Simulink軟件在混沌系統滑?？刂茖嶒炛械膽?/h1>
2019-02-11 13:08:02趙海濱于清文顏世玉
中國教育技術裝備 2019年18期
趙海濱 于清文 顏世玉
摘 ?要 對于三階Jerk混沌系統，采用滑?？刂破鬟M行平衡控制。在滑?？刂破鞯脑O計中采用線性滑模面和指數趨近律。采用雙曲正切函數代替符號函數，用于削弱抖振的影響。通過Simulink軟件建立仿真實驗系統，滑?？刂破髂軌蜻M行混沌系統的平衡控制。該仿真實驗有助于學生對系統仿真、混沌控制和滑?？刂频睦碚摾斫夂凸こ虘?。
關鍵詞 滑?？刂?混沌系統;Simulink;仿真實驗;MATLAB
中圖分類號：G642.423 ? ?文獻標識碼：B
文章編號：1671-489X（2019）18-0033-04
Application of Simulink Software in Sliding Mode Control Ex-periment of Chaotic System//ZHAO Haibin， YU Qingwen， YAN Shiyu
Abstract For the third order Jerk chaotic system， the sliding mode controller is used for balance control. Linear sliding surface and ex-
ponential reaching law are used in the design of sliding mode con-
troller. The hyperbolic tangent function is used instead of the sign
function to weaken the effect of chattering. The simulation experi-ment system is built by using Simulink software， the sliding mode
controller can balance the chaotic system. The simulation experiment
is helpful for students to understand the theory of system simulation，
chaos control and sliding mode control and to apply it in engineering.
Key words sliding mode control; chaotic system; Simulink; simula-tion experiment; MATLAB
1 引言
混沌是一種看似充滿隨機性，而又滿足某種確定性的規律，它是確定性系統中存在的隨機概念。混沌可以用確定的動力學方程來表示，是非線性系統普遍存在的現象，廣泛存在于自然界和人類社會中[1]?；煦缦到y對初始條件極其敏感，具有整體穩定、局部不穩定的非線性動力系統?；诨煦缦到y的保密通信具有廣闊的應用前景，是非線性科學領域的研究熱點。目前，越來越多的院校將混沌理論引入實驗教學中，如蔡氏混沌電路的同步控制實驗?；煦缦到y的控制和應用是當前人們研究的一個熱點問題?；煦缦到y的同步控制已經在保密通信和圖像加密等領域取得廣泛應用。Jerk混沌是典型的三階嚴反饋混沌系統[2]，只采用單一的控制器就能進行系統的平衡控制。Jerk混沌系統的特點是微分方程的形式簡潔，能夠通過硬件電路實現[3]。
滑模變結構控制是現代非線性控制領域中的一種重要方法，具有很強的魯棒性、構造過程簡單和應用范圍廣等特點，廣泛應用于電機控制、機器人控制、飛行器控制和混沌控制等行業?；？刂茖２淮_定和外部干擾信號具有魯棒性，同時具有算法簡單和可靠性高等優點，對非線性系統的控制具有良好的控制效果[4]。
