妙用數(shù)形結(jié)合，讓初中生數(shù)學(xué)解題思路更清晰

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(黃岡中學(xué)北京朝陽學(xué)校)

數(shù)學(xué)作為一門研究數(shù)量關(guān)系和空間圖像的重要學(xué)科，是將社會規(guī)律和自然規(guī)律結(jié)合的一種有效工具和語言。數(shù)形結(jié)合利用了數(shù)量與圖形之間特有的關(guān)系，將數(shù)量與圖形相互轉(zhuǎn)換，將抽象和模糊的問題變得具體和實際，化復(fù)雜為簡單，是一種簡化問題的數(shù)學(xué)思想方法。

一、數(shù)形結(jié)合的意義

一般來說，初中階段涉及的數(shù)學(xué)知識較為抽象，學(xué)生對于完全理解這類知識難免有一些困難。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當注重數(shù)量與圖形的結(jié)合問題，使學(xué)生得以更為直觀地理解這一類知識點，更加清晰地分析題目所給出的條件，尋找到正確而簡潔的解題思路，逐漸培養(yǎng)自己的邏輯思維能力和空間想象能力。這樣的方法能夠激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，并且大大提高學(xué)生的解題能力。

二、初中數(shù)學(xué)內(nèi)容本來就蘊含數(shù)形結(jié)合思想

通俗而言，數(shù)形結(jié)合就是代數(shù)與幾何相結(jié)合，這在初中數(shù)學(xué)中無處不見。

1.有理數(shù)中蘊含數(shù)形結(jié)合思想

有理數(shù)的加法法則、乘法法則都是通過數(shù)字結(jié)合圖形總結(jié)歸納出來的，每一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到相對應(yīng)的點，因此，比較兩個有理數(shù)的大小，實際上是通過這兩個有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置來比較的。又比如絕對值、相反數(shù)是通過數(shù)軸上的點到原點的距離來表述的。

2.不等式蘊含數(shù)形結(jié)合思想

在“一元一次不等式和一元一次方程不等式組”的教學(xué)中，由于學(xué)生對于不等式組理解不深刻，通常把不等式解集代入到數(shù)軸中幫助學(xué)生理解，使學(xué)生直觀地理解“不等式有無數(shù)個解”這一概念。

3.函數(shù)蘊含數(shù)形結(jié)合思想

許多學(xué)生對函數(shù)的概念不清楚，并且對函數(shù)這一知識點的理解十分模糊，因此，教師通常把一次函數(shù)表達式y(tǒng)=kx+b帶入到直角坐標系中理解。事實上，把函數(shù)放到直角坐標系中，絕大部分函數(shù)題能夠得到解決，而且學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解會變得更加深刻。

4.應(yīng)用題蘊含數(shù)形結(jié)合思想

在解答初中數(shù)學(xué)的行程問題、工程問題、統(tǒng)計問題的時候，都可以畫出相應(yīng)的示意圖，來表示相互之間的關(guān)系，直觀、形象，而且一目了然。

三、妙用數(shù)形結(jié)合，讓初中數(shù)學(xué)解題思路更清晰

1.以數(shù)解形，進行精確分析

在初中數(shù)學(xué)中，圖形直觀是“形”的一大優(yōu)點，可是“形”也有不逮之處，有時候直接觀察簡單的圖形卻看不出規(guī)律，這時候就需要用代數(shù)來分析計算。

例1.求直線y=2x-2與拋物線y=x2+3x-2的交點坐標。

通過分析本題，可以在直角坐標系中大概畫出該直線與拋物線的圖像，并發(fā)現(xiàn)它們的交點，卻無法準確求出交點的坐標，圖形簡潔直觀，卻并不精確。這時，我們便可以借助“數(shù)”，交點的坐標同時滿足直線和拋物線，我們便可以把交點的橫坐標和縱坐標當作直線和拋物線方程組的解，這就是以數(shù)解形。

2.以形助數(shù)，思路變得直觀

從例題1中，我們可以體會到當“數(shù)”與形相結(jié)合時效果驚人，“形”具有直觀、形象的特點，并且能將復(fù)雜的思維簡便地表達出來，將枯燥無味的數(shù)學(xué)理論用圖形表達出來，使枯燥的數(shù)學(xué)理論變得更具有趣味性，也讓學(xué)生做題時的思路變得十分直觀。當我們遇到非常復(fù)雜的題目而束手無策時，便可以將形的問題合理地轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，把圖形的位置關(guān)系具體地轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，再對所得數(shù)量關(guān)系進行分析和計算。

例2.解不等式x-1≥-x2+2x+1

分析：在面對二次函數(shù)不等式時，初中學(xué)生常常感到困惑，為此我們可以用圖像法來解決此類問題。令y1=x-1，y2=-x2+2x+1，然后在同一坐標系中畫出函數(shù)y1和y2的圖像，函數(shù)y1在y2圖像上方對應(yīng)的范圍就是此不等式的解集，因此解此不等式需要先求出函數(shù)y1和y2的交點(2，1)，(-1，-2)，然后觀察圖像，得出結(jié)論：x≥2或x≤-1。

3.數(shù)形變換，思維更加清晰

無論以數(shù)解形還是以形助數(shù)，都充分地向我們展示了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，其實我們在解決實際問題時，許多的數(shù)學(xué)問題普遍能運用到數(shù)形結(jié)合。當然，我們要做到的不僅僅是以數(shù)解形或是以形助數(shù)，而是需要靈活地轉(zhuǎn)換二者，學(xué)會靈活變通，理解題意，才可以有效地運用數(shù)形結(jié)合，將數(shù)學(xué)問題化難為易，拓展解題思路，找到便捷有效的解題方法，提高解題效率。

數(shù)形貫穿了初中數(shù)學(xué)的兩條主線，也就是數(shù)量和圖形，數(shù)形結(jié)合不僅幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，還提高了學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。不論是從數(shù)到形，還是從形到數(shù)，無一不需要學(xué)生具備代數(shù)運算、圖形轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)和習(xí)慣。妙用數(shù)形結(jié)合解題，能讓抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化、粗略的問題精確化，從而拓寬思維范疇，讓解題思路更清晰。