數學文化體現在立體幾何專題中的教學研究

【摘要】2017年《高中數學課程標準》提出了“六大數學核心素養”即數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，它是五大基本能力和兩個意識的延續和深化.2017年高考數學考試大綱增加了對“數學文化”的考查，體現了數學學科對學生核心素養的考核.為了適應新課改要求，本文針對高中階段立體幾何專題體現數學文化的教學進行研究.

【關鍵詞】新課改;數學文化;核心素養;立體幾何

【基金項目】本文是四平市“十三五”規劃課題《基于新高考改革背景的高中數學核心素養培養研究》階段性成果，課題批號：JL-SP-ZT-GK-015.

2017版《普通高中數學課程標準》將核心素養作為貫穿始終的“靈魂”，對數學的六大核心素養內容進行了系統的闡述.2018年全國II卷理科數學試卷，以思維為核心，考查學生的數學核心素養，充分體現了數學學科特點.這就要求教學中要從數學學科本質觀出發，凝練核心素養;以核心素養為綱，選擇、構建課程內容;以核心素養為目標，改革教學方式;結合核心素養和學科內容，設計學業質量標準.加強數學文化的教育，就是為了提升數學核心素養.

一、數學文化體現在高考中的主要問題

2018年高考試題在考查數學知識的同時，也滲透數學文化的考查，如全國Ⅱ卷理科第10題借助于古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形（月形定理）考查了幾何概型;北京卷理科第4題（文科第5題）關注了我國明代朱載堉對十二平均律的重要貢獻.

數學文化融入高考，能夠使數學文化進入課堂，既能落實新課程標準的要求，又能激發學生學習數學的興趣.從文化角度來關注數學，重視數學價值，能持續提升教師和學生的數學素養，也能增強學生用理性思維理解事物的視野.學生只有了解了數學的價值，才能自覺學習數學，學好數學.

高考全國卷在2013年到2017年間，在全國Ⅰ卷或全國Ⅱ卷中相應設置了一些數學文化的試題.從題型上看主要以小題的形式出現在選擇題或填空題里面;從考查的知識點上，以我國經典數學名著《九章算術》《數書九章》《算法統宗》和《算數書》中的問題為背景的文化試題.

二、2018年高考中數學文化在立體幾何中的考查

例1?（上海卷·15）《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設AA1是正六棱柱的一條側棱，如圖1所示，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數是（?）.

A.4

B.8

C.12

D.16

例2?（全國Ⅲ卷·文/理3）中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來.構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼.圖2中木構件右邊的小長方體是榫頭.若圖2擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（?）.

三、數學文化體現在立體幾何中的主要內容

立體幾何中蘊含著很多數學文化，在歷年高考中，也有考查立體幾何中的數學文化題目.

（一）以中國古代數學猜想為命題背景

例3?（2013年上海卷（理））在xOy平面上，將兩個半圓弧（x-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D（如圖3中陰影部分）.記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面積為4π1-y2+8π，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為.

（二）以中國古代數學名著為命題背景

《九章算術》是我國古代數學名著，多次出現在高考試題中，比如，2011年、2012年的湖北高考卷，2015年的全國高考Ⅱ卷，等.另外，《算數書》《數書九章》等名著都曾出現在高考數學試題中.

例4?（2015年新課標Ⅰ卷文、理6）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學著作，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（?）.

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

例5?（2012年湖北卷理10）我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d≈3169V.人們還用過一些類似的近似公式.根據π=3.14159…判斷，下列近似公式中最精確的一個是（?）.

A.d≈3169V

B.d≈32V

C.d≈3300157V

D.d≈32111V

例6?（2015年湖北卷文17）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖5所示的陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE，BD，BE.

（1）證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑.若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）;若不是，請說明理由.

（2）記陽馬P-ABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，求V1V2的值.

四、數學文化體現在立體幾何中的教學策略

數學文化的意義還不僅在于知識本身和它的內涵，還在于它的應用價值，尤其是立體幾何，應用價值更明顯.在教學中應該加強數學與實際生活的聯系，增強數學的應用性，讓學生體驗到數學文化的價值就在于生活的各個領域中都要用到數學.

1.創設問題情境，激發學生學習興趣.興趣是最好的老師.授課前，創設每個數學專題的數學情境，從而激發學生探求新知的欲望，提高學習效果.比如，在有限制條件排列時，對本班學生進行分組，提出不同的問題，讓各個小組研究出各自的解決辦法，進而歸納出解決有限制條件排列的特殊元素位置（優選法）、相鄰問題（捆綁法）、不相鄰問題（插空法）、定序問題（消序法或留空法）等方法.這樣不僅發揮了學生的主動性，也激發了學生的學習興趣，增強了課堂教學效果.

2.注重解決問題，提升學生實踐水平.引導學生將數學融入日常生活中，比如，在講到充要條件時，讓學生們設計不同電路，來驗證什么是充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要條件，這樣不但使學生直觀理解充要條件概念，更能提高學生的動手能力.在講到正、余弦定理應用時，把班級學生分成幾個小組，測教學樓的高度，這樣既加深了對正、余弦定理的理解，又能提高學生的解決問題、將理論應用于實踐的能力.

3.改進教學方式，增強學生自主能力.在教學中，要改變以往教師教、學生學的教學方式，發揮學生的自主學習能力.鼓勵學生自己去學習、研究數學文化.比如，讓他們通過閱讀數學趣味故事、數學家成長故事、數學史等，開闊學生的視野.在班級文化墻上開展數學手抄報、上臺講數學故事等，讓學生自己獨立完成教材上的數學實習作業，通過這些來拓展學生的數學學習能力.

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