佐證補漏，讓數學思想自然發“聲”
——以“不等式的性質”（第1課時）教學為例

江蘇省蘇州學府中學校 朱 靜

與基礎知識、基本技能相比，數學思想是一種隱性的數學知識，它悄悄隱藏于學生獲取數學知識的過程中，是需要反復體驗方能有所感悟的.在數學教學過程中，數學思想不僅可以成為學生數學學習的目標，也可以成為學生獲取數學知識的起點.因而，數學教學中，我們在幫助學生獲得作為知識的數學思想的同時，還應努力發揮學生既得數學思想的教學價值，用好“舊”思想，引出新知識.近期，筆者在執教“不等式的性質”（第1 課時）時，就通過學生對猜想的佐證補漏，讓數學思想自然發“聲”，促進新知的有效生長，成就了一次美妙的探索之旅.現呈現這一探索歷程，并談一些感悟，供大家參考.

一、“不等式的性質”（第1課時）教學片段

在類比一元一次方程猜想出解不等式前要學習不等式的性質后，教師首先引導學生回顧等式的性質，并將其文字語言和符號語言投影展示.然后追問：“你能根據等式的性質類比猜想不等式可能具有的性質嗎？”學生紛紛舉手搶著發言.教師讓學生將自己的猜想寫下來，并在小組中交流各自的猜想.

3分鐘后，教師組織全班交流，學生類比給出了兩個與“等式的性質”相似的猜想：

（1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等式仍成立；

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個不為0的數，不等式仍成立.

教師引導學生明確“不等式仍成立”的實質就是“不等號的方向不變”，在對文本替換后，教師投影并板書了兩個猜想，然后讓學生對兩個猜想進行舉例佐證.

對于猜想（1），學生舉出了“3＞2，3+1＞2+1，3-1＞2-1”（下稱示例1）“-2＜-1，-2+10＜-1+10，-2-10＜-1-10”等多個例子.教師首先肯定了學生所舉出的例子，并讓學生結合猜想對所舉例子加以分析，如示例1，學生分析為“3＞2，在這個不等式兩邊同時加1，不等號左邊為4，右邊為3，4＞3，所以，不等號的方向不變”.在多個學生陳述過程中，教師予以逐一肯定，最終明確學生給出的猜想（1）實際上就是不等式的性質1，進而形成完整的板書.

對于猜想（2），教師肯定了猜想的合理性.在稍作停頓后，教師引導學生再次閱讀猜想，有學生迅速舉手陳述了這個結論存在的問題：如果乘（或除以）的數為負數，不等式是不成立的.教師進一步追問：你認為應該怎樣？有學生給出“大于號變成小于號，小于號變成大于號”的猜想，教師引導學生歸納其實質就是“不等號的方向應該改變”.接下來，教師引導學生就“乘（或除以）的這個數”進行分類舉例佐證，并板書：

3＞2，

3×2＞2×2，3÷2＞2÷2，

3×（-2）＜2×（-2），3÷（-2）＜2÷（-2）；

-2＜-1，

-2×5＜-1×5，-2÷5＜-1÷5，

-2×（-5）＞-1×（-5），-2÷（-5）＞-1÷（-5）；

…………

教師讓學生根據板書的例子進行類似于示例1的分析，總結不等式“乘（或除以）同一類數”后不等號的變換規律，調整猜想（2），將其分成“乘（或除以）同一個正數”和“乘（或除以）同一個負數”兩種情形逐一陳述，最終獲得不等式的性質2和性質3.

最后，教師引導學生類比等式的性質，用符號語言將不等式的三個性質表示出來，板書并投影展示.

二、片段簡析

教師先通過類比獲得課時學習內容——不等式的性質，然后從學生熟知的等式的性質出發，梳理等式的性質的文字語言和符號語言，引導學生類比猜想不等式的性質.根據獲得等式的性質的過程和結果，學生很快得到兩個猜想.這兩個猜想是基于等式的兩個性質的自然生成，完全符合學生的認知經驗和認知發展規律.而恰恰就是這里的猜想（2），看似與等式的性質2高度吻合，實則因負數的出現，這一看似合理的猜想中蘊含著“失真”的結論，這就是學生認知中出現的“合理漏洞”，需要依賴于教學加以彌補.然而，在接下來的教學中，教師并沒有立即彌補，而是通過對猜想（1）進行佐證探索，引導學生舉例佐證并分析例子的變化過程，使得性質1成為教學自然發展的成果.在上述經驗的進一步沿用后，學生迅速發現猜想（2）所存在的問題.此時，分類討論、從特殊到一般等數學思想自然發“聲”：要根據“乘（或除以）的這個數的性質”進行分類討論，進而分析示例來歸納其中的規律.至此，猜想（2）中原本基于經驗得到的“乘（或除以）同一個不為0的數，不等號的方向不變”被準確地拆分為“乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變”和“乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變”，不等式的性質2和性質3就此生成.最后，作為對數學知識體系的完善，教師引導學生對不等式的性質進一步抽象，生成了不等式的性質的符號語言.

