基于ARIMA模型的上證50指數的分析及預測

(天津財經大學 天津 300000)

一、研究背景

期貨交易是指交易雙方通過買賣期貨合約并根據合約規定的條款，約定在未來某一時間和地點，以某一特定價格買賣特定數量和質量標的物的交易合約，其最終目的是通過買賣期貨合約，規避現貨價格風險。本文重點研究金融期貨中的股指期貨，股指期貨是以貨幣化的股價指數為標的物的期貨合約，它是反映整個股票市場上各種股票市場價格總體水平及其變動情況的重要指標。

在編制股票指數時，首先應選取有代表性的一組股票，然后選定基期并將其價格設為1000，之后用各時期的股票價格與基期價格比較，通過計算得到股票指數。計算公式為：報告期股票價格指數=(Σ報告期樣本股股價×股本數/Σ基期樣本股股價×股本數)×1000。

本文以上證50股指期貨為例進行實證分析。在2004到2006年間，上證50基本在1000點上下徘徊，2005年6月達到歷史最低693.530，之后快速上漲，在2007年10月達到最高4772.93，隨后受金融危機影響，上證50快速下降，并維持窄幅波動，到2016年11月上證指數為2334.68點。因此上證50指數為非平穩性時間序列，因此選取2004年到2016年之間每日收盤價的數據進行收集整理，并建立ARIMA模型進行預測。

二、ARIMA模型介紹

自回歸模型AR(p)和滑動平均模型MA(q)的組合構成描述平穩性隨機過程的自回歸滑動平均模型ARMA(p，q):

Xt=φ1Xt-1+…+φpXt-p+∈t-θ1∈t-1-…-θq∈t-q，t∈Z

其中前半部分為自回歸部分AR，非負整數p為自回歸階數，φ1,…,φp為自回歸系數，后半部分為滑動平均部分MA，非負整數q為滑動平均階數，θ1,…,θq為滑動平均系數；Xt為上證50收盤價數據相關序列，εt為白噪聲序列服從N(0，σ2)。

當q=0時，該模型成為AR(p)模型：Xt=φ1Xt-1+…+φpXt-p，t∈Z

當p=0時，該模型成為MA(q)模型：Xt=∈t-θ1∈t-1-…-θq∈t-q，t∈Z

ARIMA模型全稱為差分自回歸移動平均模型，又稱為box-jenkins模型。其中ARIMA(p，d，q)稱為差分自回歸移動平均模型，AR是自回歸，p為自回歸項；MA為移動平均，q為移動平均項數；d為時間序列成為平穩時所做的差分次數。ARIMA模型是在ARMA模型的基礎上發展而來的，它是將非平穩時間序列轉化為平穩時間序列，然后將因變量僅對它的滯后值以及隨機誤差項的現值和滯后值進行回歸所建立的模型。ARIMA模型根據原序列是否平穩以及回歸中所含部分的不同，分為移動平均過程(MA)、自回歸過程(AR)、自回歸移動平均過程(ARMA)以及ARIMA過程。

三、基于ARIMA的上證50指數的分析及預測

(一)數據提取與處理

1.數據提取

本文選取上證50指數作為研究對象，從東方財富網上提取2004年1月2日至2016年11月18日收盤價共3128個交易日數據為研究樣本，通過SPSS 22.0進行分析，此樣本可以反映上海證券交易所年度整體趨勢。

2.原始時間序列數據

首先對原序列SZY進行分析，通過圖1可以看出為非平穩性時間序列，為驗證平穩性進行需進一步檢驗。

圖1

又根據自相關系數(ACF)圖可以看出，呈周期衰減的速度非常緩慢，且大部分數據未落入置信區間內，因而判定原序列為非平穩時間序列。

3.平穩化時間序列數據

經上述分析可知，原序列SZY為非平穩性時間序列，應采用差分法對原始數據進行適當階數的差分處理。對原始序列進行一階差分形成新序列SZY1的差分方法為：SZY1(t)=SZY(t)-SZY(t-1)，并觀察新序列的平穩性。由圖2可知，差分序列基本分布在0刻度線上下兩側，因此基本可以認為差分序列SZY1為平穩性。

又根據差分序列的自相關系數(ACF)和偏自相關系數(PACF)圖可知，大部分數據落入置信區間內，數據基本平穩，最佳差分階數d=1，因而適合對原始序列建立ARIMA(p,1,q)模型。

(二)模型建立

1.模型定階

通過以上對序列SZY1的偏自相關系數和自相關系數計算，并且根據標準化BIC準則最小化，經過反復檢驗，從而得出p=0，q=6，因此所建立的模型為ARIMA(0,1,6)。

2.模型統計資料

表1 模型適合度

由表2所示，標準化BIC準則的數值為7.474，與之前幾個模型的數值相比，滿足最小的原則，且平穩R平方為0.005，大于0，說明當前模型優于基準模型，并根據模型的擬合情況看出，R平方為0.997，接近于1，說明模型的可解釋的變異占總變異的比例較大，擬合效果很好，并且說明該模型可以解釋99.7%的現象，由此可以得出此模型為最優模型。

3.模型參數估計

MA(6)的參數估計系數為0.071，AR的系數為0，結合前面的一階差分，還原得到的自回歸移動平均模型ARIMA(0,1,6)如下：

Xt=∈t-0.071∈t-6，t∈Z

(三)模型的檢驗與預測

1.模型的診斷檢驗

為對擬合模型進行診斷檢驗，給出了殘差的自相關和偏相關函數。由自相關和相關函數圖可以看出，各滯后階數的ACF和PACF的數值都位于臨界值內，并且沒有顯著性的趨勢變化，因此模型ARIMA(0,1,6)是合適的。

2.模型預測結果

根據擬合圖形和預測結果，線性圖描繪了觀測值、擬合值及預測值。結果表明使用的模型比較合理，且精度較高。另一方面，隨著ARIMA模型預測區間的延長，該模型的誤差也會逐步加大，盡管如此，它比傳統的時間序列模型的精度更高，因此適合做短期預測。圖中預測了2017年全年上證50的大體趨勢，從圖中可以看出在置信區間范圍逐步加大的同時，誤差也在逐步加大，但是還可以大體看出2017年全年上證50指數仍處于一個回升階段，且保持波動性。

四、結論

本文通過對2004年1月2日至2016年11月18日的上證50指數的收盤價格研究，采用時間序列分析法建立ARIMA模型。首先可以看出原數據為非平穩性時間序列，因而需用差分法進行平穩化處理，再通過模型定階、參數估計，得出模型ARIMA(0,1,6)并對模型進行檢驗。檢驗有效后，對2017年全年走勢進行預測，通過實際值和預測值對比可以看出，該模型的預測結果基本接近實際值。通過本文的建模及實證研究分析，可得出如下下結論：

(1)選取觀察期間的上證50指數的每日收盤價，其數據序列為非平穩性時間序列，具有明顯的趨勢性和波動性。

(2)該模型擬合效果很好，且精度較高，說明此模型作為上證50指數的預測模型是可行的，但是此模型作為短期預測的效果最好，因為隨著預測時間的延長，誤差也在逐步加大。

(3)對于一個相同的序列，可建立多個不同的ARIMA模型，通過其他的統計量及實用性，選擇出最優的模型；通過預測結果可知，未來上證50指數的趨勢有輕微回升且保持波動性。

(4)本文在研究時，只考慮到時間序列的特性，又因為市場存在諸多不確定因素存在，但這些因素只能體現在隨機擾動項中，無法在預測結果中反應出來。