基于簡單信息傳輸的函數教學研究

☉江蘇省儀征中學 姜業鋒

函數概念是高一新生所接觸的第一個極其重要的高中數學概念，雖然他們在初中數學中已經有所了解，但高中數學要求他們對這個概念有一個全新的認識.在信息化高速發展的今天，密碼學充斥著我們生活的各個方面，筆者嘗試利用簡單信息傳輸的原理來引導學生對函數概念加以理解，收到了較好的教學效果.

一、教學難點及引入背景

函數是高中數學一個非常重要的概念，但是函數概念的高度抽象性也給學生帶來了理解上的困擾.照本宣科，脫離實際；但通過簡單的依賴關系去解釋函數概念又不利于學生抽象思維的發展.基于此，受蘇教版高中數學必修一課本函數模塊映射章節習題（將字母拼成的明文通過映射轉換為密文）啟發，結合時下信息的數字化傳輸這一背景，簡單“密碼學”正好是函數引入的完美材料.

二、分段剖析，明確概念

下面詳細介紹如何通過函數的角度對數字串進行信息傳輸，并加密.通過對該材料的深入剖析，進一步發掘該材料在函數教學中的實際應用.

（一）數字傳輸加密系統的建立

1.數字傳輸系統的建立及解讀

在自然數集N 中任取一個數字a，通過對應法則f：對a 除以26 取余.

很容易發現，此時最后答案仍屬于自然數集N.但不妨更加細致地考慮這個問題，例如，我們先輸入數字27，經過對應法則f 作用后得到數字1.因此不難發現，無論任取數字a 為何，通過對應法則f 作用后答案必屬于集合{0，1，2，3，…，25}.基于此，我們建立了一個非常簡單的數字傳輸系統.

2.加密系統的建立及解讀

在英文中有26 個英文字母，而我們需要傳輸的任何信息都可以翻譯成英文字母串.這時我們不妨約定，數字0 對應字母a，數字1 對應字母b……以此類推，數字25 對應字母z.因此，按照這種法則，我們建立了一個非常簡單的數字加密（數字—字母）系統.

例如，我們需要傳輸信息：I love math.這時只需要輸入數字串{（8），（11，14，21，4），（12，0，19，7）}.當然，每個字母并不是只能由唯一的某個數字通過對應f 才能得到.通過對對應法則的分析發現，還可以輸入其他的數字串轉譯（對應）得到相同的信息.但這些數字串有一個共同的特點：每個對應的數字可以加上26 的整數倍.

（二）基于材料，剖析概念

1.聚焦概念，發掘教學難點

為了更好地貼合教材，更加高效地達成函數概念的教學目標，筆者將對以上材料做以下說明：

首先，教材中函數的概念是如下定義的：一般地，設A，B 是兩個非空的數集，如果按某種對應法則f，對于集合A 中的每一個元素x，在集合B 中都有唯一的元素y與之對應，那么這樣的對應叫做從A 到B 的一個函數，通常記為y=f（x），x∈A，其中，所有的輸入值x 組成的集合A 叫做函數y=f（x）的定義域.若A 是函數y=f（x）的定義域，則對于A 中的每一個x，都有一個輸出值y 與之對應.將所有輸出值y 組成的集合稱為函數的值域.這種高度抽象化的數學表述如何讓學生理解，并發掘這一概念的真正實質是本節函數概念課需要突破的關鍵點和難點.

2.聚焦材料，對應概念，解讀概念

解讀一：函數f（x）的值域是數集B 的子集.

不難發現，在以上的材料中對應法則f 滿足函數的定義，其中，集合A、B 都是自然數集N.函數f（x）的值域為{0，1，2，3，…，25}，它是集合B 的子集，而在函數的概念教學中，這是一個需要給學生講解清楚的隱含知識點，借助該材料可以很形象地向學生說明這一點.

解讀二：單值對應的實質.