本文采用Simulink軟件建立Jerk混沌的滑?？刂品抡鎸嶒炏到y。在滑模控制器的設計中，采用線性滑模面和指數趨近律。指數趨近律具有非常快的收斂速度，在接近滑動模態時會出現抖振現象。在滑模控制器的設計中，為了抑制抖振現象，采用雙曲正切函數代替符號函數，雙曲正切函數為連續函數。該仿真實驗非常形象和直觀，只需要編寫很少的程序代碼，就能實現復雜的控制功能，能夠激發學生的學習興趣，有助于學生對系統仿真、混沌控制和滑?？刂频睦碚摾斫夂蛯嶋H應用，有助于學生開展探索性學習，發揮學生的積極性和自主性。
2 Jerk混沌系統
自從1963年Lorenz發現混沌吸引子以來，人們逐漸認識到自然界和人類社會中廣泛存在混沌現象。Jerk系統是美國物理學家Sprott基于計算機窮舉法所提出的一種三階自治混沌系統。對三階Jerk混沌系統的研究引起國內外學者的廣泛關注。Jerk混沌系統的特點是方程形式簡潔，能夠通過電阻、電容和集成運算放大器等硬件電路實現。Jerk混沌系統的狀態方程是典型的三階嚴反饋系統[2]，只采用單一的控制器就能進行系統的平衡控制。Jerk混沌系統具有三個狀態變量，但是只采用一個控制器就能實現系統的鎮定控制，因此在保密通信中具有廣泛的應用價值。
Jerk混沌是典型的三階混沌系統，其狀態方程表示為：
其中，f1（x）=sgn（x1）+sgn（x1+2）+sgn（x1-2），x1、x2和x3是Jerk混沌系統的狀態變量。Jerk混沌系統會產生四渦卷混沌吸引子。
根據Jerk混沌系統的狀態方程，采用Simulink軟件進行系統的建模和仿真，采用ode45算法。ode45算法即四階—五階Runge-Kutta算法，是一種自適應步長的常微分方程數值解法。Jerk混沌系統狀態變量x1和x2的二維相圖如圖1所示，狀態變量x1和x3的二維相圖如圖2所示。由圖1和圖2可以觀察到，Jerk系統產生了四渦卷混沌吸引子。
3 滑?？刂破鞯脑O計
其中，k1為常數，且k1>0。采用線性滑模面的滑模控制器將系統的滑?？刂品譃橼吔B和滑動模態。系統從任意的初始狀態趨向滑模面的過程稱為趨近模態，系統在滑模面上的運行過程稱為滑動模態。系統到達滑動模態后，狀態變量漸進收斂到零。
高為炳教授采用趨近律的概念，提出滑?？刂葡到y的抖振抑制方法。在滑?？刂破鞯脑O計中，常用的趨近律有等速趨近律、指數趨近律、冪次趨近律、快速冪次趨近律和雙冪次趨近律等。采用冪次趨近律、快速冪次趨近律或雙冪次趨近律進行滑?？刂破鞯脑O計，控制輸入不會出現抖振現象，但是狀態變量不能收斂到零，而是收斂到穩態誤差的界內。
在滑?？刂破鞯脑O計中采用指數趨近律。指數趨近律的表達式為：
根據Jerk混沌系統的狀態方程，采用線性滑模面和指數趨近律設計滑?？刂破?，并采用滑模控制器進行Jerk混沌系統的鎮定控制。通過李雅普諾夫穩定性理論對系統的穩定性進行證明，滑?？刂破髂軌蜻M行Jerk混沌系統的鎮定控制，狀態變量漸進收斂到零。
在公式（5）的滑模控制器中存在符號函數，當滑模面為零時，會出現抖振現象。抖振通常影響系統控制的精確性，會增加系統的能耗，而且可能激發系統中高頻未建模部分的強烈振動，甚至使系統產生振蕩或失去穩定。抖振的抑制和削弱成為滑?？刂蒲芯恐械闹匾n題。為了削弱抖振的影響，在滑模控制器中采用雙曲正切函數代替符號函數。雙曲正切函數是連續函數，其表達式為：
4 仿真實驗
MATLAB軟件具有強大的數學運算能力，以及方便實用的繪圖功能，而且對問題的描述和求解符合人們的思維習慣和數學表達習慣，已經成為虛擬仿真實驗普遍采用的輔助設計工具。采用MATLAB軟件可以非常方便靈活地建立復雜的系統，而且程序代碼比較短，容易實現。Simulink是MATLAB軟件的重要組成部分，功能強大、使用簡單方便，是一種有效的可視化仿真環境[5]。在Simulink仿真環境下，可以快速建立動態系統的框圖模型，不需要編寫大量的程序。只需要調用各個庫中提供的模塊，就可以建立復雜的仿真實驗系統。
