巧用“題眼”破解壓軸

韋宏 黃美玲

摘 要：“題眼”是指能夠將題目中的已知條件與未知結論聯系起來的關鍵信息。從數學解題思維過程的角度，詳細說明捕捉“題眼”、關系聯想、組織求解過程在中考壓軸題的運用，由“題眼”聯想題目的定理和性質，幫助學生提升數學思維，形成解題經驗，提高解題能力。

關鍵詞：題眼;壓軸題;聯想

一、數學題眼與巧用解析

數學中，何謂題眼？羅增儒教授曾指出，數學解題的本質實際上是把已知聯系網與所求聯系網連線起來的過程。而這條連線的交匯點就是解決問題的切入點、突破口或關鍵處。因此，“題眼”是指能夠將題目中的已知條件與未知結論聯系起來的關鍵信息，是題目的核心，是問題的樞紐，是問題解決的靈魂。一般地，“題眼”可從題目中的客觀條件、已知結論、關鍵字詞句或隱含的數學概念、公式、法則、定理和性質等知識點捕捉得到。

巧用，本意有靈敏、恰好之意，本文特指靈活運用某種方法，促使數學題目得以快速解答。巧用“題眼”是指根據數學的題意，圍繞“題眼”展開聯想、利用“題眼”產生解題思路，以便實現問題解決的過程。在教學過程中，教師若能巧用“題眼”，則能較好地抓住題目的要點，領悟數學問題的本質，順利地解決問題。

二、巧用數學“題眼”的意義

數學解題的成功往往需圍繞“題眼”展開關系聯想，抓住題目要點，領悟問題的本質，找到解決問題的思路和方法。

（一）巧用“題眼”，高效解決問題

高效即快速之意，數學問題的解答，也要求有一定的速度，提高學習的效率。解數學題要先審清題意，尋找并捕捉“題眼”，然后想法設法利用題眼。巧用“題眼”，能夠幫助學生快速地分清題目的主次內容，舍棄冗余的干擾信息，準確地把握問題的本質，明晰條件、結論以及問題之間的邏輯關系，打開學生解題的思路，促進其高效解題。

（二）巧用“題眼”，培養思維品質

培養學生的數學思維品質，是數學教學的重要任務。從認知心理學的角度來看，數學解題不僅是一個由表及里的心理活動過程，也是一個由現象到本質的思維探索歷程。在培養學生使用“題眼”的過程中，也將經歷較為復雜的思維活動過程。在教學過程中，教師指導學生對題目中的關鍵信息進行深入挖掘和深度解讀，對有關的數學材料進行加工組織和靈活調整，以培養其思維的深刻性、靈活性和完整性。

（三）巧用“題眼”，提高數學能力

前蘇聯心理學家克魯捷茨基認為，數學能力（Mathematical Ability）是指學生能較為迅速、容易并透徹地掌握數學知識、技能和習慣的那些獨特的心理特征，它是一種綜合素質。巧用“題眼”，要求教師要指導學生把觀察到的“題眼”與已有的數學概念、基本事實等結合起來，尋找并捕捉它們的特點，歸納與概括它們的特征，發掘問題與舊知之間的啟發性聯系，選擇和辨認所需的數學材料，進而加工組織成系統的知識系統，最終實現問題的解決。由此來看，巧用“題眼”有利于提高學生的數學發現能力、抽象概括能力和數學解題能力。

三、巧用數學“題眼”的方法

如何巧用“題眼”？解題中，要想巧用“題眼”，首先要審清題意，捕捉“題眼”。其次，調動已有的知識，回憶某些熟悉的特征，圍繞“題眼”進行“關系聯想”。3[3]即根據數學材料之間的一般關系、因果關系和內在聯系等展開聯想。例如，給出一個題目，便聯想到它屬于哪種題型，解決的一般方法是什么;由一個已知條件聯想到相關的特征或性質;由一個定理公式聯想到它的推論和應用等等。可見，關系聯想就是一種調動已有的知識、回憶某些熟悉的特征、辨認所需的數學材料的思維活動。然而，在解題環節中，關系聯想只是提供了問題解決的可能。因此，還需要對所收集的數學材料加以組織求解，讓舊知充實或重組到原題中來，使原題得到重構、獲得新的意義，實現由未知問題到已有知識的逐級遞進、逐步轉化和還原求解。

近年來，中考數學壓軸題題目難度系數大，綜合性很強，不僅注重考察學生綜合運用基礎知識的能力，還關注學生解題思維的探索性與創新性，巧用“題眼”，即可順利解出壓軸題。下文將以三道中考數學壓軸題為例，詳細分析巧用“題眼”的方法。

（一）挖掘題目內涵，由“題眼”聯想定理

美國心理學家桑代克認為，一定的情境刺激與適當的反應所形成的聯結構成了問題的解決。數學中，這樣的“情境刺激”即為數學問題，“適當的反應”是指結論或目標，問題解決的關鍵則是要找到這兩者之間的關系聯結。數學題目中，“題眼”通常以一個字、一個詞或一句話的方式來呈現。審題時，不僅要善于捕捉“題眼”，更重要的是要挖掘這些關鍵字、詞、句的深刻內涵，理解題目的條件，認清問題的要求，深入分析已知條件與所求目標的各個元素以及元素之間的關系，利用它們之間的內在聯系、因果關系等來回憶某些熟悉的概念、公式、法則、定理、性質或者數學方法，盡可能地把回憶起來的知識點用數學語言來表述出所求問題的元素，以此實現條件、目標與已有知識、經驗之間的“關系聯想”，從而找到解題的思路和方法。