函數概念中“對于集合A 中的每一個元素x，在集合B 中都有唯一的元素y 與之對應”這一句學生很難把握.但通過材料，學生容易發現最終傳輸（轉譯）過去的信息必須唯一確定，而輸入該條信息的數字串并非唯一.例如，輸入數字串{（8），（11，14，21，4），（12，0，19，7）}，通過建立的數字傳輸加密系統，可以得到唯一的信息—I love math.而輸入數字串{（8+26n），（11+26n，14+26n，21+26n，4+26n），（12+26n，0+26n，19+26n，7+26n）}（n∈Z）也可以得到相同的信息.進而真正理解函數定義中這種單值對應的真正內涵.

（三）借助材料，解讀函數其他相關內容

1.復合函數

在教學過程（引入材料）中，學生提出，這種所謂的加密方式太過簡單，如果生活中采用此類信息傳輸安全性如何保證，這時引入復合函數的時機恰到好處.解決辦法：提出如果在進行轉譯（對應法則）之前，先對給出的數字x 運用另一種對應法則g1得到一個新的數字x1當然這一步驟可以重復進行以加強其復雜性，然后再通過對應法則f 進行轉譯，問題立馬迎刃而解.

現以傳輸一個字母d 為例.通過數字傳輸加密系統可知，數字3 對應字母d.這時可以輸入數字9，先通過對應關系得到數字3，再通過對應法則f，得到數字3，即f（g1（x））=3.容易發現，剛開始輸入的數字不是任意的，首先，它必須滿足函數g1的定義域，其次，通過函數g1作用后，它必須還要在函數f 的定義域內.只有同時滿足這兩點，函數f（g1（x））才有意義.這其實就是求復合函數的定義域.

復合函數的運用背景在這里有了現實表達，復合函數的運算順序，求復合函數的定義域的方法也就清晰明了了.

2.已知f（g（x））的解析式，求f（x）的解析式

求函數解析式也是本章的一個難點.運用配湊法和換元法求函數解析式，即已知被對應法則作用后的形式（函數），求函數解析式.其本質就是求這種對應法則，即看對應法則將變量到底如何作用？講明白這一點，解決這個問題的邏輯起點就已經找到.這時不妨回到材料中來，學生肯定會追問，既然有加密過程，那如何解密？如果僅從本章（函數）的角度來說，解密過程其實就是去發現這種“對應法則”.例如，已知f（x+1）=3x+4，求f（x）.要求f（x），即要發現對應法則f 到底將括號里的變量整體x+1 具體如何作用.因為等號后面的解析式沒有x+1 的形式，自然需要將3x+4 寫成關于x+1 的形式：f（x+1）=3x+4=3（x+1）+1，發現這種對應法則f 是將自變量先3倍再與1 求和.自然而然得到f（x）=3x+1.當然從本材料的加密方式來說，還可以運用概率論的相關知識去推測加密過程，在這里不多加贅述.

三、一點教學反思

作為一種思想的體操與競賽，數學會使人增強拼搏精神和應變能力，通過不斷分析矛盾，從困難局面中理出頭緒，最終才能解決問題.該信息的數字化傳輸加密模型的引入，是基于真實情境的任務驅動，學生能很好地在活動過程中解決問題，形成能力.同時在教學過程中，關注數學的來龍去脈，指導數學概念、方法和理論的產生和發展的淵源和過程，會提高學生建立數學模型、運用數學知識處理現實世界中各種復雜問題的意識、信念和能力.數學課程的三維目標不是孤立的三個目標，而是一個目標的三個維度.其中，情感態度與價值觀這一維度如何在課堂中體現并加以落實，就要求教師在教學設計中不能為情境而情境，只有基于真實情境的任務驅動，學生才能在這一過程中獲得更高效的提高.

數學教育表面上只是一種知識教育，但本質上是一種素質教育，這種素質教育不是從外界強加定義的，而是數學教育本身所蘊含的固有的內在屬性.以教授學習數學知識為載體，通過嚴格認真的數學學習和訓練，就可以由不自覺到自覺地將上述這些方面的素質和能力，耳濡目染，身體力行，銘刻于心，形成習慣，逐步形成自己的數學素養.筆者認為，作為一線的教育工作者，數學核心素養的形成，戰場雖然在課堂，但“補給”源于生活，要善于發現身邊的數學素材，情境設計是形成知識遷移能力的關鍵，而獨具創造性的課堂引入是一個很好的抓手.