三、幾點感悟

1.梳理舊知，建構應用著力點

在數學教學中，學生獲取新知一般都建立在已有知識、經驗之上.無論是在課上，還是在課后，學生對數學新知的探索應是其所獲舊知的自然生長和合理延伸.所以，數學教學應注重對舊知的梳理，尤其是對與本課時所學新知相關的數學“四基”的梳理，務求準確、充分、到位.這種全面覆蓋、細致入微的梳理，意在掃除學生記憶的“盲點”，確保新知的生長沒有障礙，自然有序.以不等式的性質為例，等式的性質是其認知的基礎，從知識層面上看，等式的性質的文字語言和符號語言會為學生獲取不等式的性質的兩種表述提供參照，而學生獲得等式的性質過程中積累的數學經驗與感悟到的思想方法，也將成為學生探索不等式的性質的經驗基礎.因此，在探索不等式的性質前，我們就應如本文中所述那樣，對等式的性質及其獲得過程進行充分回顧，讓學生在“紛紛舉手搶著發言”的過程中，實現從知識、經驗、思想方法等方面對等式性質的全方位回顧，鋪平學生的新知探索之道.

2.舉例佐證，獲取新知生長點

數學是一門追求嚴謹、規范的學科.獲取一個新的數學結論一般都需要通過較為嚴格和規范的數學推理，當然，有時可能會因為學生數學知識不夠，推理能力不夠，或嚴格推理不適用，而需要借助不完全歸納法來獲得結論.在初中階段，不完全歸納法是學生獲取數學結論的常用方法.應用此法獲取結論時，我們常會舉一些有共性規律的數學示例讓學生從中發現結論，進而抽象成學生進一步學習與應用的“工具”.在這一過程中，具有相同規律的案例的呈現也就成為了關鍵，就如本文中那些用以佐證結論的“3＞2，3+1＞2+1，3-1＞2-1”之類的例子，它們來自于學生已有的知識系統中，難度不大，但對他們所給出的猜想是很好的驗證，通過對大量的同質案例的分析，極有可能會讓學生的認知產生“由量變到質變”的奇效，使得結論的信度大幅提高，得到所有學生的認同.此外，如本文中那樣，示例的大量列舉，有時會讓學生發現猜想中存在的漏洞，從而積極修正結論、規范陳述，給出更為嚴謹的數學結論.

3.補漏猜想，形成價值發揮點

在新知探索過程中，“給定猜想非數學規范結論”的情形常有出現.面對這些結論，教師要做的就是引導學生發現其中存在的漏洞，通過示例比對、文本再述、干擾清除等方式進一步規范結論，使之內容正確、合乎常規、表述嚴謹.正如本文中那樣，學生給出的猜想（2）“不等式兩邊乘（或除以）同一個不為0的數，不等號的方向不變”顯然是不對的，在給出猜想時學生顯然沒有考慮到可能會因為“兩邊乘（或除以）同一個數”的符號不同而出現不同結果，但我們決不能因為結論有漏洞而忽視學生基于等式的性質給出這樣的猜想的合理性，一旦無情打擊，將會在很大程度上讓學生的探索熱情迅速退溫.所以，在教學中，教師要重視這一結論“漏洞”產生的緣由，決不可將教材給定的性質2和性質3直接拋給學生，以替代對猜想（2）“漏洞”的修補.本文給定的教學過程就是一個很好的“補漏”范例，教者沿著學生的認知路徑，在錯誤猜想上“一路狂奔”：以舉例佐證的方式，引導學生發現結論的漏洞；以分類再述的方式，引導學生給出規范的陳述；以板書定格的方式，引導學生獲取分割的性質……這樣的探索歷程，讓學生在數學思想的反復應用中，體驗獲得的數學結論之嚴謹與規范，最大程度上發揮出數學思想的工具價值.