數學概念的本質及概念的形式教學法

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(青島實驗學校)

隱藏在數學知識中的邏輯學貫穿于所有學科和現實生活，它滲透在各個行業領域的各個方面，無論是小到日常生活中的交際語言，還是大到專業學科的知識語言，邏輯學都是滲透在每個字里行間，束縛著行業的規范和語言的規范。

一、數學概念的本質

數學概念的內容是知識，其形式是命題，因此它的本質是知識的邏輯與命題的邏輯。知識的邏輯為所有教師和學生所知，而概念的形式即命題如何還原呢？其實，它可以還原成命題的基本結構：即條件加結論。它如同我們正常討論時的語言，很多時候并沒有那么明顯地呈現出命題的形式。下面我以“相反數”為例進行詳細說明。

相反數的概念：一般地，在數軸上原點的兩側，與原點距離相等的兩個點的坐標互為相反數(opposite number)。

它可以還原成命題：如果在數軸上原點兩側的兩個點到原點的距離相等，那么這兩個點的坐標互為相反數。

問題1：“判斷正誤：如果在數軸上原點兩側的兩個點坐標a和b到原點的距離相等，那么a和b互為相反數，即有a=-b(或b=-a)”。

逆命題：如果在數軸上原點兩側的兩個點的坐標互為相反數，那么這兩個點到原點的距離相等。

問題2：“判斷正誤：如果在數軸上原點兩側的兩個點坐標a和b互為相反數，那么這兩個點到原點的距離相等，即有|a|=|b|”。

否命題：如果在數軸上原點兩側的兩個點到原點的距離不相等，那么這兩個點的坐標不互為相反數。

問題3：“判斷正誤：如果在數軸上原點兩側的兩個點坐標a和b到原點的距離不相等，那么a和b不互為相反數，即a≠-b(或b≠-a)”。

逆否命題：如果在數軸上的兩個點的坐標不互為相反數，那么這兩個點不在原點的兩側，或它們到原點的距離不相等。

問題4：“判斷正誤：如果在數軸上原點兩側的兩個點坐標a和b不互為相反數，那么這兩個點到原點的距離不相等，即|a|≠|b|”。

其中，毋庸置疑的是相反數的概念還原的原命題肯定是真，即問題1是正確的；其次，通過判斷逆命題演變的問題2是正確的，所以逆命題為真；最后通過判斷否命題和逆否命題演變的問題2和問題3是正確的，所以否命題和逆否命題也都為真。通過還原相反數概念的本質，學生對相反數概念的認識在不斷強化，達到了對概念理解的融會貫通。

二、數學概念的形式教學

1.形式教學的意義

要回答形式教學的意義是什么，就要回答我們為什么要對數學概念進行形式教學。

原因一：數學概念的結構是命題的邏輯。

數學概念的形式教學法有利于在早期培養學生的邏輯思維能力和語言的思辨能力，嚴謹而全面。因為很多數學概念辨析的本質實際就是命題與命題間不斷變換邏輯結構，要讓一個學生步入社會后具備正常人與人交涉的能力，就要使得其具備邏輯思辨的能力，而不是只憑感覺經驗來判斷所有的是非。

另外，數學概念的本質形式是命題，且是真命題，而命題又可以轉換為逆命題，所以數學概念的形式教學也有利于培養學生的逆向思維。逆向思維是邏輯思維中的基本思想，當順向思維難于解決問題時，可以從條件或問題思維尋求解決問題思路的方法。

原因二：數學概念的邏輯結構往往是隱性的。

數學概念猶如我們日常的語言體系，它的邏輯結構并沒有那么明顯，很多人在討論問題時只憑感覺經驗來判斷是非，于是出現了太多的非理性紛爭。但是實際上，都違背了語言的邏輯，使得很多情節沒有了紋理。在一定程度上將語言的邏輯結構顯化，則有助于我們分析和解決問題。

原因三：所有問題都是概念的延伸。

不僅僅是數學，所有當下的學科問題都是各自學科概念的延伸，都是各自概念演變出來的，本質都逃不掉學生對于基礎概念的理解，不管是知識的內容，還是形式的邏輯結構，萬變不離其宗。只有抓住問題的本質，學生才能學得更加深入。

2.形式教學的方法

只有弄清楚數學概念辨析的本質是什么，我們才能繼續研究概念形式教學的方法。在第一部分我們詳細介紹了數學概念的本質，其實大體能推出形式教學的方法和步驟。

數學概念的形式教學的基本方法和步驟：

(1)學生能將概念還原成命題——學生要學會顯化概念的邏輯結構。他們就要從概念中找出條件和結論，并用常見的因果關系關聯詞來聯結，如“如果……那么……”“若……則……”等。

(2)學生能將原命題轉換為逆命題，并舉例判斷真假，若為假，則能舉出反例。

(3)學生能將原命題轉換為否命題，并舉例判斷真假，若為假，則能舉出反例。

(4)學生能將原命題轉換為逆否命題，并舉例判斷真假，若為假，則能舉出反例；較高層次的學習是學生能在逆命題的基礎上將其轉換為原命題的逆否命題，實際上逆否命題就是逆命題的否命題。

3.形式教學的建議

對于中學低年級學生，即初中生，他們的數理邏輯思維還沒有發展到一定階段，在這個階段內，學生判斷命題的真假幾乎完全只憑對概念知識的理解，即“對概念的內容認知階段”。在這個階段內教師可以直接把概念還原后的形式呈獻給學生進行辨析，強化對概念的理解。

在學完命題的結構、命題的真假和命題的幾種形式后，初期階段可以引導學生自行轉換一些結構較簡單的概念，如簡單命題(又稱直言命題)。在這個階段，學生判斷命題的真假還是幾乎處在“對概念的內容認知階段”。

在學完幾種命題間的關系后，可以進行高級學習式的命題轉換。在這個階段，學生判斷命題的真假可以局部借助命題的結構邏輯，在“對概念的內容認知階段”基礎上，結合“對概念的形式認知”來判斷命題的真假。如這個階段學生已經知道了逆否命題的真假同原命題的真假，否命題與逆命題同真假。

在學完聯言命題與選言命題后，尤其是它們的否定形式，可以引導學生自行轉換一些結構較復雜的概念，如復合命題(又稱復言命題)。此時學生已經到了高年級學段。在這個階段，學生判斷命題的真假可以獨立于“對概念的內容認知階段”“對概念的形式認知”已經成熟，判斷命題的真假可以理性選擇對概念內容的判斷或形式的判斷。

三、結論

數學概念的本質是內容與形式的統一，知識是內容，其邏輯是形式，它可以還原成命題的基本形式：條件加結論。它如同我們日常的語言，很多時候并沒有那么明顯地呈現出命題的結構。

數學概念考查的素養是逆向思維和邏輯思維，因此，建議教師在進行概念教學時，應該先引導學生還原出概念的原命題，再考查命題的其他形式。同時，提醒生活中的大多數人在進行思辨時，語言要符合邏輯。

數學概念的形式教學并不是孤立的，它不是獨立于概念的內容而教學的，學生對于數學概念延伸的命題進行正確判斷需要兼顧對其內容的理解和對形式的邏輯判斷。在針對低年級學生教學時，要以內容教學為主，到較高年級才能結合形式進行教學。