稀疏分位數投資選擇模型及其算法

賀露露　張成毅

[提要] 我們考慮經典Markowitz均值-方差框架內的投資組合選擇問題，將其重新定義為一個約束罰稀疏分位數回歸問題。我們通過采用Half閾值算法分別將稀疏度k（k的取值分別為6、7、8、9）不同的投資組合隨迭代次數收益與誤差的變化情況進行分析，從數值實驗結果來看，在稀疏度K=7時，能通過較少的迭代次數達到最大的期望值，即可以使投資者的收益最大化。

關鍵詞：稀疏投資選擇;Half算法;分位數閾值算法

基金項目：國家自然科學基金項目（編號：11601409）;陜西省自然科學基礎研究計劃青年項目（編號：2017JQ1029）

中圖分類號：F83 文獻標識碼：A

收錄日期：2018年10月29日

引言

現代金融學中大規模稀疏投資優化選擇問題是十分核心和活躍的研究課題之一，如何最優的去選擇金融產品的投資組合以達到收益最大、風險最小的均衡狀態，是各級金融機構乃至個人投資者關注的核心問題。

1952年，哈里·馬科維茨就這個問題在The Journal of Finance期刊上發表了一篇名為“Portfolio Selection”的文章，提出了均值-方差（MV）投資組合模型，從而開創了在投資收益和風險不確定的情況下理性投資者進行資產組合的理論和方法，為現代金融學的發展奠定了基礎。但是，M-V投資組合模型卻存在一些不足之處。首先，由于人們對大規模的資產組合的期望收益率向量與協方差矩陣的估計比較困難，從而導致在實證分析中存在著較大的估計誤差，所以M-V模型的計算復雜性大;其次，模型中資產期望收益和方差-協方差矩陣的估計完全依賴有限的樣本數據，容易引起估計有很大的偏差且時間的可變性，尤其對期望收益有強烈的時間可變性;最后，均值-方差投資組合模型是以資產收益的有限樣本估計（和）的估計誤差被不合理地放大的形式構建的。因此，所得投資組合具有誤差最大特征，并且對于個體資產的期望收益的意外小擾動是極其敏感的。總之，Markowitz投資組合模型極大地受到估計誤差的影響，具有比較差的樣本外性質，從而經常導致非常不穩定且極端的資產組合權重。

其后，為解決投資組合選擇理論在實際應用過程中的困難，Sharp在文章中改進了并發展了Markowitz模型，與Litner and Mossin建立了資本資產定價理論 （CAPM），使繁雜的計算工作得到了簡化。由于Markowitz與Sharpe在金融學領域所做出的開創性的貢獻，使得他們與Merton在1990年度共同獲得了諾貝爾經濟學獎。

除此之外，而我們正處于大數據時代，身處于這個時代，證券市場的各式各樣的股票或許就會讓投資者迷茫不已，更有各式各樣的金融衍生產品令人眼花繚亂，目不暇接。從龐大的數據之中進行投資組合的選擇是金融機構、企業、投資者一直需要解決的問題。

以往人們通常選擇基于最小二乘法來建立投資選擇模型。這類模型的目標函數是凸的光滑函數，容易處理，并且有現成的算法。然而，這類模型也有其致命的弱點，最主要的是所得結果極其不穩定，并且在實際的經濟生活中會出現尖峰或厚尾的分布、存在顯著的異方差等情況，此時最小二乘估計的穩健性非常差，不具有樣本外性質。而分位數回歸模型相比于最小二乘投資選擇模型而言，能夠精確的描述解釋變量對于被解釋變量的變化范圍的影響能夠更加全面的描述被解釋變量分布的全貌，而不僅僅是分析被解釋變量的條件分布的期望（均值）位置;可以分析解釋變量如何影響被解釋變量的分位數等。尤其在金融投資組合模型中，可以通過取不同的分位數值來解決不同的問題，使得模型具有穩定性。

于是，1978年Koenker and Basset提出了分位數回歸的理論和方法，這是一種代替一般最小二乘回歸的重要方法，通過分位數0～1之間的任何值，調節回歸平面的位置和轉向，讓自變量估計不同分位數的因變量，對隨機誤差的分布不做任何要求，當分布不對稱、厚尾或者刪失時，這種分析法尤其有效，因此與經典的最小二乘法相比在應用上具有獨特的優勢。

一、稀疏分位數投資選擇模型的提出

稀疏投資組合模型就是基于Markowitz模型的結構將其目標函數增加一個以投資組合權重為變量的罰函數來構建的。通過罰正則化優化問題，可以使得投資組合變得具有稀疏性。如下就是稀疏分位數投資選擇模型：

設定Rn×m=（r1，r2，…，rm）是包含解釋變量的設計矩陣，我們要研究的線性模型是：

三、數值實驗結果與分析

本文通過構建L1罰分位數稀疏投資選擇模型，實驗過程就是將分位數回歸下的Half閾值算法同Lasso算法分別應用到分位數模型上，各自得到實驗結果。首先本文的數據實驗來源于1992～1997年的一系列市場標準恒生指數，其中每列的數據是所有資產股票在不同時期的歷史收益數據。本文的編程環境是SAMSUNG Q470C pc （Intel Core i3-3110MCPU，2.40GHZ，4.00GB）上matlab-R2015b中完成。

圖1～圖4將展示Half算法當改變稀疏度時，期望值隨迭代次數的變化。從圖中可以看出，當隨著迭代次數增加時，期望值將穩定在一個固定值，即：投資者收益很穩定。（圖1～圖4）

從圖5～圖8來看，隨著迭代次數增加時，誤差將越來越少，并且不同的稀疏條件下，誤差影響差別較小。（圖5～圖8）

四、小結

本文將分位數回歸下的Half閾值算法應用到投資選擇模型上，從實驗結果來看，當隨著迭代步數，期望將越穩定。并且在稀疏度K=7時，能通過較少的迭代次數達到最大的期望值，即可以使得投資者收益最大化。

主要參考文獻：

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