在采用Simulink軟件進行建模和仿真時，通過普通Simulink模塊建立系統的仿真模型不是非常直觀。采用用戶自定義功能模塊庫中的MATLAB Function模塊可以非常容易地建立仿真模型，該模塊內的代碼可以直接采用MATLAB
語言編寫[6]。仿真實驗系統運行后，仿真結果可以通過Simulink軟件的示波器進行顯示，也可以將數據保存到軟件的工作空間中以便進一步分析。
根據Jerk混沌系統的狀態方程和滑?？刂破鞣匠?，采用Simulink軟件建立Jerk混沌的滑模控制仿真實驗系統，如圖3所示。
在圖3中，主要采用MATLAB Function模塊和積分模塊等。MATLAB Function模塊直接采用MATLAB語言建立模型和控制算法[7]，非常靈活和方便。在仿真實驗中，采用變步長的四階—五階Runge-Kutta算法，最大步長設定為0.000 1 s，仿真時間設定為4 s。Jerk混沌系統的初始狀態設置為x1（0）=1，x2（0）=-1，x3（0）=0.5。在線性滑模面公式中，參數設定為k1=6。在指數趨近律中，參數設定為k2=2，k3=1。在雙曲正切函數中，參數設定為δ=0.001。
采用滑?？刂破鬟M行Jerk混沌系統的平衡控制，仿真實驗系統運行后，狀態變量的響應曲線如圖4所示。在圖4中，Jerk混沌系統的狀態變量漸進收斂到零。
滑模面的響應曲線如圖5所示，滑模面的初始值為24.5，滑模面快速收斂并在1.95 s基本收斂到零。
采用符號函數時滑模控制器的響應曲線如圖6所示，采用雙曲正切函數時，滑?？刂破鞯捻憫€如圖7所示。在圖6中，滑?？刂破鞒霈F抖振現象。抖振不僅會影響控制的精確性、增加能耗，而且可能激發系統中高頻未建模部分的強烈振動，對系統造成危害。在圖7中，滑?？刂破鞅容^平滑，沒有出現抖振現象。
仿真結果表明，滑?？刂破髂軌蜻M行Jerk混沌系統的平衡控制，狀態變量漸進收斂到零，采用雙曲正切函數代替符號函數能夠抑制抖振現象。
5 結語
本文采用滑?？刂破鬟M行Jerk混沌系統的平衡控制，通過Simulink軟件建立仿真實驗系統。在滑?？刂破鞯脑O計中，采用線性滑模面和指數趨近律。為了削弱抖振的影響，采用雙曲正切函數代替符號函數。仿真結果表明，滑?？刂破髂軌蜻M行Jerk混沌系統的平衡控制，狀態變量漸進收斂到零。通過Simulink軟件建立仿真實驗系統，方便學生動手操作，使學生更易于修改實驗模型，有助于學生對系統仿真、混沌系統和滑模控制的理論進行理解并實現工程應用，有助于學生開展探索性學習，發揮學生的積極性和自主性。
該仿真實驗非常形象和直觀，只需要編寫很少的程序代碼，就能實現復雜的控制功能。學生可以將該仿真實驗作為參考，對其他混沌系統進行建模和分析，從而激發學習興趣和創新精神，培養編程能力和工程意識。
參考文獻
[1]孫克輝.混沌保密通信原理與技術[M].北京：清華大學出版社，2015.
[2]俞清，姜盼，陸菱，等.基于Jerk形式的多渦卷混沌電路[J].常州大學學報：自然科學版，2016，28（2）：83-87.
[3]呂恩勝，張繪敏.一種n-渦卷Jerk系統及其電路設計[J].貴州師范大學學報：自然科學版，2014，32（6）：76-80，84.
[4]劉金琨.滑模變結構控制MATLAB仿真基本理論與設計方法[M].3版.北京：清華大學出版社，2015.
[5]石良臣.MATLAB/Simulink系統仿真超級學習手冊[M].北京：人民郵電出版社，2014.
[6]趙海濱，于清文，劉沖，等.基于Matlab/Simulink的混沌同步控制實驗[J].實驗室研究與探索，2019，38（1）：16-19.