例：（成都）拋物線與直線：交于A（1，1），B兩點。若在X軸上有且只有一點P，使得∠APB=90°，求出k的值。

解題分析：①捕捉“題眼”：有且只有;∠APB=90°。②關系聯想：可以明確這兩個“題眼”構成了點P存在的限定條件，兩者缺一不可。由于點P“有且只有”一個，且“∠APB=90°”，便可由合并后的“題眼”聯想到切線定理。因此，以AB為直徑的圓與X軸只有一個交點。③組織求解：如圖1，過A，B兩點添加輔助圓O，由此構造相似三角形，建立線段間的比例關系：AM·BN=PN·PM，最后，用含有k的代數式依次表示點B、點P的坐標以及未知線段，解出關于k的一元二次方程：即可。

（二）分清主次信息，由“題眼”聯想性質

性質是定理的另一種表現形式，常常隱含于題干信息或解題過程中。中考壓軸題的題目信息量大，客觀條件足，考察的知識點較多，“題眼”的數量也不止一個，這時就需要分清主次信息，把問題的信息與認知結構的信息整合起來。根據問題所提出的目標，從復雜的回憶系統中檢索出所需的理論法則或者與本問題的某些元素有聯系的定理性質等。研究“題眼”時，可以將問題的條件用直觀的圖形、表格等表示出來，方便思考問題，產生解題思路。

例2：（2018玉林）如圖2，點A，B分別為直線與X軸和Y軸的兩個交點。二次函數交Y軸于點C，點P位于直線y=c上，且在第一象限內。點O是坐標的原點，連接PB，有△PCB≌△BOA。設點F是該二次函數與X軸的正半軸的交點，二次函數上的一點M位于點C，F之間（包括端點C，F），而且點M的橫坐標為m。

（1）求出該二次函數的表達式;（2）當∠MPO=∠POA時，求出點M的坐標。

解題分析：（1）①捕捉“題眼”：要求拋物線的解析式，首先想到的是待定系數法。因此，需要找出位于該拋物線上的點C、P坐標。觀察圖象可得，點C、P分別是題目中△PCB的兩個頂點。從而“△PCB≌△BOA”為本小題的“題眼”。②關系聯想：圍繞“題眼”，展開聯想，檢索所需的信息。回憶全等三角形的性質，主要有：對應邊、對應線段相等和對應角相等這三點。③組織求解：在這些知識點中，哪個更適合本問題的求解呢？顯然，將對應邊相等這一性質“充實”到待定系數法中來，即可分別求出點C、P的坐標：C（0，4）、P（3，4）以及該二次函數的表達式為：。

（2）為本小題的“題眼”為“∠MPO=∠POA”。由圖3可知，點M在二次函數上，若∠MPO=∠POA，則聯想兩個大知識點：全等或相似三角形中的“對應角相等”和等腰三角形中的“等邊對等角”。而僅有∠MPO=∠POA和公共邊OP兩個條件，不易證明△POM與△POA全等或相似。此時考慮第二個知識點“等邊對等角”，由此構造等腰三角形：分別延長直線PM和OA，交X軸于點Q，使得PQ=OQ。由圖聯想到：等腰三角形“三線合一”的特殊性質;點坐標（3，4）的特殊性（“勾股數”），則過點Q作等腰△POQ底邊OP上的高QE，由此解出點Q的坐標：（）。至此，P、Q兩點的坐標均已知，再聯立直線PQ與拋物線的解析式，解出符合條件的點M的坐標有（0，4）或（）。

巧用“題眼”開展教學，是教師教學機智的集中體現;通過“題眼”教學，培養學生數學學習興趣，掌握數學學習規律，不僅是新時期課程教學改革的要求，也是拓展數學課程內容邊界、深化課堂教學改革的重要基礎。巧用“題眼”，一般是由“題眼”聯想到重要的數學概念和數學原理（公式、法則、定理和性質等）。因此，為了提高學生的“關系聯想”能力，數學概念的教學不僅要讓學生掌握單一的概念，還要引導學生形成一定的概念網絡體系;數學原理的教學則要讓學生準確地理解和記憶原理的條件和結論、熟悉原理的適用范圍、掌握原理的證明方法等。總之，數學教師應努力幫助學生提升數學能力，豐富解題經驗，提高數學涵養。

參考文獻

[1] 羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社， 2001.

[2] 王成杰.題根 ?題眼 ?題感[J].高中數學教與學，2013（24）：42-45.

[3] 張雄，李得虎.數學方法論與解題研究[M].北京：高等教育出版社， 2001.

基金項目：本課題系2016年度廣西職業教育教學改革研究立項項目“中職教師品牌培訓項目設計、開發與實施研究”（課題編號：GXZZJG2016A138）的階段性成果。

作者簡介：韋宏（1968- ），男，廣西上林人，南寧師范大學數學與統計科學學院副教授，碩士生導師，研究方向：學科教學（數學）;黃美玲（1994- ），女，廣西來賓人，南寧師范大學數學與統計科學學院碩士研究生，研究方向：學科教學（數學）。