,以下使用的C(I,E)中的半序由C(I,P)引出。

定義1[1-2]設α>0,函數f:(0,+)→R的α階Riemann-Liouville積分為

其中Γ(·)為Gamma函數。

定義2[1]設α>0,函數f:(0,+)→R的α階Caputo導數為

其中Γ(·)為Gamma函數,n=[α]+1。

u(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,ci∈R,i=0,1,2,…,n-1,n=[α]+1。

引理2[3]假設u∈C(0,1)∩L(0,1)有α>0階導數屬于C(0,1)∩L(0,1),則

引理3[3]設2<α3,則對任意h∈C(I,E),Banach空間E中的線性分數階邊值問題

(2)

存在唯一解

(3)

其中

證明由(3)式知

‖Th(t)‖G(t,s)‖h(s)‖dsG(t,s)ds‖h‖

顯然算子T:C(I,E)→C(I,E)為正的線性連續算子,T有相應于第一特征值λ1的正特征函數u*,即λ1Tu*=u*。文中E與C(I,E)中有界集的Kuratiwski非緊性測度均由α(·)表示。對B?C(I,E),記B(t)={u(t)|u∈B}?E,t∈I。

引理6[11]設B={un}?C(I,E)為可列集,若存在ψ∈L1(I)〗使得‖un(t)‖ψ(t),a.e.t∈I,n=1,2,…,則α(B(t))在I上可積,且

引理7[9]設D?E有界,則存在D的可列子集D0,使得α(D)2α(D0)。

定義算子Q:C(I,P)→C(I,P)如下：

(4)

則Q:C(I,P)→C(I,P)連續,且方程(1)的解等價于積分算子Q的不動點。

引理8設f:I×P→P滿足假設(H0),則由(4)式定義的算子Q:C(I,P)→C(I,P)為凝聚映射。

因為Q(B1)等度連續,由引理5知

于是有

α(Q(B))2α(Q(B1))

因此Q:C(I,P)→C(I,P)為凝聚映射。

取C(I,P)的子錐：

K={u∈C((I,P)|u(t)≥θ,?t∈I}

易證Q(C(I,P))?K,從而當f:I×P→P時,Q:K→K為凝聚映射,方程(1)的正解等價于Q在K中的不動點。本文將用凝聚映射的不動點指數理論尋找Q的不動點。

2 主要結果及其證明

定理1設E為有序Banach空間,其正元錐P為正規錐,f:I×P→P連續,滿足條件(H0)。若f滿足下列條件之一:

則邊值問題(1)至少存在一個正解。

證明由上面的論述知,只需證明由(4)式定義的凝聚映射Q:K→K存在非零的不動點。取0

情形1f滿足假設(H1)。取0

u≠λQu,?u∈K∩?Ωr,0<λ1。

(5)

反設(5)式不成立,則存在u0∈K∩?Ωr及0<λ01,使得u0=λ0Qu0。根據Q的定義及條件(H1)中①得

u0(t)=λ0Qu0(t)G(t,s)f(s,u0(s))dsεG(t,s)u0(s)ds=εTu0(t)。

累次使用上式,則有

u0(t)εTu0(t)…εnTnu0(t),?t∈I,n∈N。

由錐K的正規性和引理4知

‖u0‖Nεn‖Tnu0‖(n→),其中N為正規常數,

故‖u0‖=0,這與u0∈K∩?Ωr(‖u0‖=r)矛盾。于是(5)式成立,再由引理9知

i(Q,K∩Ωr,K)=1。

(6)

下面證明當R充分大時

u-Qu≠τu*，?u∈K∩?ΩR,τ≥0。

(7)

反設存在u0∈K∩?ΩR及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,則u0=Qu0+τ0u*,根據算子Q的定義及條件(H1)中②得

從而有

(ηT-I)u0G(t,s)h0(s)ds-τ0u*G(t,s)h0(s)ds。

又由η>λ1知(ηT-I)為正算子,故逆算子(ηT-I)-1存在,由錐K的正規性得

(8)

情形2f滿足假設(H2)。取0

u-Qu≠τu*,?u∈K∩?Ωr,τ≥0。

(9)

反設(9)式不成立,則存在u0∈K∩?Ωr及τ0≥0,使得u0-Qu0=τ0u*,從而u0=Qu0+τ0u*≥τ0u*。令τ*=sup {τ|u0≥τu*},即0<τ0<τ*<+,且u0≥τ*u*。又由T的正性知λ1Tu0≥τ*λ1Tu*=τ*u*。

由條件(H2)中①可得

這與τ*的定義矛盾。故根據引理10知

i(Q,K∩Ωr,K)=0。

(10)

再證當R充分大時

u≠λQu,?u∈K∩?ΩR,0<λ1。

(11)

假設存在u0∈K及0<λ01,使得u0=λ0Qu0。從而由條件(H2)中②得

u0=λ0Qu0G(t,s)f(s,u0(s))dsG(t,s)(ηu0(s)+h0(s))ds=ηTu0+G(t,s)h0(s)ds。

即(I-ηT)u0G(t,s)h0(s)ds,又所以