[7]趙海濱，劉沖，陸志國，等.基于Matlab/Simulink的欠驅動機械臂仿真實驗[J].實驗技術與管理，2018，35（6）：
135-138，143.
趙海濱 于清文 顏世玉
摘 ?要 對于三階Jerk混沌系統，采用滑?？刂破鬟M行平衡控制。在滑?？刂破鞯脑O計中采用線性滑模面和指數趨近律。采用雙曲正切函數代替符號函數，用于削弱抖振的影響。通過Simulink軟件建立仿真實驗系統，滑?？刂破髂軌蜻M行混沌系統的平衡控制。該仿真實驗有助于學生對系統仿真、混沌控制和滑?？刂频睦碚摾斫夂凸こ虘?。
關鍵詞 滑?？刂?混沌系統;Simulink;仿真實驗;MATLAB
中圖分類號：G642.423 ? ?文獻標識碼：B
文章編號：1671-489X（2019）18-0033-04
Application of Simulink Software in Sliding Mode Control Ex-periment of Chaotic System//ZHAO Haibin， YU Qingwen， YAN Shiyu
Abstract For the third order Jerk chaotic system， the sliding mode controller is used for balance control. Linear sliding surface and ex-
ponential reaching law are used in the design of sliding mode con-
troller. The hyperbolic tangent function is used instead of the sign
function to weaken the effect of chattering. The simulation experi-ment system is built by using Simulink software， the sliding mode
controller can balance the chaotic system. The simulation experiment
is helpful for students to understand the theory of system simulation，
chaos control and sliding mode control and to apply it in engineering.
Key words sliding mode control; chaotic system; Simulink; simula-tion experiment; MATLAB
1 引言
混沌是一種看似充滿隨機性，而又滿足某種確定性的規律，它是確定性系統中存在的隨機概念。混沌可以用確定的動力學方程來表示，是非線性系統普遍存在的現象，廣泛存在于自然界和人類社會中[1]?；煦缦到y對初始條件極其敏感，具有整體穩定、局部不穩定的非線性動力系統?；诨煦缦到y的保密通信具有廣闊的應用前景，是非線性科學領域的研究熱點。目前，越來越多的院校將混沌理論引入實驗教學中，如蔡氏混沌電路的同步控制實驗?；煦缦到y的控制和應用是當前人們研究的一個熱點問題?；煦缦到y的同步控制已經在保密通信和圖像加密等領域取得廣泛應用。Jerk混沌是典型的三階嚴反饋混沌系統[2]，只采用單一的控制器就能進行系統的平衡控制。Jerk混沌系統的特點是微分方程的形式簡潔，能夠通過硬件電路實現[3]。
滑模變結構控制是現代非線性控制領域中的一種重要方法，具有很強的魯棒性、構造過程簡單和應用范圍廣等特點，廣泛應用于電機控制、機器人控制、飛行器控制和混沌控制等行業?；？刂茖２淮_定和外部干擾信號具有魯棒性，同時具有算法簡單和可靠性高等優點，對非線性系統的控制具有良好的控制效果[4]。
