案例法教學在高校線性代數課題中的應用

王潔　賈睿

摘? 要：線性代數是高校工科、經管各專業三大數學必修課之一，為學生后續學習提供有效支撐。由于線性代數課程的抽象性，在傳統教學模式下，學生學習的興趣和主動性不足，教學效果不理想。該文從教學實踐出發，采用案例教學法，對傳統的線性代數教學模式進行改革，突出線性代數的實用性，學生的平均成績有所提升，取得較好的教學效果。

關鍵詞：案例法? 線性代數? 實用性? 教學效果

中圖分類號：G642 ? ?文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2019）11（b）-0168-02

線性代數被稱為最有意思的數學課[1]，是教育部重點評估課程之一。它有很強的應用性，是解決經濟、控制系統等問題強有力的工具，對培養學生的抽象思維能力，邏輯推理能力，以及建立數學模型，求解實際問題能力都有很重要的意義。

1? 線性代數課程教學現狀

線性代數課程一般被安排在高等數學后面來講授，與高等數學相比，線性代數更為抽象難懂。在具體應用背景下，學生理解和接受概念、性質等較為容易。而線性代數從開始就是一個又一個的抽象概念、定理，學生很難理解為什么兩個矩陣相乘，不能像加法一樣對應元素相乘。類似的問題困擾著學生學習的整個過程，產生鏈式效應，學習積極性逐漸降低。

有很多人認為線性代數是“為專業課提供數學基礎”，是一個數學工具。但由于教師在教學中應用滲透意識不夠，使其與專業知識或是生活實際銜接不連續，很多時候會導致學生出現“學時沒興趣，用時沒掌握”的結果。案例法教學就是通過盡可能直觀的例子讓學生感受到線性代數的精華，體會到線性代數強大的實用性，能夠學以致用，為后續學習打下良好的基礎。

2? 案例法教學的含義和特點

2.1 含義

案例教學法顧名思義就是將案例作為教學素材和基礎，激發學生學習興趣，增強學生在課堂上的主體地位，充分發揮學生的主觀能動性。且能將書本的概念和理論知識與現實中的實際相結合，做到學以致用，是一種以培養學生學科核心素養為目標的重要教學方法。

2.2 優點

（1）生動形象，直觀易學。將案例和所學的內容相結合，使被動地聽講變成主動地參與，理性的認知學習變成感性的實踐學習，有利于調動學習的積極性和能動性。（2）教師引導學生，實時與學生互動。在案例教學過程中，以教師為主導，學生為主體，教學相長。在教學過程中通過引導、討論可以做到師生互動、生生互動，并及時了解學生反應，掌握教學進程。（3）激發學生學習熱情，培養創新能力。通過案例教學，可以讓學生充分發揮學習積極性，并培養獨立思考的能力。通過對比學習，加深對概念、定理的理解，引發深入思考，提升創新能力。

3? 案例教學法中案例的選取原則

案例是案例教學的核心，為了達到教學目的，在案例的選取上主要遵循以下原則。

（1）與教學內容相結合，考慮學生專業特點。

（2）貼近生活，盡量與實際應用聯系。

（3）簡單、易懂，繁簡適當。

（4）案例要有一定的綜合性。

（5）案例在精不在多。

4? 案例教學法在線性代數教學中的實際運用

好的案例不但可以激發學生學習興趣，幫助他們加深對基本概念、性質、定理的理解，還可以鞏固他們的基本計算能力，提高分析問題、解決問題的能力。

結合學校線性代數課程合班上課、學時少、進程長的特點，將案例教學設計為以下2個層次。

（1）課堂引導案例：這類案例以教師講授為主，學生討論為輔，重點在講清概念、原理、分析解題方法及過程、得出結論，提高學生的理解能力。

（2）課外實踐案例：以學生自我學習為主，輔導答疑為輔，重在應用，提高學生對知識的綜合運用能力。

部分課堂引導案例和課外實踐案例[2-5]設置如下所示。

①矩陣：成本核算問題、密碼解密問題。

②n維向量：減肥配方問題、4個女生過橋問題（現代謎題）。

③線性方程組：投入產出問題、交通流問題。

④矩陣的特征值與特征向量：農業經濟發展與環境增長模型、萊斯利種群模型。

⑤二次型：判斷二次曲線形狀、小行星的軌道模型。

以矩陣部分為例，首先創設情境，引入實例：

某廠生產3種產品，每件產品的成本及每季度生產件數如表1、表2所示，試提供該廠每季度的總成本。

其次讓學生自我嘗試，求解問題;再次教師適時點評，導入兩個矩陣乘法的表示方法、定義;最后進行知識遷移，用新方法再次求解。在這個實例中，產品分類成本用矩陣表示，季度產量

用矩陣M表示，則每季度總成本可用矩陣P表示。從該矩陣可以看出，春季勞動總成本為40000元;夏季原材料、勞動及企業管理費三項成本之和為第二列元素之和21600+37400+25600=84600;這一年企業管理費的總成本為第三行元素之和;而矩陣中所有元素之和表示這一年的總成本。

通過這個實例，學生首先了解到數學對象的定義一般追求簡潔，在思想上重視類比，但是矩陣及其運算核心在于“有用”。如果矩陣乘法定義為兩個矩陣對應元素相乘，雖然簡單好記，但卻不好“用”。其次加深了學生對矩陣乘法定義的理解，更有助于掌握知識內容，為后期實際應用做好準備。

5? 案例法教學在高校線性代數課程的實際運用效果

從教學效果看：通過課堂引導案例教學和課外實踐案例自主學習，學生逐漸了解線性代數課程的實際應用價值，學習積極性明顯提高，對知識的理解和掌握顯著提升。在教學過程中，學生的創新精神、實際解決問題的能力和品質都得到了拓展，為其后續學習打下了夯實的基礎。從考試成績看：通過統計發現，采用案例法教學后，學生的平均成績有所提升，特別是對于帶有實際應用背景的問題，其得分明顯高于采用傳統教學法的得分，達到了該課程要求的培養研究和應用兼重的復合型人才的目標。

參考文獻

[1] David C.Lay，劉深泉.線性代數及其應用[M].北京：機械工業出版社，2005.

[2] 項立群，萬上海.線性代數同步學習指導[M].上海：上海交通大學出版社，2008.

[3] 李尚志.線性代數精彩應用案例（之一）[J].大學數學，2006，22（3）：1-8.

[4] 鄔學軍，唐明.線性代數是藍色的——大學非數學專業《線性代數》的課程設計[J].大學數學，2008，24（6）：12-16.

[5] 劉三明，李瑞.線性代數及應用[M].南京：南京大學出版社，2018.