本文采用Simulink軟件建立Jerk混沌的滑?？刂品抡鎸嶒炏到y。在滑模控制器的設計中，采用線性滑模面和指數趨近律。指數趨近律具有非常快的收斂速度，在接近滑動模態時會出現抖振現象。在滑模控制器的設計中，為了抑制抖振現象，采用雙曲正切函數代替符號函數，雙曲正切函數為連續函數。該仿真實驗非常形象和直觀，只需要編寫很少的程序代碼，就能實現復雜的控制功能，能夠激發學生的學習興趣，有助于學生對系統仿真、混沌控制和滑?？刂频睦碚摾斫夂蛯嶋H應用，有助于學生開展探索性學習，發揮學生的積極性和自主性。
2 Jerk混沌系統
自從1963年Lorenz發現混沌吸引子以來，人們逐漸認識到自然界和人類社會中廣泛存在混沌現象。Jerk系統是美國物理學家Sprott基于計算機窮舉法所提出的一種三階自治混沌系統。對三階Jerk混沌系統的研究引起國內外學者的廣泛關注。Jerk混沌系統的特點是方程形式簡潔，能夠通過電阻、電容和集成運算放大器等硬件電路實現。Jerk混沌系統的狀態方程是典型的三階嚴反饋系統[2]，只采用單一的控制器就能進行系統的平衡控制。Jerk混沌系統具有三個狀態變量，但是只采用一個控制器就能實現系統的鎮定控制，因此在保密通信中具有廣泛的應用價值。
Jerk混沌是典型的三階混沌系統，其狀態方程表示為：
其中，f1（x）=sgn（x1）+sgn（x1+2）+sgn（x1-2），x1、x2和x3是Jerk混沌系統的狀態變量。Jerk混沌系統會產生四渦卷混沌吸引子。
根據Jerk混沌系統的狀態方程，采用Simulink軟件進行系統的建模和仿真，采用ode45算法。ode45算法即四階—五階Runge-Kutta算法，是一種自適應步長的常微分方程數值解法。Jerk混沌系統狀態變量x1和x2的二維相圖如圖1所示，狀態變量x1和x3的二維相圖如圖2所示。由圖1和圖2可以觀察到，Jerk系統產生了四渦卷混沌吸引子。
3 滑?？刂破鞯脑O計
其中，k1為常數，且k1>0。采用線性滑模面的滑模控制器將系統的滑?？刂品譃橼吔B和滑動模態。系統從任意的初始狀態趨向滑模面的過程稱為趨近模態，系統在滑模面上的運行過程稱為滑動模態。系統到達滑動模態后，狀態變量漸進收斂到零。
高為炳教授采用趨近律的概念，提出滑?？刂葡到y的抖振抑制方法。在滑?？刂破鞯脑O計中，常用的趨近律有等速趨近律、指數趨近律、冪次趨近律、快速冪次趨近律和雙冪次趨近律等。采用冪次趨近律、快速冪次趨近律或雙冪次趨近律進行滑?？刂破鞯脑O計，控制輸入不會出現抖振現象，但是狀態變量不能收斂到零，而是收斂到穩態誤差的界內。
在滑?？刂破鞯脑O計中采用指數趨近律。指數趨近律的表達式為：
根據Jerk混沌系統的狀態方程，采用線性滑模面和指數趨近律設計滑?？刂破?，并采用滑模控制器進行Jerk混沌系統的鎮定控制。通過李雅普諾夫穩定性理論對系統的穩定性進行證明，滑?？刂破髂軌蜻M行Jerk混沌系統的鎮定控制，狀態變量漸進收斂到零。
在公式（5）的滑模控制器中存在符號函數，當滑模面為零時，會出現抖振現象。抖振通常影響系統控制的精確性，會增加系統的能耗，而且可能激發系統中高頻未建模部分的強烈振動，甚至使系統產生振蕩或失去穩定。抖振的抑制和削弱成為滑?？刂蒲芯恐械闹匾n題。為了削弱抖振的影響，在滑模控制器中采用雙曲正切函數代替符號函數。雙曲正切函數是連續函數，其表達式為：
4 仿真實驗
MATLAB軟件具有強大的數學運算能力，以及方便實用的繪圖功能，而且對問題的描述和求解符合人們的思維習慣和數學表達習慣，已經成為虛擬仿真實驗普遍采用的輔助設計工具。采用MATLAB軟件可以非常方便靈活地建立復雜的系統，而且程序代碼比較短，容易實現。Simulink是MATLAB軟件的重要組成部分，功能強大、使用簡單方便，是一種有效的可視化仿真環境[5]。在Simulink仿真環境下，可以快速建立動態系統的框圖模型，不需要編寫大量的程序。只需要調用各個庫中提供的模塊，就可以建立復雜的仿真實驗系統。
在采用Simulink軟件進行建模和仿真時，通過普通Simulink模塊建立系統的仿真模型不是非常直觀。采用用戶自定義功能模塊庫中的MATLAB Function模塊可以非常容易地建立仿真模型，該模塊內的代碼可以直接采用MATLAB
語言編寫[6]。仿真實驗系統運行后，仿真結果可以通過Simulink軟件的示波器進行顯示，也可以將數據保存到軟件的工作空間中以便進一步分析。
根據Jerk混沌系統的狀態方程和滑?？刂破鞣匠?，采用Simulink軟件建立Jerk混沌的滑模控制仿真實驗系統，如圖3所示。
在圖3中，主要采用MATLAB Function模塊和積分模塊等。MATLAB Function模塊直接采用MATLAB語言建立模型和控制算法[7]，非常靈活和方便。在仿真實驗中，采用變步長的四階—五階Runge-Kutta算法，最大步長設定為0.000 1 s，仿真時間設定為4 s。Jerk混沌系統的初始狀態設置為x1（0）=1，x2（0）=-1，x3（0）=0.5。在線性滑模面公式中，參數設定為k1=6。在指數趨近律中，參數設定為k2=2，k3=1。在雙曲正切函數中，參數設定為δ=0.001。
采用滑?？刂破鬟M行Jerk混沌系統的平衡控制，仿真實驗系統運行后，狀態變量的響應曲線如圖4所示。在圖4中，Jerk混沌系統的狀態變量漸進收斂到零。
滑模面的響應曲線如圖5所示，滑模面的初始值為24.5，滑模面快速收斂并在1.95 s基本收斂到零。
采用符號函數時滑模控制器的響應曲線如圖6所示，采用雙曲正切函數時，滑?？刂破鞯捻憫€如圖7所示。在圖6中，滑?？刂破鞒霈F抖振現象。抖振不僅會影響控制的精確性、增加能耗，而且可能激發系統中高頻未建模部分的強烈振動，對系統造成危害。在圖7中，滑?？刂破鞅容^平滑，沒有出現抖振現象。
仿真結果表明，滑?？刂破髂軌蜻M行Jerk混沌系統的平衡控制，狀態變量漸進收斂到零，采用雙曲正切函數代替符號函數能夠抑制抖振現象。
5 結語
本文采用滑?？刂破鬟M行Jerk混沌系統的平衡控制，通過Simulink軟件建立仿真實驗系統。在滑?？刂破鞯脑O計中，采用線性滑模面和指數趨近律。為了削弱抖振的影響，采用雙曲正切函數代替符號函數。仿真結果表明，滑?？刂破髂軌蜻M行Jerk混沌系統的平衡控制，狀態變量漸進收斂到零。通過Simulink軟件建立仿真實驗系統，方便學生動手操作，使學生更易于修改實驗模型，有助于學生對系統仿真、混沌系統和滑模控制的理論進行理解并實現工程應用，有助于學生開展探索性學習，發揮學生的積極性和自主性。
該仿真實驗非常形象和直觀，只需要編寫很少的程序代碼，就能實現復雜的控制功能。學生可以將該仿真實驗作為參考，對其他混沌系統進行建模和分析，從而激發學習興趣和創新精神，培養編程能力和工程意識。
參考文獻
[1]孫克輝.混沌保密通信原理與技術[M].北京：清華大學出版社，2015.
[2]俞清，姜盼，陸菱，等.基于Jerk形式的多渦卷混沌電路[J].常州大學學報：自然科學版，2016，28（2）：83-87.
[3]呂恩勝，張繪敏.一種n-渦卷Jerk系統及其電路設計[J].貴州師范大學學報：自然科學版，2014，32（6）：76-80，84.
[4]劉金琨.滑模變結構控制MATLAB仿真基本理論與設計方法[M].3版.北京：清華大學出版社，2015.
[5]石良臣.MATLAB/Simulink系統仿真超級學習手冊[M].北京：人民郵電出版社，2014.
[6]趙海濱，于清文，劉沖，等.基于Matlab/Simulink的混沌同步控制實驗[J].實驗室研究與探索，2019，38（1）：16-19.
[7]趙海濱，劉沖，陸志國，等.基于Matlab/Simulink的欠驅動機械臂仿真實驗[J].實驗技術與管理，2018，35（6）：
135-138，143.
